机械振动的基本理论

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1.1 振动系统 振动系统一般可分为连续系统或离散系统。 振动系统一般可分为连续系统或离散系统。 连续系统或离散系统 具有连续分布的质量与弹性的系统， 具有连续分布的质量与弹性的系统，称为连续弹性 体系统。弹性体是具有无限多自由度的系统， 体系统。弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振 动规律要用时间和空间坐标的函数来描述， 动规律要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方 程是偏微分方程。 程是偏微分方程。 在一般情况下，要对连续系统进行简化， 在一般情况下，要对连续系统进行简化，用适当的 准则将分布参数“凝缩”成有限个离散的参数，这样 准则将分布参数“凝缩”成有限个离散的参数， 便得到离散系统。所建立的振动方程是常微分方程。 便得到离散系统。所建立的振动方程是常微分方程。 由于所具有的自由度数目上的区别， 由于所具有的自由度数目上的区别，离散系统又称为 多自由度系统。 多自由度系统。
也可写成
Z = A e j α e j ωt = A e j ωt
A = A e jα
是一复数，称为复振幅。 是一复数，称为复振幅。它包含了振动的振幅和相角两个信 息。用复指数形式描述简谐振动将给运算带来很多方便。 用复指数形式描述简谐振动将给运算带来很多方便。
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第1章 振动的基本理论
目 录
1.1 振动系统 1.2 简谐振动 1.3 周期振动的谐波分析 1.4 非周期函数的连续频谱
Theoretical Mechanics
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第1章 振动的基本理论
1.1 振动系统
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用时间t的正弦（或余弦）函数表示的简谐振动。其一般表达式为
x = A sin (ωt + α )
振幅 圆频率 初相位 一次振动循环所需的时间T 称为周期； 一次振动循环所需的时间 称为周期；单位时间内振动循环 的次数f 称为频率。 的次数 称为频率。
T= 1 2π 1 ω = ,f = = f T 2π ω
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振动理论与应用
引 言
振动问题的研究方法－ 振动问题的研究方法－与分析其他动力学问题 相类似： 相类似： 选择合适的广义坐标； 选择合适的广义坐标； 分析运动； 分析运动； 分析受力； 分析受力； 选择合适的动力学定理； 选择合适的动力学定理； 建立运动微分方程； 建立运动微分方程； 求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。 求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。
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1.2 简谐振动 由于 j = e
j π 2
1.2.1简谐振动的表示 1.2.1简谐振动的表示
− 1 = e jπ
用复数表示的简谐振动的速度加速度为
& x = I m [j ωA e j( ωt + α ) ] = I m [ Aω e
π j( ωt + α + ) 2
]
&& = I m [− Aω 2 e j( ωt + α ) ] = I m [ Aω 2 e j( ωt + α + π ) ] x
A = ( A1 sin α 1 + A2 sin α 2 ) 2 + ( A1 cos α 1 + A2 cos α 2 ) 2 A1 sin α 1 + A2 sin α 2 α = arctan( ) A1 cos α 1 + A2 cos α 2
即两个同频率简谐振动合成的结果仍然是简谐振动， 即两个同频率简谐振动合成的结果仍然是简谐振动，其角频率 与原来简谐振动的相同，其振幅和初相角用上式确定。 与原来简谐振动的相同，其振幅和初相角用上式确定。
可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数， 可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，具 有相同的频率。 有相同的频率。
π 在相位上， 在相位上，速度和加速度分别超前位移 2
和π 。
可得到加速度与位移有如下关系
&& = −ω 2 x x
重要特征:简谐振动的加速度大小与位移成正比， 重要特征:简谐振动的加速度大小与位移成正比，但方向总是 与位移相反，始终指向平衡位置。 与位移相反，始终指向平衡位置。
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1.2 简谐振动 1. 两个同频率振动的合成 有两个同频率的简谐振动
1.2.2简谐振动的合成 1.2.2简谐振动的合成
x1 = A1 sin(ωt + α 1 )
x 2 = A2 sin(ωt + α 2 )
由于A1 、A2的角速度相等，旋转时 它们之间的夹角( α 1 − α 2 )保持不变， 合矢量A也必然以相同的角速度 ω 作 匀速转动
章 第1章 振动的基本理论
振动理论与应用
Theory of Vibration with Applications Theory of Vibration with Applications
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振动理论与应用
引 言
振动是一种运动形态， 振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置 是一种运动形态 往复运动。 附近作往复运动 附近作往复运动。 物理学知识的深化和扩展－ 物理学知识的深化和扩展－物理学中研究质 点的振动；工程力学研究研究系统的振动，以及 点的振动；工程力学研究研究系统的振动， 工程构件和工程结构的振动。 工程构件和工程结构的振动。 振动属于动力学第二类问题－ 振动属于动力学第二类问题－已知主动力求 运动。 运动。
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1.2 简谐振动 3. 用复数表示简谐振动 记 j=
−1
1.2.1简谐振动的表示 1.2.1简谐振动的表示
, 复数
z = A e j(ωt +α ) = A cos(ωt + α ) + j A sin(ωt + α )
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1.1 振动系统
振动概述
振动问题的分类
按激励特性划分： 按激励特性划分： 自由振动－没有外部激励，或者外部激励除去后， 自由振动－没有外部激励，或者外部激励除去后， 系统自身的振动。 系统自身的振动。 受迫振动－ 受迫振动－系统在作为时间函数的外部激励下发 生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。 生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。 自激振动－ 自激振动－系统由系统本身运动所诱发和控制的 激励下发生的振动。 激励下发生的振动。 参激振动－ 参激振动－激励源为系统本身含随时间变化的参 这种激励所引起的振动。 数，这种激励所引起的振动。
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1.2 简谐振动 2. 用旋转矢量表示简谐振动
1.2.1简谐振动的表示 1.2.1简谐振动的表示
旋转矢量OM 的模为振幅 ，角速度为圆频率ω ，任一瞬 的模为振幅A， 旋转矢量 在纵轴上的投影ON 即为简谐振动表达式 时OM 在纵轴上的投影
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第1章 振动的基本理论
1.2 简谐振动
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1.2 简谐振动 1. 用正弦函数表示简谐振动
1.2.1简谐振动的表示 1.2.1简谐振动的表示
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1.1 振动系统
振动问题的分类
按系统特性或运动微分方程类型划分： 按系统特性或运动微分方程类型划分： 线性振动－ 线性振动－系统的运动微分方程为线性方程的 振动。 振动。 m&& + ky = 0 y & m θ& + k θ＝F sin( ωt)
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1.2 简谐振动 由矢量的投影定理
1.2.2简谐振动的合成 1.2.2简谐振动的合成
x = A1 sin(ωt + α 1 ) + A2 sin(ωt + α 2 ) = A sin(ωt + α )
A =A1 +A2
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振动理论与应用
振动概述
Baidu Nhomakorabea
振动问题的共同特点
所考察的系统既有惯性又有弹性。 所考察的系统既有惯性又有弹性。 运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。 运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。
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周期T的单位为秒（s），频率f的单位为赫兹（Hz）， 圆频率 ω的单位为弧度/秒（rad/s）。
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1.2 简谐振动
1.2.1简谐振动的表示 1.2.1简谐振动的表示
图描述了用正弦函数表示的简谐振动，它可看成是该图中左 图描述了用正弦函数表示的简谐振动， 边半径为A的圆上一点作等角速度 的运动时在x轴上的投影 轴上的投影。 边半径为 的圆上一点作等角速度ω 的运动时在 轴上的投影。 如果视x为位移， 如果视 为位移， 则简谐振动的速度和加速度就是位移表达 为位移 式关于时间t的一阶和二阶导数， 式关于时间 的一阶和二阶导数，即 的一阶和二阶导数
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振动理论与应用
引 言
振动问题的研究方法－ 振动问题的研究方法－与分析其他动力学问题 不同的是：一般情形下， 不同的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广 义坐标的原点。 义坐标的原点。 研究振动问题所用的动力学定理： 研究振动问题所用的动力学定理： 矢量动力学基础中的－动量定理； 矢量动力学基础中的－动量定理； 动量矩定理； 动量矩定理； 动能定理； 动能定理； 达朗伯原理。 达朗伯原理。 分析动力学基础中的－拉格朗日方程。 分析动力学基础中的－拉格朗日方程。
π & x = Aω cos(ωt + α ) = Aω sin(ωt + α + ) 2 && = − Aω 2 sin(ωt + α ) = Aω 2 sin(ωt + α + π) x
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1.2 简谐振动
1.2.1简谐振动的表示 1.2.1简谐振动的表示
eq eq 0
非线性振动－系统的刚度呈非线性特性时， 线性振动－系统的刚度呈非线性特性时， 将得到非线性运动微分方程， 将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动 称为非线性振动。 称为非线性振动。
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1.1 振动系统
线性振动：相应的系统称为线性系统。 线性振动：相应的系统称为线性系统。 线性振动的一个重要特性是线性叠加原理成立。 线性振动的一个重要特性是线性叠加原理成立。 非线性振动：相应的系统称为非线性系统。 非线性振动：相应的系统称为非线性系统。 非线性振动的叠加原理不成立。 非线性振动的叠加原理不成立。
复数Z的实部和虚部可分别表示为 复数 的实部和虚部可分别表示为
R e ( z ) = A cos(ωt + α ) I m ( z ) = A sin(ωt + α )
简谐振动的位移x与它的复数表示 的关系可写为 简谐振动的位移 与它的复数表示z的关系可写为 与它的复数表示
x = I m ( z)
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1.1 振动系统
振动概述
振动问题的分类
按系统的自由度划分： 按系统的自由度划分： 单自由度振动 一个自由度系统的振动。 单自由度振动－一个自由度系统的振动。 振动－ 多自由度振动 多自由度振动－两个或两个以上自由度系统的 振动－ 振动。 振动。 连续系统振动 连续弹性体的振动。 连续系统振动－连续弹性体的振动。这种系统 振动－ 具有无穷多个自由度。 具有无穷多个自由度。