现代控制理论第一章

。
R
L
u
。
i
M

J
B
解：电感Ｌ和转动惯量Ｊ是储能元件，相应的物理 变量电流 i 和旋转速度 w是相互独立的，可选择为 状态变量．即
x1 i
x2
则
dx1 di dt dt
dx2 d dt dt
由电枢回路的电路方程，有
di L Ri e u dt d 由动力学方程有 J B K a i dt
整理得：
写成矢量形式为：
这就是如图2-3所示RLC电网络的动态方程。
【例1-3】 多输入多输出系统（MIMO） 如图2-5所示机 械系统,质量 m1 , m2 各受到 f1 , f 2 的作用，其相对静平衡 位置的位移分别为 x1 , x2 。
解:根据牛顿定律，分别对 们有：
m1 , m2
进行受力分析，我
七、状态空间表达式的系统方块图 经典控制理论类似，可以用方块图表示系统信号 的传递关系． 将状态方程表示的系统动态方程用方块图表示为 如图所示。系统有两个前向通道和一个状态反馈回路 组成，其中D通道表示控制输入U到系统输出Y的直接 转移。
§1-0 概 述 §1-1 状态变量及状态空间表达式
§1-2 状态空间表达式的建立
∫
x2
∫
x1
b0
y
an 1
an2
a1 a0
将图中每个积分器的输出取作状态变量，有时称 为相变量，它是输出的各阶导数．至于积分器的输入 ，显然就是个状态变量的导数．
通过系统模拟结构图，我们可以列出系统的状态方程：
第二步：将上述变换过的方块图中的每个标准积
分器（1/s）的输出作为一个独立的状态变量xi，积分
器的输入端就是状态变量的一阶导数 dxi / dt 。 第三步：根据变换过的方块图中各信号的关系，可 以写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统 的状态方程。根据需要指定输出变量，即可以从方块
图写出系统的输出方程。
二．状态矢量
如果n个状态变量用X1(t),X2(t), …Xn(t)表示，并
把这些状态变量看作是矢量X(t)的分量，则X(t)就称 为状态矢量．
x1 (t ) x ( t ) 2 x (t ) xn (t )
x(t ) x1 (t )
x2 (t )
x Ax bu y C x
T
对于一个复杂系统，具有r个输入，m个输出， 此时状态方程和输出方程变为：
写成矢量矩阵形式:
上式中，Anxn称为系统矩阵，Bnxr称 为输入(或控制)矩阵。A由系统内部结构及 其参数决定，体现了系统内部的特性，而B 则主要体现了系统输入的施加情况。 • Cmxn矩阵称为输出矩阵，它表达了输 出变量与状态变量之间的关系，Dmxr矩阵 称为直接传递矩阵，表示了控制向量U直接 转移到输出变量Y的转移关系。 •
§1-3 状态变量的线性变换 §1-4 从状态空间表达式求系统传递函数 §1-5 离散时间系统状态空间表达式 §1-6 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
§１－２状态空间表达式的建立
用状态空间法分析系统时，首先要建立给定系 统的状态空间表达式．这个表达式一般可以从三 个途径求得：一是由系统方块图 来建立，即根据 系统各个环节的实际连接，写出相应的状态空间 表达式；二是从系统的物理或化学的机理 出发进 行推导；三是由描述系统运动过程的高阶微分方 程或传递函数 予以演化而得．
根据函数向量的不同情况，一般控制系统可以分 为如下四种：
线性定常(时不变)系统
线性时变系统； 非线性定常系统；
非线性时变系统。
在本课程中，我们主要考虑线性定常系统(LTI)。 这时，系统的动态方程可以表示如下:
单输入－单输出定常系统，其状态变量为 x1 , x2 , 则状态方程的一般形式为：
xn
由电磁感应关系有 式中
e Kb
e 为反电动势； Ka , Kb 转矩常数和反电动势常数．
Baidu Nhomakorabea
Kb 1 R 整理得： di i u dt L L L d K a B i dt J J
把
x1 i, x2
代入，有
R x1 L x K 2 a J
§1-1 状态变量及状态空间表达式
§1-2 状态空间表达式的建立 §1-3 状态变量的线性变换 §1-4 从状态空间表达式求系统传递函数 §1-5 离散时间系统状态空间表达式 §1-6 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
§１－１状态变量及状态空间表达式
一．状 态 变 量
完全表征系统运动状态的最小个数的一组独立变 量为状态变量.一个用n阶微分方程描述的系统,就有n 个独立变量,当n个独立变量的时间响应都求得时,系 统的运动状态就被揭示无疑了.因此可以说该系统的
x1 a11 x1 a12 x2 x2 a21 x1 a22 x2 xn an1 x1 an 2 x2
输出方程：
a1n xn b1u a2 n xn b2u ann xn bnu
y c1 x1 c2 x2
cn xn
用向量矩阵表示状态空间表达式则为：
第
一
章
控制系统状态空间表达式
§1-1 状态变量及状态空间表达式 §1-2 状态空间表达式的建立 §1-3 状态向量的线性变换 §1-4 从状态空间表达式求系统传递函数阵 §1-5 离散时间系统状态空间表达式 §1-6 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
§1-1 状态变量及状态空间表达式 §1-2 状态空间表达式的建立 §1-3 状态变量的线性变换 §1-4 从状态空间表达式求系统传递函数 §1-5 离散时间系统状态空间表达式 §1-6 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
数可写成如下形式：
(bm1 an1bm )sn1 (bm2 an2bm )sn2 (b1 a1bm )s (b0 a0bm ) W (s) bm sn an1sn1 a1s a0
这意味着输出含有与输入直接关联的项． 应该指出：从传递函数求得的状态空间表达式并 不是唯一的 一．传递函数中没有零点时的实现 此时，系统的微分方程为
众所周知，n阶微分方程式要有唯一的解，必须 知道n个独立的初始条件，很明显，这个独立的初始 条件就是一组状态变量在初始时刻的值． 状态变量是既足以完全确定系统运动状态而个 数又是最小的一组变量，当其在t=to时刻的值已知， 则在给定t>=to时间的输入作用下，便能完全确定系
统在任何t>=to时间的行为．
相应的传递函数为
mn
所谓实现问题，就是根据以上两式寻求如下状态 空间表达式
x Ax bu y C T x du
并非任意的微分方程或传递函数都能求得其实现， 实现的存在条件是 m n ，当
m n 时， d 0
，
而当
m n 时 d bm 0 ．在这种情况下，传递函
从图可得系统状态方程：
取y为系统输出，输出方程为： y
x1
写成矢量矩阵形式，我们得到系统动态方程：
二 . 从系统的机理 出发建立状态空间表达式
一般控制系统可分为电气、机械、机电、气 压、热力等等。要研究它们，一般先要建立其运 动的数学模型（微分方程、传递函数、动态方程 等）。根据具体系统结构及其研究目的，选择一 定的物理量作为系统的状态变量和输出变量，并 利用各种物理定律，如牛顿定律、基尔霍夫电压 电流定律、能量守恒定律等，即可建立系统的动 态方程模型。
为如下S的有理分式：
由系统的传递函数求其状态方程的过程称为系统
的实现问题，因为传递函数只是表达了系统输出与输 入的关系，却没有表明系统内部的结构，而状态空间 表达式却可以完整的表明系统内部的结构，有了系统
的状态空间表达式，就可以唯一地模拟实现该系统。
考虑一个单变量线性定常系统，它的运动方程是 一个n阶线性常系数微分方程
Kb 1 L x1 L u B x2 0 J
若指定角速度为输出，则
x1 y x2 0 1 x2
若指定电动机的转角为输出，则上述两个状态变量 不足以对系统的时域行为加以全面描述，必须增添 一个状态变量 x3
y(n) an1 y( n1)
a1 y a0 y b0u(t )
相应的传递函数为
b0 W ( s) n s an1s n 1
a1s a0
上式的实现，可以有多种结构，常用的简便形 式可由相应的模拟结构图导出．
u
＋ － ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
∫
xn
∫
xn 1
xn (t )
T
三.状态空间
以状态变量 x1 , x2 , 空间，称为状态空间． 四.状态方程 由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为 系统的状态方程．
xn 为坐标轴所构成的n维
五. 输出方程
在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间
的函数关系式,称为系统的输出方程.
六. 状态空间表达式
状态方程和输出方程总和起来,构成对一个系统 完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式.
R L x1 x Ka 2 J x3 0
三 . 由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数 出发建立状态空间表达式
从经典控制理论中知道，任何一个线性系统都可 以用下列线性微分方程表示：
其传递函数就是 输出信号y(t) 的Laplace变换 Y(S)与输入信号u(t) 的Laplace变换U(S)之比，其形式
【例1-2】 RLC电路如下图所示. 以ei作为系统的
控制输入u(t)，eo作为系统输出y(t)。建立系统的 动态方程。
解: 该R-L-C电路有两个独立的储能元件L和C，可以取 电容C两端电压和流过电感L的电流 作为系统的两个状 态变量，分别记作x1和x2。根据基尔霍夫电压定律和 R、L、C元件的电压电流关系，可得到下列方程：
取
则有状态方程：
x1 , x2 , v1 , v2 为系统四个状态变量 x1 , x2 , x3 , x4 ， f1 (t ), f 2 (t ) 为系统两个控制输入 u1 (t ), u2 (t ) ，
如果取
x1 , x2
为系统的两个输出，即：
写成矢量矩阵形式，得系统的状态空间表达式：
【例1- 4】下图是直流电动机的示意图.图中R和L分别 为电枢回路的电阻和电感,J为机械旋转部分的转动惯 量,B为旋转部分的粘性摩擦系数.列写该图在电枢电压 作为控制作用时的状态空间表达式.
x3
则
x3 x2
于是，状态方程为
0 1 x1 L 0 x2 u 0 x3 0 0 x1 输出方程为 y x3 0 0 1 x2 x3 Kb L B J 1
状态变量就是n阶系统的n个独立变量.
同一系统中,究竟选取哪些变量作为独立变量,这 不是唯一的,重要的是这些变量应该是相互独立的.,且 其个数应等于微分方程的阶数;又由于微分方程的阶 数唯一的取决于系统中独立储能元件的个数,因此状 态变量的个数就应等于系统独立储能元件的个数. 测量上：理论上不一定要可测量的，但工程上一般选 可测量的，用于反馈控制。
【例1-1】某控制系统的方块图如下图所示，试求出 其动态方程。
解：该系统主要有一个一阶惯性环节和一个积分器组 成。对于一阶惯性环节，我们可以通过等效变换，转 化为一个前向通道为一标准积分器的反馈系统。
上图所示方块图经等效变换后如下模拟结构图示：
我们取每个积分器的输出端信号为状态变量 x1 , x2 积分器的输入端即 x1, x2
一．从系统方块图出发建立状态空间表达式 要将系统方块图模型转化为状态空间表达式，一 般可以由下列三个步骤组成： 第一步：在系统方块图的基础上，将各环节通 过等效变换分解，使得整个系统只有标准积分器 （1/s）、比例器（k）及其综合器（加法器）、信 号线组成，这四种基本器件通过串联、并联和反馈
三种形式组成整个控制系统。