抛物线中存在性问题
如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点(P点的横坐标m, 1＜m＜4),，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D 的坐标．
解：（1）∵该抛物线过点C（0，-2），
设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2．
将A（4，0），B（1，0）代入，
得，
解得，
∴此抛物线的解析式为y=-x2+x-2．
（2）存在．
如图，设P点的横坐标为m，
则点P的纵坐标为，
当1＜m＜4时，
AM=4-m，PM=，
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①当==2时，△APM∽△ACO，∴=2，即|4-m|=2（），
∴4-m=m2+5m-4，
∴m2-6m+8=0，
∴（m-2）（m-4）=0，
解得：m1=2，m2=4（舍去）
∴P（2，1）
②当，△APM∽△CAO，
那么有：2|4-m|=，
∴2（4-m）=-m2+m-2，
∴m2-9m+20=0，
∴（m-4）（m-5）=0，
解得：m1=4（舍去），m2=5（舍去），
∴当1＜m＜4时，P（2，1），
类似地可求出当m＞4时，P（5，-2），
当m＜1时，P（-3，-14），
当P，C重合时，△APM≌△ACO，P（0，-2）．
综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）或（0，-2）；（3）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-t2+t-2．过D作y轴的平行线交AC于E．
由题意可求得直线AC的解析式为y=x-2．
∴E点的坐标为（t，t-2）．
∴DE=-t2+t-2-（t-2）=-t2+2t．
∴S△DAC=×（-t2+2t）×4=-t2+4t=-（t-2）2+4．∴当t=2时，△DAC面积最大．
∴D（2，1）．
二次函数-平行四边形存在性问题
专题：二次函数中的平行四边形存在性问题 类型一：已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足） 1.已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A (-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C． ⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式； ⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由． 类型：已知两个定点，再找两个点构成平行四边形 1．已知，如图抛物线2 3(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A、B 两点，A 点在B 点左侧。点B 的坐标为(1，0),OC=30B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值： (3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上。是否存在以A、C、E、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
2、练习如图，抛物线：c bx x y ++=22 1与x 轴交于A、B（A 在B 左侧），顶点为C（1，﹣2）。（1）求此抛物线的关系式；并直接写出点A、B 的坐标； （2）求过A、B、C 三点的圆的半径； （3）在抛物线上找点P，在y 轴上找点E，使以A、B、P、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点P、E 的坐标。 1．如图，抛物线2 23y x x =--与x 轴交A、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A、C 两点，其中C 点的横坐标为2． （1）求A、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行 四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．
平行四边形的存在性问题
平行四边形的存在性问题 【真题典藏】 1.（2008年青浦区第24题）如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，正比例函数kx y =（x 为自变量）的图像与双曲线x y 2 - =交于点A ，且点A 的横坐标为2-． （1）求k 的值． （2）将直线kx y =（x 为自变量）向上平移4个单位得到直线BC ，直线BC 分别交x 轴、y 轴于B 、 C ，如点 D 在直线BC 上，在平面直角坐标系中求一点P ，使以O 、B 、D 、P 为顶点的四边形是菱形． 图1 图2 2.（2009年普陀区第25题）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，O 为原点，点A 、C 的坐标分别为（2， 0）、（1，33）. 将△AOC 绕AC 的中点旋转180°，点O 落到点B 的位置，抛物线x ax y 322 -=经 过点A ，点D 是该抛物线的顶点. （1）求证：四边形ABCO 是平行四边形； （2）求a 的值并说明点B 在抛物线上； （3）若点P 是线段OA 上一点，且∠APD ＝∠OAB ，求点P 的坐标； （4）若点P 是x 轴上一点，以P 、A 、D 为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y 轴上，写出点P 的坐标． 3．（2010年上海市第24题）参见《考典40 几何计算说理与说理计算问题》第3题． 4．（2011年上海市第24题）已知平面直角坐标系xOy （如图3），一次函数3 34 y x =+的图像与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数3 2 y x = 的图像上，且MO ＝MA ．二次函数 y ＝x 2＋bx ＋c 的图像经过点A 、M ． （1）求线段AM 的长； （2）求这个二次函数的解析式；
(完整版)二次函数与三角形的存在性问题的解法
二次函数与三角形的存在性问题 一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ） (1)线段对称轴是直线2x 2 1x x += (2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-= 中点公式：已知两点 ()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++222121y y ,x x 。 2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y += 如果这两天两直线互相垂直，则有121-=?k k 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2 （1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2 （2）当k1≠k2， ，L1与L2相交 （3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直 二、三角形的存在性问题探究： 三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形 （一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形 性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。 判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。 2、直角三角形 性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形 性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。 判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形 4、等边三角形 性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。 判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
中考数学解题策略专题02 平行四边形的存在性问题
中考数学解题策略专题02 平行四边形的存在性问题 专题攻略 解平行四边形的存在性问题一般分三步： 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算． 难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快． 如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况． 根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便． 例题解析 例?如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）， 与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D为 顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标． 图1-1 例?如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 图2-1
例? 如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在直线AB 上，在平面直角坐标系中求一点D ，使得以O 、A 、C 、D 为顶点的四边形是菱形． 图 3-1 例? 如图4-1，已知抛物线241633 y x x =+与x 轴的负半轴交于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点 M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若 不存在，请说明理由． 图4-1 例?如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B
二次函数中特殊四边形的存在性问题
网课：二次函数中特殊四边形的存在性问题 学习目标： 1、通过二次函数中的特殊四边形存在性问题的探究、学习，获取解决这类问题的基本方法；经历解决二次函数中的特殊四边形存在性问题的探索过程，培养学生的理解能力，抽象能力，能正确认识问题的本质，提高知识迁移能力，积累解决问题的经验，感受数学知识对解决问题的价值； 2、通过函数中的特殊四边形存在性问题的解决，渗透“转化”、“分类”、“方程”、“数形结合”等数学思想，并在问题解决中体验成功的快乐，感受数学的魅力. 学习重点：利用“特殊四边形的性质”，或者“点在函数上”来建立等量关系，解决“点是否存在的问题”. 学习难点：从复杂的函数背景中提炼问题的本质，利用“特殊四边形的性质”，或者“点在函数上”来建立等量关系，解决“点是否存在的问题”. 背景问题： 如图，抛物线中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上， OC=3，点D是直线AC与抛物线的交点。 问题一：在平面内是否存在一点B，使得以A、B、O、D为顶点的 四边形是平行四边形? 若存在，请直接写出B点的坐标；若不存在，请说明理由。 归纳：_________________________________________________ 问题二：若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由; （备图1）（备图2） 归纳： _____________________________________________________________________________
问题三：若点E（2,3）在抛物线上，点F、P在直线AC上，当EF所在直线与x轴垂直时，平面内是否存在一点Q，使得以点E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由; （备图1）（备图2） 归纳： ______________________________________________________________________________ 问题四：点是直线AC上一点，若点N是平面内一点，M是抛物线对称轴上的一点，是否存在一点M使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若能，求出点M的坐标；若不能，请说明理由． 归纳： _______________________________________________________________________
中考数学二次函数存在性问题 及参考答案
中考数学二次函数存在性问题 及参 考答案
一、二次函数中相似三角形的存在性问题 1.如图，把抛物线 向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位，得到抛物线 . 所得抛物线与 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 轴交于点 C，顶点为 D. （1）写出 的值；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由； （3）在线段 AC 上是否存在点 M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在， 说明理由.
2.如图，已知抛物线经过 A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点 O，顶点为 C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且 A、O、D、E 为顶点的四边形是平行 四边形，求点 D 的坐标； （3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P 作 PM x 轴，垂足为 M，是否存在点 P， 使得以 P、M、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明 理由．
1 / 13
二、二次函数中面积的存在性问题 3.如图，抛物线 与双曲线 相交于点 A，B．已知点 B 的坐标为（－2，－2），点 A 在第一象限内，且 tan∠AOX＝4．过点 A 作直线 AC∥ 轴，交抛物线于另一点 C． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积； （3）在抛物线上是否存在点 D，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点 D 的坐标；若不存在，请你说明理由．
4.如图，抛物线 y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形 ABCD 的四个顶点，梯形的底 AD 在 x 轴上， 其中 A（－2,0），B（－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3 分） （2）点 M 为 y 轴上任意一点，当点 M 到 A、B 两点的距离之和为最小时，求此时点 M 的坐
2 / 13
(完整版)一次函数与特殊四边形存在性问题(培优拓展)
一次函数与特殊四边形的存在性问题 （培优专题） 1．（2015春?通州区校级期中）如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（0，3），P是x轴上一动点，在直线y=x上是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的P、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2015春?北京校级期中）已知直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B． （1）求∠BAO的平分线的函数关系式；（写出自变量x的取值范围） （2）点M在已知直线上，点N在坐标平面内，是否存在以点M、N、A、O 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
3．（2010秋?吴江市校级期中）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD 边上，AE＞DE，BE=BC，点O是线段CE的中点． （1）试说明CE平分∠BED； （2）在直线AD上是否存在点F，使得以B、C、F、E为顶点的四边形是菱形？如果存在，试画出点F的位置，并作适当说明；如果不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系xOy，直线y=x+1与y=﹣2x+4交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一个动点，直线AB上是否存在点E，使得以E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，点A的坐标是（2，1），点B的坐标是（5，1），过点A的直线l 的表达式为y=2x+b，点C在直线l上运动，在直线OA上是否存在一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2012春?雨花区校级期末）如图，已知等边△ABC的边长为2，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动． （1）当OA=时，求点C的坐标． （2）在（1）的条件下，求四边形AOBC的面积． （3）是否存在一点C，使线段OC的长有最大值？若存在，请求出此时点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
一次函数与四边形存在性问题
一次函数与四边形综合专题 1．如图，将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，其中A（1，0），C（0，1），P为AB边上一个动点，折叠该纸片，使O点与P点重合，折痕l与OP交于点M，与对角线AC交于Q点 （Ⅰ）若点P的坐标为（1，），求点M的坐标； （Ⅱ）若点P的坐标为（1，t） ①求点M的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案） ②求点Q的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案） （Ⅲ）当点P在边AB上移动时，∠QOP的度数是否发生变化？如果你认为不发生变化，写出它的角度的大小．并说明理由；如果你认为发生变化，也说明理由． 2．如图，△OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，8），OA=OB，点P在线段OB上，点Q在y轴的正半轴上，OP=2OQ，过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于点E，F． （1）求直线AB的解析式； （2）若四边形POEF是平行四边形，求点P的坐标； （3）是否存在点P，使△PEF为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；
若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的两个顶点A、B 的坐标分别A （，0）、B（，2），∠CAO=30°． （1）求对角线AC所在的直线的函数表达式； （2）把矩形OABC以AC所在的直线为对称轴翻折，点O落在平面上的点D处，求点D的坐标； （3）在平面是否存在点P，使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，直线l与坐标轴分别交于A、B两点，∠BAO=45°，点A坐标为（8，0）．动点P从点O出发，沿折线段OBA运动，到点A停止；同时动点Q也从点O出发，沿线段OA运动，到点A停止；它们的运动速度均为每秒1个单位长度． （1）求直线AB的函数关系式； （2）若点A、B、O与平面点E组成的图形是平行四边形，请直接写出点E的坐标； （3）在运动过程中，当P、Q的距离为2时，求点P的坐标． 5．在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒． （1）当点P移动到点D时，t=秒；
(完整版)二次函数中的存在性问题(答案)
二次函数中的存在性问题姓名 1．已知抛物线y=﹣x2+x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．（1）求直线和抛物线解析式； （2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由． 3．已知直线y=x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．
4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），过点A的直线y=kx+1交抛物线于点C（2，3）． （1）求直线AC及抛物线的解析式； （2）若直线y=kx+1与抛物线的对称轴交于点E，以点E为中心将直线y=kx+1顺时针旋转90°得到直线l，设直线l与y轴的交点为P，求△APE的面积； （3）若G为抛物线上一点，是否存在x轴上的点F，使以B、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C． （1）求直线BC的解析式； （2）求抛物线的顶点及对称轴； （3）若点Q是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由； （4）若点P是直线BC上方的一个动点，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出点P的坐标及此时△PBC 的面积；若不存在，说明理由．
中考数学压轴题：特殊四边形存在性问题
?? ?? 探究特殊四边形存在性问题 1．如图，抛物线y＝x2－2x－3经过点A（2，－3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB. (1)求点B，C的坐标； (2)若点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标； (3)若点M为抛物线上一点，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 第1题图 解：(1)令x＝0得y＝－3， ∴C(0，－3)， ∴OC＝3， ∵OC＝3OB， ∴OB＝1， ∴B(－1，0)， 把A(2，－3)，B(－1，0)分别代入y＝ax2＋bx－3得： ?a－b－3＝0?a＝1 ?，解得?， ?4a＋2b－3＝－3?b＝－2 ∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3； (2)如解图①，过点B作BE⊥AC，交AC延长线于点E. 第1题解图① ∵C(0，－3)，A(2，－3)， ∴AC∥x轴， ∴BE＝3， 又∵OB＝1， ∴AE＝3，∴AE＝BE，
∴∠BAE＝45°， ∵∠BDO＝∠BAC＝45°， ∴OB＝OD， ∴D点的坐标为(0，1)或(0，－1)， (3)存在．如解图②. 第2题解图② 当AB∥MN时，由AB＝MN＝32，可知点M与对称轴的距离为3，由y＝x2－2x－3可得对称轴为直线x＝1， ∴点M的横坐标为4或－2，把x＝4和－2分别代入y＝x2－2x－3可得点M坐标， 把x＝－2代入y＝x2－2x－3得y＝4＋4－3＝5， (－2，5)． ∴M 1 把x＝4代入y＝x2－2x－3得y＝16－8－3＝5， (4，5)， ∴M 2 当MN与AB互相平分时，四边形AMBN是平行四边形，由AC＝BN＝2，可知点M与点C重合，∴点M3坐标为(0，－3)， ∴M的坐标为(－2，5)或(0，－3)或(4，5)． 2．如图，抛物线顶点P(1，4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A，B. (1)求抛物线的解析式； (2)Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标； (3)若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E，是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由． 第2题图 解：(1)设抛物线解析式为：y＝a(x－1)2＋4(a≠0)． ∵抛物线过点C(0，3)， ∴a＋4＝3，∴a＝－1. ∴y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3； (2)由(1)得，抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，
平行四边形之存在性问题
中考数学压轴题解题策略 综合题之平行四边形存在性问题 专题攻略 解平行四边形的存在性问题一般分三步： 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算． 难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快． 如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况． 根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便． 例题解析 例1、如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物 线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左 侧），与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标． 图1-1 【解析】P、A、C三点是确定的，过△PAC的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D（如图1-2）． 由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得A(－3,0)，C(0, 3)，P(－1, 4)． 由于A(－3,0)33 右，上D1(2, 7)． 右，上C(0, 3)，所以P(－1, 4)33 由于C(0, 3)33 下，左A(－3,0)，所以P(－1, 4)33 下，左D2(－4, 1)．由于P(－1, 4)11 右，下D 3(－2, －1)． 右，下C(0, 3)，所以A(－3,0)11 我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了． 图1-2
二次函数平行四边形存在性问题例题
二次函数平行四边形存在性问题例题 一．解答题（共9小题） 1．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）． （1）求抛物线的解析式及点B坐标； （2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值； （3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 3．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点
分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x 轴于点C． （1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若（1）中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N（点F 在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C． （1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA ﹣QO|的取值范围． 5．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，
二次函数的存在性问题(面积问题)
二次函数的存在性问题(面积问题) [08湖北荆州]已知：如图，R t △AOB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的正半轴和y 轴的负 半轴上，C 为OA 上一点且OC ＝OB ，抛物线y=(x －2)(x －m )－(p-2)(p-m)（m 、p 为常数且m+2≥2p>0）经过A 、C 两点． （1）用m 、p 分别表示OA 、OC 的长； （2）当m 、p 满足什么关系时，△AOB 12220.(1)0 2)()(2)()0 )(2)0,222020 2,1(2),2 11 (2) 2211 (2)22 1 (2) 1 2(2)1 2 2()2 AOB AOB AO y x x m p p m x p x m p x p x m p m p m p p OA m p OC P OC OB S OA OB S OA OB P m p P m P m p m S =-----=---+=∴==+-+>>∴+->>∴=+-===∴==+-=-+++∴=-=+?-令得：（整理得：（当时，. B 最大 [08湖北荆州]如图，等腰直角三角形纸片AB C 中，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90o，直角边AC 在x 轴上，B 点在第二象限，A （1，0），AB 交y 轴于E ，将纸片过E 点折叠使BE 与EA 所在直线重合，得到折痕EF （F 在x 轴上），再展开还原沿EF 剪开得到四边形BCFE ，然后把四边形BCFE 从E 点开始沿射线EA 平移，至B 点到达A 点停止.设平移时间为t （s ），移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE 与△AEF 重叠的面积为S. （1）求折痕EF 的长； （2）是否存在某一时刻t 使平移中直角顶点C 经过抛物线243y x x =++的顶点？若存在， 求出t 值；若不存在，请说明理由； （3）直接写出．．．．S 与t 的函数关系式及自变量t 25.145101ABC BE EA FE EA Rt AC BC CAB EF EA A OA OE AE EF ∴⊥=∴∠=?∴=∴===∴=（）折叠后与所在直线重合又中（，） ，折痕 ∥BA 交Y 轴于P ， 2（）存在.设CP 413 POC C CP AC OA OC OP ==∴==则为等腰直角三角形，直角顶点在射线上移动 ，
常见四边形的存在性
常见四边形的存在性 专题一、平行四边形的存在性问题 一、技巧提炼 模型：平行四边形模型探究 如图1，点A ()11,x y 、B ()22,x y 、C ()33,x y 是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标系中是否存在点D ，使得以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D 的坐标。 A B C x y 图1 图2 如图2，过A 、B 、C 分别作BC 、AC 、AB 的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。 解题思路：（1）先分类（2）再画图（3）后计算 例1．（2015?贵阳）如图，经过点C （0，﹣4）的抛物线y=ax 2 +bx+c （a≠0）与x 轴相交于A （﹣2，0），B 两点． （1）a ＞ 0，b 2 ﹣4ac ＞ 0（填“＞”或“＜”）； （2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式； （3）在（2）的条件下，连接AC ，E 是抛物线上一动点，过点E 作AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形若存在，求出满足条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题． 【专题】综合题；压轴题． 【分析】（1）根据抛物线开口向上，且与x轴有两个交点，即可做出判断； （2）由抛物线的对称轴及A的坐标，确定出B的坐标，将A，B，C三点坐标代入求出a，b，c的值，即可确定出抛物线解析式； （3）存在，理由为：假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，过点E作EF∥AC，交x轴于点F，如图1所示；假设在抛物线上还存在点E′，使得以A，C，F′，E′为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点E′作E′F′∥AC交x轴于点F′，则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形，可得AC=E′F′，AC∥E′F′，如图2，过点E′作E′G⊥x轴于点G，分别求出E坐标即可．【解答】解：（1）a＞0，b2﹣4ac＞0； （2）∵直线x=2是对称轴，A（﹣2，0）， ∴B（6，0）， ∵点C（0，﹣4），将A，B，C的坐标分别代入y=ax2+bx+c，
抛物线中的存在性问题
(1) 如图，抛物线与x轴负半轴交于点A， 与y轴交于点B．若M是抛物线对称轴上一点，且△A BM是等腰三角形，则点M的坐标为( ) ? A. ? B. ? C. ? D. 核心考点: 等腰三角形的存在性（两定一动） 答案：D 解题思路：点击查看解析视频：https://www.360docs.net/doc/e615465423.html,/course/video.do?id=12620 1．解题要点 ①理解题意，整合信息．
根据抛物线解析式， 可以得到A（-2，0），B（0，-4），对称轴为直线x=1． ②抓不变特征有序思考，设计方案． 分析定点、动点：△ABM中，A，B是定点，M是动点； 确定分类标准：以AB作等腰三角形的腰或底边来进行分类． ③根据方案作出图形，有序操作． 当AB为腰时，根据等腰三角形两腰相等，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作圆，两圆与对称轴的交点符合题意，此时△ABM是以AB为腰的等腰三角形； 当AB为底边时，点M在线段AB的垂直平分线上，线段AB的垂直平分线与对称轴的交点满足题意，此时△ABM是以AB为底边的等腰三角形． ④结果检验，总结． 作图验证，根据图形对结果进行判断；分析数据，对结果进行验证取舍． 2．解题过程 ∵， ∴A（-2，0），B（0，-4），抛物线的对称轴为直线x=1， ∴． 当AB为腰时， 如图，以点A为圆心，AB长为半径作圆，交抛物线对称轴于点，连接． 设抛物线对称轴与x轴的交点为D， ∵，
∴， ∴． 如图，以点B为圆心，AB长为半径作圆，交抛物线对称轴于点，过点B作BE⊥对称轴于点E，连接． ∵， ∴， ∴． ∵E（1，-4）， ∴． 当AB为底边时， 如图，作线段AB的垂直平分线，交抛物线对称轴于点．
二次函数(存在性问题)
函数图象中点的存在性问题（强化训练） 切入点一：利用基本图形来作图(充分利用图形的特殊性质)，并描述作图方法 切入点二：做好数据准备，计算尽量利用相似、数形结合（交轨法） 切入点三：紧扣不变量，善于使用前题所采用的方法或结论 切入点四：在题目中寻找多解的信息(不重不漏) 1.1因动点产生的平行四边形问题 1. 如图1，直线L：y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线G：y=ax2+bx+c 与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2． （1）该抛物线G的解析式为； （2）将直线L沿y轴向下平移个单位长度，能使它与抛物线G只有一个公共点； （3）若点E在抛物线G的对称轴上，点F在该抛物线上，且以点A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形，求点E与点F坐标并直接写出平行四边形的周长． （4）连接AC，得△ABC．若点Q在x轴上，且以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点Q 的坐标．
2. 在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2-2ax+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），AB=4，与y轴交于点C，且过点（2，3）． （1）求此二次函数的表达式； （2）若抛物线的顶点为D，连接CD、CB，问抛物线上是否存在点P，使得∠PBC+∠BDC=90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点K为抛物线上C关于对称轴的对称点，点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、K、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
四边形之存在性问题(讲义及答案)
四边形之存在性问题（讲义） 课前预习 一般悄况下我们如何处理存在性问题？ （1） 研究背景图形 坐标系背景下研究 ____________ 、 ______ 究 ___________ 、 ____________ 、 ______ （2） 根据不变特征，确定分类标准 研究定点，动点，定线段，确定分类标准 不变特征举例： ① 等腰三角形（两定一动） 以定线段作为 ________ 或者— _______________ 确定点的位 ② 置.等腰直角三角形（两定 一动） 以 知识点睛 存在性问题处理框架： ① 研究背景图形. ② 根据不变特征，确定分类标准. ③ 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解. ④ 结果验证. 平行四边形存在性问题特征举例： 分析定点、动点. ① 三定一动，连接定点出现三条定线段.定线段分别作 为平行四边形的 _________ ,利用 _____________ 确定 点坐标. ② 两定两动，连接定线段，若定线段作为平行四边形的 ________ ,则通过 ___________ 确定点的坐标；若定线 段作为平行四边形的 ___________ ，则定线段绕 __________ 旋转，利用 _______________ 确定点的坐标. 结合图形进行验证. ;儿何图形研 或者 来分类，利用 来分类，然后借助 确定点的位置. （3） 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解 （4） 结果验证 2. (1) (2)
3.特殊平行四边形存在性问题不变特征举例： ①菱形存在性问题（两定两动） 转化为等腰三角形存在性问题； 以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标. ②正方形存在性问题（两定两动） 转化为等腰直角三角形存在性问题； 根据直角顶点确定分类标准，利用两腰相等或者45。角确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标. 2如图，在平面直角坐标系中，直线y = -?x + 3与X轴、＞' 4 轴分别交于点A, 点C的坐标为（0, -2 ）.若点D在直线 AB上运动，点E在直线AC±运动，当以0, 4, D, E为顶点的四边形是平行四边形时，求点D的坐标.
二次函数中的存在性问题(答案)(可编辑修改word版)
二次函数中的存在性问题姓名 1.已知抛物线y=﹣x2+ x﹣3 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C．在直线CA 上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD 的面积最大？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 2.已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4 相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x 轴交于原点及点C．（1）求直线和抛物线解析式； （2）在x 轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D 坐标，如果不存在，说明理由． 3.已知直线y=x﹣3 与x 轴交于点A，与y 轴交于点C，抛物线y=﹣x2+mx+n 经过点A 和点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）在直线CA 上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD 的面积最大？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由．
4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=﹣x2+bx+c 与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），过点A 的直线y=kx+1 交抛物线于点C（2，3）． （1）求直线AC 及抛物线的解析式； （2）若直线y=kx+1 与抛物线的对称轴交于点E，以点E 为中心将直线y=kx+1 顺时针旋转90°得到直线l，设直线l 与y 轴的交点为P，求△APE 的面积； （3）若G 为抛物线上一点，是否存在x 轴上的点F，使以B、E、F、G 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x 轴于A，B 两点（A 在B 的左侧），交y 轴于点C． （1）求直线BC 的解析式； （2）求抛物线的顶点及对称轴； （3）若点Q 是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ 是否存在最小值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由； （4）若点P 是直线BC 上方的一个动点，△PBC 的面积是否存在最大值？若存在，求出点P 的坐标及此时△PBC 的面积；若不存在，说明理由．
-几何图形在二次函数中的存在性问题探解
---几何图形在二次函数中的存在性问题探解 二次函数是初中数学的重要内容，更是中考的重要考点之一，它以丰富的知识内涵，深远的知识综合，深厚的数学思想，灵活的解题方法，奇趣的知识背景等深深吸引着命题老师，更深刻启迪着每位同学.下面就把几何图形在二次函数中的存在性问题介绍给大家，供学习时借鉴. 一、.三角形的存在性 1.1 等腰三角形的存在性 例1 （2017年淮安）如图1-1，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=2x +bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值（图1-2、1-3供画图探究）． 分析： 第一问考查的是待定系数法确定函数的解析式，思路有几个待定系数，解答时就需要确定几个点的坐标； 第二问探析等腰三角形的存在性，解答时，要做到一先一后，先清楚动点的位置与特点，后对等腰三角形进行科学分类，一是按边分类，一是按角分类； 第三问探求三角形面积的最大值，这是二次函数的看家本领，只需将三角形的面积适当分割，恰当表示，最后将三角形面积最大问题转化为二次函数的最值问题求解即可. 解： （1）因为直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，所以B （3，0），C （0，3）， 所以{c =39a+3b+c =0，解得{c =3b =4-，所以抛物线解析式为y=2x ﹣4x+3； （2）因为y=2x ﹣4x+3=2(x 2)-﹣1，所以抛物线对称轴为x=2，顶点P （2，﹣1）， 设M （2，t ），因为△CPM 为等腰三角形，如图2所示， ①当MC=PC 时，过C 作CQ ⊥对称轴,垂足为Q ，则Q(2,3),所以QP=MQ=3-(-1)=4,所以M 到x 轴的距离8-1=7，所以1M 的坐标(2,7)； ②当MP=MC 时，作PC 的垂直平分线交对称轴于点M ，所以222(t+1)2+(t-3)=，解得t=32,所以2M 的坐标(2, 32 )；
四边形之存在性问题(二)(讲义及答案)
四边形之存在性问题（二）（讲义） 课前预习 1.一般情况下我们如何处理存在性问题？ （1）研究背景图形 坐标系背景下研究、；几何图形研究、、． （2）根据不变特征，确定分类标准 研究定点，动点，定线段，确定分类标准 不变特征举例： ①等腰三角形（两定一动） 以定线段作为或者来分类，利用 确定点的位置． ②等腰直角三角形（两定一动） 以来分类，然后借助或者 确定点的位置． （3）分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解（4）结果验证 2.用铅笔做讲义第1，2 题，并将计算、演草保留在讲义上，先 看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了2~3 分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听． 知识点睛 1.存在性问题处理框架： ①研究背景图形． ②根据不变特征，确定分类标准． ③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解． ④结果验证． 2.特殊平行四边形存在性问题不变特征举例： ①菱形存在性问题（两定两动） 转化为等腰三角形存在性问题； 以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标． ②正方形存在性问题（两定两动）转 化为等腰直角三角形存在性问题； 根据直角顶点确定分类标准，利用两腰相等或者45°角确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标．
精讲精练 1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l：y = 2x - 4 与x 轴交 于点A，与y 轴交于点B． （1）求点A，B 的坐标． （2）若P 是直线x =-2 上的一动点，则在坐标平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
抛物线中的直角三角形存在性问题一对一教案
年级九科目数学班型一对一学生姓名第次课 课题名称抛物线中的直角三角形存在性问题授课老师授课时间2018年3月２０日8：00——１0：00 教学目标经历探索直角三角形存在性问题的过程,熟练掌握解题技巧;体会分类讨论的数学思想,体验解决问题方法的多样性。 教学重点.能够正确的分析问题、转化问题,合理利用条件解决问题２.确定动点位置的方法及数形结合、分类讨论思想和方程思想的培养 教学难点能够正确的分析问题、转化问题,合理利用条件解决问题 教学过程: 一、课前小测： 1．直角三角形的两边长分别是3和４,则第三边的长是 2．已知Rt△ABC中，∠Ｃ=9０°，AC=８，ＢC=６,动点P、Q分别同时从A、B出发,其中点Ｐ在线段AB上向点B移动，速度是2单位每秒;点Q在线段BＣ上向点C运动，速度是１单位每秒。设运动时间为t（秒），当t ＝秒时,△BPQ是直角三角形。 二、新课学习： （一）经典模型 模型再现: 已知:定点Ａ(２, 1) 、B(６, ４)和动点Ｍ(ｍ，０), 存在直角三角形ＡＢM,求点M的坐标。 两线一圆找直角模型： 在平面直角坐标系中遇到直角三角形的相关问题时,通常是以直角顶点作为分类标准，如下图，分别以点A、点Ｂ、点Ｍ为直角定点来构造直角三角形,然后根据相关条件来进行求解即可。具体有以下三种情况：比如：(1）当以点A为直角顶点时,过点A作AB的垂线交ｘ轴的点即为所求；（2）当以点B为直角顶点时，过点B作AB 的垂线交x轴的点即为所求；(3)当以点M为直角顶点时,只需要以ＡB为直径作辅助圆与x轴的交点(一般情况下有两个交点,特殊情况下只有一个交点）即为所求。 （二)解法：１.“K型相似”(一线三直角) 提示：竖直型,上减下;水平型，右减左。遇直角，构矩形，得相似,求结果。 ２.勾股定理（暴力法---两点间距离公式) 利用两点间距离公式.勾股定理及其逆定理的应用进行求解。其基本解题思路是列点.列线．列式。