数字信号处理三级项目报告

多频窄带数字信号处理仿真系统设计

XXX 、XX 、XX 、XXX 、XX

（燕山大学 信息科学与工程学院）

摘要：本文主要是基于C 语言的依赖于VC++6.0平台的多频窄带数字信号处理仿真系统的设计。主要实现了信号的时域离散采样，离散傅里叶变换，时域补零以及加窗的FIR 滤波器滤波。同时分析了时域采样对信号频域的影响，傅里叶变换时误差的分析和解决方法，以及FIR 滤波器的设计和不同的窗函数的效果以及影响等。 关键词：傅里叶变换；离散采样；FIR 滤波器；窗函数

1.引言

随着信息时代的到来，数字信号处理已经成为当今一门极其重要的学科和技术，并且在通信、语音、图像、自动控制等众多领域得到了广泛的应用。在数字信号处理中，数字滤波器占有极其重要的地位，它具有精度高、可靠性好、灵活性大等特点。现代数字滤波器可以用软件或硬件两种方式来实现。软件方式实现的优点是可以通过滤波器参数的改变去调整滤波器的性能，比较方便。 数字滤波器是数字信号处理的重要基础，在对信号的滤波、检测及参数的估计等信号应用中，数字滤波器是使用最为广泛的一种线性系统。在许多数字信号处理系统中，FIR 滤波器是最常用的组件之一，它完成信号预调、频带选择和滤波等功能。FIR 滤波器在截止频率的边沿陡峭性能虽然不及IIR 滤波器，但是，考虑到FIR 滤波器严格的线性相位特性和不像IIR 滤波器存在稳定性的问题，FIR 滤波器能够在数字信号处理领域得到广泛的应用。

本文的主要研究对象即为基于VC++6.0平台的多频窄带数字信号处理仿真系统的研究，借助相应的库函数，利用VC++6.0平台计算并绘制相应的时域、频域图形，进行相关的研究。如果未加特殊说明，本文中的时域图形采样率为1000Hz ，时域图形为等幅的201、208、214Hz 信号混叠，本文中的频域图形为DFT 变换后的图形。

2.时域采样与采样定理

计算机来处理任何一种物理信号时所面临的首要问题就是连续信号的数字化问题(或称“模／数转换”问题)。一般把连续信号到离散信号的过程叫采样。

模拟信号是指信息参数在给定范围内表现为连续的信号。或在一段连续的时间间隔内，其代表信息的特征量可以在任意瞬间呈现为任意数值的信号。

离散信号是在连续信号上采样得到的信号。离散信号是一个序列，即其自变量是“离散”的。这个序列的每一个值都可以被看作是连续信号的一个采样。

采样（sampling ）（又称取样）是将时间上、幅值上都连续的模拟信号，在采样脉冲的作用，转换成时间上离散（时间上有固定间隔）、但幅值上仍连续的离散模拟信号。所以采样又称为波形的离散化过程。

对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关后的结果。电子开关在实际的应

用中，常常可以看作是理想的采样函数p δ t = δ t −nT (式1.1)+∞n =−∞。

p δ t 中每个单位冲激处的采样点上，强度为1，理想采样则是时域信号x(t)与p δ t 相乘的结果，用公式表示为

x n t =x t p δ t = x (t )δ(t −nT )+∞

n =−∞

(式1.2)

上式中δ(t )是单位冲激信号，上式只有在t=nT 时，才可能是非零值，所以可写成：

x n t =x t p δ t = x (nT )δ(t −nT )+∞

n =−∞

(式1.3)

当编程实现相关的信号采样（通常模拟单个或多个正弦波的叠加），根据相关的推导有：

x n =cos Ωt|t =nT =cos ΩnT =cos ⁡(2πf f s

n) (式1.4) 除此之外，在实际的应用中，通常研究的是因果系统，所以采样通常是从0时刻开始的，而且长度也应该为有限长（这也更加符合实际情况）。

抽样定理是连续时间信号和离散时间信号之间的桥梁，在时域该系统实现了输入信号与抽样序列的相乘，完成了时间轴的离散，在频域实现了原信号频谱的周期延拓。在奈奎斯特抽样定理的条件下(抽样频率不小于被抽样带限信号最高频率的两倍)，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔点上的样本来表示，在频率轴上实现了原信号频谱无混叠的周期化。因此，也就引入了几个量：采样频率Fs 、序列最高频率fc 。根据奈奎斯特采样定理，则应有Fs ≥2fc 。当然在实际的应用中不可能完全没有高于Fs/2频率的信号，这时候高于Fs/2的频率成分并不是消失了，而是对称地映像到了Fs/2以下的频带中，并且和Fs/2以下的原有频率成分叠加起来，这个现象叫做“混叠”(aliasing)，这是任何一个连续信号被离散化的必然结果。所以在实际的应用中为了避免过高的频率的成分存在，一般会进行前置预滤波。

当信号经过离散化采样后，时域变离散的同时，频域也由非周期变为周期性的（以Fs 为周期进行拓展），同时会有1/T 的增益。

由傅立叶变换理论知道，若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽；若信号的频谱有限宽，则其持续时间无限长。所以严格地讲，持续时间有限的带限信号是不存在的。上述两者情况是不满足DFT 变换条件的。根据采样定理，为了减小采样后产生的频谱混叠失真，可用预滤波法滤除幅度较小的高频成分。为避免采样点数太多导致无法存贮和计算，只好截断有限点进行DFT 。

用DFT 对连续信号进行谱分析必然是近似的，其近似的结果与信号带宽、采样速率和截断长度有关。从工程的角度看，滤除幅度较小的高频成分和截去幅度很小的部分时间信号是允许的。

3.高密度谱、高分辨率谱

在实际中遇到的序列x(n)，其长度往往是有限长，甚至是无限长，用DFT 对其进行谱分析时，必须将其截断为长度为N 的有限长序列（截断效应）。

对于频率为fs 的正弦序列，它的频谱应该只是在fs 处有离散谱。但是，在利用DFT 求它的频谱时，对时域做了截断，结果使信号的频谱不只是在fs 处有离散谱，而是在以fs 为中心的频带范围内都有谱线出现，它们可以理解为是从fs 频率上“泄漏”出去的，这种现象称为“频谱泄漏”。同时，进行频谱采样时，本身像是隔着栅栏看信号，仅仅能够在N 个缝隙中间来看频谱的函数值，这便是栅栏效应。对于有限长的序列，可以在原来序列的尾部来补零；对于无限长的数列，必须通过加窗来进行处理，这样能够让截取长度更大，能够进行DFT 区间长度的变换( 对模拟信号，就是增加采样时间Tp 的长度)，这样能够让频域采样的间隔缩小，不断增加采样点的位置和点数，这样能够将之前漏掉的一些频谱分量检测出来。但是这种方法无法让频率分辨率提高。截短本身便能够让频谱模糊，补零之后仅仅能够减小间隔，但是得到的频谱采样包络还是比较模糊的。若是增大时域采样时间Tp 或者是增大序列截取的长度，不但能够让栅栏效益减弱，还能够在一定程度上提高分辨率。

例如下图为一个有多个单频余弦波（201Hz 、208Hz 、214Hz ）叠加而产生波形，当采样点为500点和1000点是时域与频域波形（采样率为1000Hz ）。