初三二次函数的概念和图像

无锡龙文教育数学学科导学案（第 课）

教师: 学生: 年级:初三 日期: 星期: 时段:

学情分析 教案属于中等难度，适合大部分学生，用于基础学生复习或者优秀学生提前预习

课 题

二次函数的概念与图像

教学目标 与考点分析

学习目标： 1、理解二次函数的概念；会识别最基本的二次函数并利用二次函数的概念求解析式中的未知数； 2、熟练的画出各种抛物线的图像，根据解析式的变化判断图像的平移方法； 3、熟练的选用合适的解析式利用待定系数法求解析式。 考点分析：

二次函数的概念和图像作为二次函数的基础知识，是学习二次函数的性质及应用的基石。要求对基本概念的理解非常透彻，解题具备一定的灵活性。 学习重点 图像的平移；待定系数法求解析式

学习方法

导入法、讲练结合法、归纳总结法

学习内容与过程

知识点复习及典型例题讲解： 一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，

可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．

⑵ a b c ，

，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．

基础题型：

1. 下面四个函数中属于二次函数的是（ ）

A ．2

13y x = B ．21y x

= C ．2

3y x =-

D ．223

(3)1

x y x +=+-

变式：设圆柱的高为6 cm ，底面半径r cm ，底面周长C cm ，圆柱的体积为V cm 3．

（1）分别写出C 关于r 、V 关于r 、V 关于C 的函数关系式；（2）这三个函数中，哪些是二次函数？

2. 如果2

(2)m m

y m x -=-是关于x 的二次函数，则m =（ ）

A ．1-

B ．2

C ．1-或2

D ．m 不存在

变式：若y =（2m + m ）2m m

x

-+（m -2）x -1是二次函数，求m 的值．

3. 下列结论正确的是（ ）

A.y =ax 2是二次函数

B.二次函数自变量的取值范围是所有实数

C.二次方程是二次函数的特例

D.二次函数的取值范围是非零实数

二、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于a

b

x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 画函数图像的一般步骤是什么？

例1 在同一直角坐标系中，画出函数y ＝1

2 x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2的图象．

解：列表并填：

x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y ＝12 x 2 …

…

x … －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y ＝x 2 …

…

x … －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y ＝2x 2 …

…

y=

x 22

y=2x 2

y=x 2

由图象可得二次函数y ＝2x 2

的性质：

1．二次函数y ＝2x 2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．

2．二次函数y ＝2x 2中，二次项系数a ＝_______，抛物线y ＝2x 2的图象开口__________． 3．自变量x 的取值范围是____________．

4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y 值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．

5．抛物线y ＝2x 2与它的对称轴的交点（ ， ）叫做抛物线y ＝2x 2的_________． 因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________． 6．抛物线y ＝2x 2有____________点（填“最高”或“最低”） ． 归纳：

抛物线y ＝1

2 x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2的二次项系数a_____0；顶点都是______；对称轴是______；顶点是抛物线的最________

点（填“高”或“低”）

1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

基础知识巩固：

1、函数2

ax y =（0≠a ）的图象是________，它的对称轴是________，它的顶点坐标是________． 当0a >时，开口向________，具有性质：当0x >时，函数值y 随x 的增大而_______， 当0x <时，函数值y 随x 的增大而________，当0x =时，函数取最______值为________． 当0a <时，开口向______，具有性质：当0x >时，函数值y 随x 的增大而_____， 当0x <时，函数值y 随x 的增大而_______当0x =时，函数值取最________值为________． 2、若抛物线2(1)m m

y m x

-=-开口向下，则______=m

3、函数2ax y =（0≠a ）的函数值恒大于或等于零的条件是_________．

4、关于抛物2

ax y =和2

y ax =-（0≠a ），给出下列说法，其中正确的说法有（ ）

（1）两条抛物线关于x 轴对称； （2）两条抛物线关于原点对称 （3）两条抛物线各自关于y 轴对称； （4）两条抛物线有公共的顶点． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5、对于)0(2

≠=a ax y 的图象下列叙述正确的是（ ）

A. a 的值越大，开口越大

B. a 的值越小，开口越小

C. a 的绝对值越小，开口越大

D. a 的绝对值越小，开口越小

a 的符号

开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

0a >

向上

()00， y 轴

0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下

()00，

y 轴

0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．