重点高中数学圆的方程知识点题型归纳

重点高中数学圆的方程知识点题型归纳

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第一讲 圆的方程

一、知识清单

（一）圆的定义及方程

定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)

标准 方程 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0) 圆心：(a ，b )，半径：r 一般 方程 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0

(D 2＋E 2－4F >0)

圆心：⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2， 半径：1

2

D 2＋

E 2－4F

1、圆的标准方程与一般方程的互化

（1）将圆的标准方程 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2 展开并整理得x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝

0，取D ＝－2a ，E ＝－2b ，F ＝a 2＋b 2－r 2，得x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. （2）将圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0通过配方后得到的方程为：

(x ＋D 2)2＋(y ＋E 2)2＝D 2＋E 2－4F 4

①当D 2＋E 2－4F >0时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心，1

2D 2＋E 2－4F 为半径的圆；

②当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2，－E

2)；

③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 2、圆的一般方程的特征是：x 2和y 2项的系数 都为1 ，没有 xy 的二次项.

3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．

（二）点与圆的位置关系

点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： （1）若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. （2）若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. （3）若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2

（三）温馨提示

1、方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是： （1）B ＝0； （2）A ＝C ≠0； （3）D 2＋E 2－4AF ＞0.

2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上． （2）圆心在任一弦的中垂线上．

（3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．

3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点M (x ，y )是线段AB 的中点，则x ＝

122x x + ，y ＝12

2

y y + .

二、典例归纳

考点一：有关圆的标准方程的求法

【例1】 圆的圆心是 ，半径是 .

【例2】 点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－1,1)

B ．(0,1)

C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

D ．(1，＋∞)

【例3】 圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )

A ．x 2＋(y －2)2＝1

B ．x 2＋(y ＋2)2＝1

C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1

D ．x 2＋(y －3)2＝1

【例4】 圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为( )

A ．(x －2)2＋y 2＝5

B ．x 2＋(y －2)2＝5

C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5

D ．x 2＋(y ＋2)2＝5

【变式1】已知圆的方程为()()()()12240x x y y --+-+=，则圆心坐标为

【变式2】已知圆C 与圆()2

211x y -+=关于直线y x =- 对称，则圆C 的方程为

【变式3】 若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )

A ．(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y －7

32＝1

B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1

C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1

D.⎝⎛⎭

⎫x －3

22＋(y －1)2＝1

【变式4】已知ABC ∆的顶点坐标分别是()1,5A -，()5,5B ，()6,2C -，求ABC ∆外接圆的方程.

方法总结：

1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 的方程组．

2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．

考点二、有关圆的一般方程的求法

【例1】 若方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆，则m 的取值范围是( )

A .14＜m ＜1

B ．m ＜14或m ＞1

C ．m ＜14

D ．m ＞1

【例2】 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )

A ．x ＋y －1＝0

B ．x ＋y ＋3＝0

C ．x －y ＋1＝0

D ．x －y ＋3＝0

【例3】 圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．

【变式1】 已知点P 是圆2

2

:450C x y x ay +++-=上任意一点，P 点关于直线

210x y +-=的对称点也在圆C 上，则实数a =

【变式2】 已知一个圆经过点()3,1A 、()1,3B -，且圆心在320x y --=上，求圆的方程.