解斜三角形知识点及练习

一）复习

1、二倍角的正弦、余弦、正切

（1）sin 22sin cos ααα=

（2）22cos2cos sin ααα=-

（3）22tan tan 21tan ααα

=- 典型例题

㈠直接利用公式求值

例1： 求下列各式的值：（1）12

πcos 12πsin

(2)1-5cos o 2.222 例2：已知cos α=-45 ,α∈（π2,2π3），求α2tan ,α2cos ,α2sin ㈡倍角公式的反利用

例3：求（1）804020000cos cos cos 的值 （2）°

75sin °30sin °15sin ㈢先化简再求值

例4：已知=αtan -34

，求cos2α的值 2、半角的正弦、余弦、正切

（1）cos β=1-2sin 22β

2

β=

±2βcos 1 （2）cos β=2cos 22β-1 cos 2

β=±2βcos +1 (3)=2β+2β2β2β=βcos sin cos sin cos 22222+12β1tan tan 2

2 tan 2β=±βcos +1βcos 1

注：①半角公式可以不用记忆，通过倍角公式推导

②tan 2β= ③万能置换公式： tan 2

β=

典型例题：

㈠直接利用公式：

例1：利用半角公式求sin15°=__________

例2：=︒

-︒5.22tan 15.22tan 2_________ ㈡将角拆成可以利用公式的形式

例3：已知=)4

π+

αtan(,b =α2cos ,a =α2sin 则__________ ㈢利用半角公式求值

例4：已知_________=α

sin 4αcos 3αcos 3+αsin 252=2αtan ，则

二、新课

一）解斜三角形

㈠正弦定理

1、斜三角形：锐角三角形和钝角三角形

2、斜三角形的正弦定理

在△ABC 中，相应的边分别为a ，b ，c c

C sin =b B sin =a A sin 注：①公式对任意三角形适用 ②公式的变形：⒈C

sin c =B sin b =A sin a ⒉ a:b:c=sinA:sinB:sinC

③三角形的面积：

典型例题：

1）解三角形：条件成对

例1：(1)在△ABC 中，若a=5，b=15，A=300, 则c=__________

(2) 在△ABC 中，B =1350，C=150，a=5，则此三角形的最大边长为

（3）△ABC 中,∠A 、∠B 的对边分别为a,b ，且∠A=30°,2=b ,2=a ,那么B=________

例2：在△ABC 中，a +b =1，A=600，B=450，求a ，b

（2）判断三角形的形状

例3：△ABC 中，若sinA=2sinBcosC ，sin 2A=sin 2B+sin 2C ，试判断△ABC 的形状。

（3）求三角形的面积

例4：在△ABC 中，3=AB ,1=AC ,∠A ＝30°，则△ABC 面积为____________

（4）求比值

例5：在△ABC 中，sinA ：sinB ：sinC ＝4：5：6，则a:b:c=___________

例6：在△ABC 中，a=3，A=60°，求值：C

sin +B sin +A sin c +b +a ㈡余弦定理

在△ABC 中，相应的边分别为a ，b ，c

过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则在Rt △CDB 中，根据勾股定理可得：

a 2＝CD 2＋BD 2

∵在Rt △ADC 中，CD 2＝b 2－AD 2

又∵BD 2＝(c －AD )2＝c 2－2c ²AD ＋AD 2

∴a 2＝b 2－AD 2＋c 2－2c ²AD ＋AD 2＝b 2＋c 2－2c ²AD

又∵在Rt △ADC 中，AD ＝b ²cos A

∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A

类似地可以证明b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C

余弦定理：

a 2＝

b 2＋

c 2－2bc cos A ，

b 2＝

c 2＋a 2－2ca cos B ，

c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C

注：①余弦定理适用于任意三角形

②变形形式（常用）：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab 典型例题

（1）解三角形

例1：在△ABC 中：已知b ＝8，c ＝3，A ＝60°，求a

例2：已知a ＝20，b ＝29，c ＝21，求B

（2）判断三角形类型：cosA>0 锐角，cosA=0 直角，cosA<0 钝角

（3）运用边的等量关系求值

例3：在△ABC 中，已知：c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，求角C .

例4：△ABC 中，A ＝60°，最大边和最小边是方程x 2-9x ＋8＝0的两个根，那么BC 边长是________

三、本次课后作业

1、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于

2、ABC ∆中，a+b=12，∠A=60°，∠B=45°，则a=_______,b=_________

3、ABC ∆中，sinC=cosAcosB,则tanA+tanB=____________

4、在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a ::

5、在△ABC 中，若∠A=600，∠B=450，a =那么△ABC 的面积为

6、在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足(a ＋b ＋c )(a ＋b -c )＝3ab ，则∠C=__________

7、已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角=__________ 8、在ABC ∆中，已知)sin()()sin()(2222B A b a B A b a -+=+-，判定ABC ∆的形状

9、在ABC ∆中，若BC=a ，AC=b ，a ，b 是方程0=2+x 32x 2的两个根，且2cos （A+B ）=1，求（1）∠C 的度数 （2）AB 的长 （3）ABC ∆的面积

10、如图，在四边形ABCD 中，已知A D C D ⊥，10AD =，14AB =，60BDA ∠=°，135BCD ∠=°，求BC 的长