完全平方公式和平方差公式

乘法公式

1．平方差公式

(1)平方差公式的推导：

因为(a ＋b )(a －b )＝a 2－ab ＋ab －b 2＝a 2－b 2，

所以(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.

【例1】 利用平方差公式计算．

(1)(2a ＋3b )(－2a ＋3b )； (2)503×497.

2．完全平方公式

(1)两数和的完全平方公式：(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2；

两数差的完全平方公式：(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.

析规律 完全平方公式的特征 完全平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在中央．

【例2】 计算：

(1)(4m ＋n )2； (2)(y －12)2； (3)(－a －b )2； (4)(－2a ＋12b )2.

3．添括号法则

法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．

警误区 添括号法则的易错点 添括号时，如果括号前面是负号，括到括号里面的各项都改变符号，不可只改变部分项的符号，如：a －b ＋c ＝a －(b ＋c )，这样添括号时只是改变了第一项的符号，而第二项的符号没有改变，所以这样添括号是错误的．

【例3】 填空：(1)(x －y ＋z )(x ＋y －z )

＝[x －( )][x ＋( )]；

(2)(x ＋y ＋z )(x －y －z )

＝[x＋()][x－()]．

【例4】如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式__________．

【例6】观察下列各式的规律：

12＋(1×2)2＋22＝(1×2＋1)2；

22＋(2×3)2＋32＝(2×3＋1)2；

32＋(3×4)2＋42＝(3×4＋1)2；

…

写出第n行的式子，并证明你的结论．

类型一：巧用乘法公式类型二：平方差与完全平方公式混用

22114422x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

计算： ()()a b c a b c ++--计算：

类型三：完全平方公式在三角形中的运用

例3、已知△ABC 的三边长a,b,c 满足222

0a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC 的形状

类型四：利用乘法公式解方程(组)

例4：()()()()222432x y x y x y x y ⎧+-+=+-⎪⎨-=-⎪⎩解方程组

类型五：多项式的证明

例5：证明无论a,b 为何值，多项式22

2612a b a b +--+的值恒为正

类型六：灵活运用乘法公式解题

例6、计算22222111111-1-1-11234910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

K

拓展：

三项完全平方公式：()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++

二次三项式：()()()2+x a x b x a b x ab +=+++

立方和公式：()()3322a b a b a ab b +=+-+

立方差公式：()()

3322-+a b a b a ab b =++

1、若()()234+,,x x x px q p q --=+那么的值分别是

2、()()()224,b

ax b x x ab ++=-+=若则 3、()()3x m x ++如与的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为

4、已知()()2

50,3+2a a a a -+=-则的值是 5、已知实数()()22

22,1,25,a b a b a b b ab +=-=++=满足则a 6、将代数式()22

62x x x p q ++++化成的形式为 7、若2+216x ax +是一个完全平方展开式，则a 的值是________-

8、已知2

16x x k ++是个完全平方式，则常数k 的值为_______

9、若()222560,x =x y xy y +-+-=+则___________- 10、已知2

221114,x x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭求x 和的值

11、知实数()()22

22,1,25,a b a b a b b ab +=-=++=满足则a

课后练习

1.下列各式中，相等关系一定成立的是（ ）

A.(x －y)2＝(y －x)2

B.(x+6)(x －6)＝x 2－6

C.(x+y)2＝x 2+y 2 +2xy 2－y 2＝(x+y)2

2.下列运算正确的是（ ）

A.(a+3)2＝a 2+9

B.(13x －y)2＝16x 2－23

xy+y 2 C.(1－m)2＝1－2m+m 2 D.(x 2－y 2)(x+y)(x －y)＝x 4－y 4

3.将面积为a 2的正方形边长增加2，则正方形的面积增加了（ ）

+4 +4

4.下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ）

A.(a+1)(2a －2)

B.(2x －3)(－2x+3)

C.(2y －13)(13

+2y) D.(3m －2n)(－3m －2n) 5.不等式(2x －1)2－(1－3x)2＜5(1－x)(x+1)的解集是（ ）

＞－ ＜－ ＞ ＜

6.计算：(1)－

57y)(－57y －； (2)1523

×(－1413)；

(3)［2x 2－(x+y)(x －y)］［(z －x)(x+z)+(y －z)(y+z)］； (4)(a －2b+3c)(a+2b －3c).