数理统计复习题知识分享

数理统计复习题

1.设总体X 的密度函数为

(1)

,

()0

.

C x x C f x x C θθθ-+⎧>=⎨

≤⎩ 0C >为已知，1θ>. 12,,

n X X X 为简单随机样本，（1）求θ的矩估计量；（2）求θ的极大似然估

计量.

解：矩估计：因为(1)()1

C

C

C E X x C x dx C x dx θθθθθ

μθθθ+∞+∞

-+-====

-⎰

⎰

，由矩法^X μ=，即^

^

^

1

C θ

μθ=

-，解此方程得出^

X

X C

θ=

-. 似然函数为：(1)

(1)121

1

1

(,,

,;)(;)()n n

n

n

n i i

i i i i L x x x f x C x C x θθθθθθθθ-+-+====∏=∏=∏

1

ln ln()(1)ln n

i i L n C x θ

θθ==+--∑

令1

ln ln ln 0n

i i L n

n C x θθ=∂=+-=∂∑，解得：1

ln ln n

i

i n

x n C

θ==-∑.

即^

1

ln ln n

i

i n

x n C

θ==

-∑为θ的极大似然估计量

2.设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为0.6 7.5 8.5 5.6 0.7

3.6 6.5 1.6 0.5，设干燥时间总体服从正态分布),,(2σμN 求μ的置信水平为

95.0的置信区间：

（1）若由以往经验知6.0=σ（小时），（2）若σ为未知． 解：（1）当方差2σ已知时，μ的置信水平为1α-

的置信区间为

22(,)X Z X αα，

这里，6.0,9,025.02/,05.0,95.01=====-σαααn 6=x ，查表得96.1=αZ 将这些值代入上区间得)392.6,608.5(．

（2）当方差2σ未知时，μ的置信水平为1α-的置信区间为

),1((2/--

n t n

S X α))1(2/-+

n t n

S X α----（8分）

这里81,025.02/,05.0,95.01=-===-n ααα，查表得3060.2)1(2/=-n t α，

经计算得,6=x ∑==--=n

i i x x n s 1

22

33.0)(11， 将这些值代入上区间得)442.6,588.5(．

3.一种物质吸附另一种物质的能力与温度有关，在不同温度下吸附的重量Y ,测得结果列表如下。设对于给定的x ，Y 为正态变量，方差与x 无关.

解：9n =，

__

__

1

1

(1.5 1.8 5.0) 3.36667,(4.8 5.715.3)10.122229

9

x y =++

+==++

+=

2

21

n

xx i i S x nx ==-∑=115.11-9(3.36667)2 =13.09977,

1

345.0993.3666710.1222238.386n

xy i i i S x y nx y ==-=-⋅⋅=∑,

^

^^

2.9303,0.2568xy xx

S b a y xb S =

==-=

所以所得回归直线方程为0.25680.29303y x =+.

4.某工厂采用新法处理废水，对处理后的水测量所含某种有毒物质的浓度，得

到

10个数据（单位：mg/L ）:

22 , 14 , 17 , 13 , 21 , 16 , 15 , 16 , 19 , 18

而以往用老办法处理废水后，该种有毒物质的平均浓度为19.问新法是否比老法 效果好？假设检验水平0.05α=，有毒物质浓度),,(~2σμN X

（()()()20.0250.050.0250.0250.058.544, 1.96, 1.64,10 2.228,9 2.262,9 1.833S u u t t t ======）

解 若新法比老办法效果好，则有毒物质平均浓度应低于老办法处理后的有毒物质平均浓度，设有019μ=故应设待检验原假设H 0为0μμ=，对应假设1H 为0μμ<，若1H 成立，则认为新法效果好，检验如下：

（1）0H : 19μ=；1H : 19μ< （2）在0H 成立下，选检验统计量

()

9X T t =

（3）对给定的检验水平0.05α=，选0H 的拒绝域为0.05(9)T t <-。

1.9

2.0556

0.9243T -=

=

===-

显然 ()0.050.205569 1.833T t =-<-=-

T 值落入0H 的拒绝域，故拒绝0H 而接受1H ，因此可以认为新法比老办法效

果好。 5.设总体10212,,,),(~X X X n X χ是来自X 的样本，求)(),(X D X E ，

)(2S E ．

解：n DX DX n EX EX i i 2,==== 则

∑∑=====10

1101101)101(i i i i n

EX X E X E 5

210100110

1

)101(10

1

2

101n

n DX X D X D i i i i =⨯⨯=

==∑∑== 222()2i i EX DX EX n n =+=+

2

22()5

n

E X DX E X n =+=

+10

10222

22

11

11()(10)(10)21019i i i i E S E X X EX E X n ===-=-=-∑∑

6.调查339名50岁以上吸烟习惯与患慢性气管炎病的关系，得下表，问：吸烟者与不吸烟者患慢性气管炎患病率是否有所不同？)05.0(=α