二次函数知识归纳与总结
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二次函数知识归纳与总结
二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地,如果特)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数,,特别注意
a 不为零
那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于a
b
x 2-
=对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征:
①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。
3、二次函数图像的画法 五点法:
(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M ,并用虚线画出对称轴
(2)求抛物线c bx ax y ++=2
与坐标轴的交点:
当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ,再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A 、B ,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。
二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式:口诀----- 一般 两根 三顶点 (1)一般 一般式:)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数,
(2)两根 当抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴有交点时,即对应二次好方程
02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++,二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式
))((21x x x x a y --=。如果没有交点,则不能这样表示。
a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
(3)三顶点 顶点式:)0,,()(2
≠+-=a k h a k h x a y 是常数,
二次函数的最值
如果自变量的取值围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当
a
b
x 2-=时,a b ac y 442-=
最值。 如果自变量的取值围是21x x x ≤≤,那么,首先要看a
b
2-
是否在自变量取值围21x x x ≤≤,若在此围,则当x=a
b
2-时,a b ac y 442-=最值;若不在此围,则需要考虑函
数在21x x x ≤≤围的增减性,如果在此围,y 随x 的增大而增大,则当2x x =时,
c bx ax y ++=22
2最大,当1x x =时,c bx ax y ++=121最小;如果在此围,y 随x 的增大而减小,则当1x x =时,c bx ax y ++=121最大,当2x x =时,c bx ax y ++=22
2最小。
二次函数的性质
2、二次函数)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数,中,c b 、、a 的含义:
a 表示开口方向:a >0时,抛物线开口向上 a <0时,抛物线开口向下
b 与对称轴有关:对称轴为x=a
b 2-
c 表示抛物线与y 轴的交点坐标:
(0,c )
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的ac 4b 2
-=∆,在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。 当∆>0时,图像与x 轴有两个交点; 当∆=0时,图像与x 轴有一个交点; 当∆<0时,图像与x 轴没有交点。
中考二次函数压轴题常考公式(必记必会,理解记忆)
1、两点间距离公式(当遇到没有思路的题时,可用此方法拓展思路,以寻求解题方法) y
如图:点A 坐标为(x 1,y 1)点B 坐标为(x 2,y 2) 则AB 间的距离,即线段AB 的长度为
()()221221y y x x -+-
x
B
2,二次函数图象的平移
① 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,
;
② 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,
处,具体平移方法如下:
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
③平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.
函数平移图像大致位置规律(中考试题中,只占3分,但掌握这个知识点,对提
高答题速度有很大帮助,可以大大节省做题的时间)
特别记忆--同左上加 异右下减 (必须理解
记忆)
说明① 函数中ab 值同号,图像顶点在y 轴左侧同左,a b 值异号,图像顶点必在Y 轴右侧异右
②向左向上移动为加左上加,向右向下移动为减右下减
3、直线斜率:
1
212tan x x y y k --=
=α b 为直线在y 轴上的截距4、直线方程:
4、①两点由直线上两点确定的直线的两点式方程,简称两
式:)()(tan 11
21
21x x x x x y y b x b kx y y ---=
+=+=-α 此公式有多种变形 牢记 ②点斜)(11x x kx y y -=-
③斜截直线的斜截式方程,简称斜截式: y =kx +b (k ≠0)
④截距 由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的直线的截距式方程,简称截距式:
1=+b
y
a x 牢记 口诀 ---两点斜截距--两点 点斜 斜截
截距
5、设两条直线分别为,1l :11y k x b =+2l :22y k x b =+ 若12//l l ,则有
1212//l l k k ⇔=且12b b ≠。 若
12121l l k k ⊥⇔⋅=-
6、点P (x 0,y 0)到直线y=kx+b(即:kx-y+b=0) 的距离:
1
)
1(2
002
2
00++-=
-++-=
k b
y kx k b y kx d
7、抛物线c bx ax y ++=2中, a b c,的作用
(1)a 决定开口方向及开口大小,这与2
ax y =中的a 完全一样.
(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2
的对称轴是直线
a b x 2-
=,故:①0=b 时,对称轴为y 轴;②0>a
b
(即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧;③0 (即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧. 口诀 --- 同 左 异右