(超全)带电粒子在有界磁场中运动的临界问题、极值问题和多解问题

越长 则带电粒子在有界磁场中运动的时间②________.
第八章
第4节
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3 ．当速率 v 变化时，圆周角大的，运动时间③
长 ________.
二、带电粒子在有界磁场中的多解问题 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于 多种因素的影响，使问题形成多解，多解形成原因一般 包含下述几个方面：
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受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能 带负电，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场 中运动的轨迹不同，形成多解． 如图所示，带电粒子以速率 v 垂直进入匀强磁场， 如果带正电，其轨迹为 a；如果带负电，其轨迹为 b.
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第八章 第4节
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2．要重视分析时的尺规作图，规范而准确的作图可 突出几何关系，使抽象的物理问题更形象、直观．
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规律总结
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1.解决此类问题的关键是:找准临界点. 2.找临界点的方法是: 以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突 破口,借助半径R和速度v（或磁场B）之间的约束关系进行动 态运动轨迹分析,确定轨迹圆和边界的关系,找出临界点,然 后利用数学方法求解极值,常用结论如下: （1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的 轨迹与边界相切. （2）当速度v一定时,弧长（或弦长）越长,圆周角越大,则 带电粒子在有界磁场中运动的时间越长. （3）当速率v变化时,圆周角大的,运动时间越长.
第八章 第4节
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(1)轨迹圆的缩放：当粒子的入射方向不变而速度大 小可变时，粒子做圆周运动的轨迹圆心一定在入射点所 受洛伦兹力所表示的射线上，但位置(半径 R)不确定，用 圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中 即可发现“临界点”． (2)轨迹圆的旋转：当粒子的入射速度大小确定而方 向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样 大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋 转(作图)中，也容易发现“临界点”．
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不同 形成多解：带电粒子在洛伦 3．临界状态⑥________
兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动速度不同， 因此，它可能穿过去了，可能转过 180° 从入射界面这边 反向飞出，如图所示，于是形成多解．
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4． 运动的重复性形成多解： 带电粒子在部分是电场、
(1)若要粒子从ab边上射出， 则入射速度v0的范围是多少？ (2)粒子在磁场中运动的最 长时间为多少？
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【解析】
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①带电粒子在 O 点所受洛伦兹力方向垂
直于 v0，即图中 OO1 方向，所有粒子的轨道圆心均应在 直线 OO1 上．
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3．临界状态不唯一形成多解
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带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于 粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可 能转过 180° 从入射界面这边反向飞出，如图所示，于是 形成了多解．
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4．运动的往复性形成多解
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跟踪训练 1 如图所示，一足够长的矩形区域 abcd 内有磁感应强度为 B， 方向垂直纸面向里的匀强磁场， 现 从 ad 边的中点 O 处， 以垂直磁场且跟 ad 边成 30° 角的速 度方向射入一带电粒子．已知粒子质量为 m，带电荷量 为 q，ad 边长为 l，不计粒子重力．求：
第八章 第4节
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【解析】
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(1)电子射出方向不同，其在匀强磁场中
的轨迹不同， 每个电子的圆轨道的圆心都位于以射出点 S mv 为圆心、半径 r＝ 的圆弧上，如图所示．欲使电子有 Be L 可能击中挡板，电子的轨道半径至少为 ，如图所示． 2
第八章
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v2 L 由 Bev＝m r 和 r＝ 可解得 2 BeL v＝ 2m BeL 即电子源的发射速度至少为 . 2m
例 1 如图所示，S 为一个电子源，它可以在纸面内 360° 范围内发射速率相同的质量为 m、电量为 e 的电子， MN 是一块足够大的挡板，与 S 的距离 OS＝L，挡板在 靠近电子源一侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强 度为 B，问：
(1)若使电子源发射的电子能到达挡 板，则发射速度最小为多大？ (2)如果电子源S发射电子的速度为 第(1)问中的2倍，则挡扳上被电子击中 的区域范围有多大？
①速度较小时粒子做部分圆周运动 后从原边界飞出；②速度在某一范 围内从上侧面边界飞；③速度较大 时粒子做部分圆周运动从右侧面边 界飞出；④速度更大时粒子做部分 圆周运动从下侧面边界飞出。
θ v a
b
第八章 第4节 量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
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第4节 带电粒子在有界
磁场中运动的临界极值问题和多解问题
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一、带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题 1．刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运
相切 动的轨迹与边界①________.
2． 当速度 v 一定时， 弧长(或弦长)越长， 圆周角越大，
第八章 第4节 量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态
高考调研 高三物理（新课标版） 三．带电粒子在矩形边界磁场中的运动
v
o
B
d
圆心在磁场原边界上 ①速度较小时粒子作半圆 运动后从原边界飞出；② 速度在某一范围内时从侧 面边界飞出；③速度较大 时粒子作部分圆周运动从 对面边界飞出。
c
B
圆心在 过入射 点跟速 度方向 垂直的 直线上
第八章 第4节
高考调研 高三物理（新课标版） 二．带电粒子在平行直线边界磁场中的运动
Q
P B
P
Q
P
Q
v
S
圆心在磁场 原边界上
v
圆心在过入射点跟 边界垂直的直线上
①速度较小时，作圆 周运动通过射入点； ②速度增加为某临界 值时，粒子作圆周运 动其轨迹与另一边界 相切；③速度较大时 粒子作部分圆周运动 后从另一边界飞出
周期性 ，因 部分是磁场空间运动时，往往运动具有⑦________
而形成多解.
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一、带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题 规律方法 1．解决此类问题关键是找准临界点，审题应抓住题 目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语作为 突破口，挖掘隐含条件，分析可能的情况，如有必要则 画出几个不同半径相应的轨迹图，从而分析出临界条 件．寻找临界点的两种有效方法：
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1．带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用 的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同
不同 的初速度下，正负粒子在磁场中运动轨迹④ ________ ，
导致形成双解． 2．磁场方向不确定形成多解：有些题目只告诉了磁 感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必 须要考虑磁感应强度方向⑤________ 两种 而形成的双解． 可能
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解得 R1＝l，由公式 qvB＝mv2/R，得该轨道上粒子 qBl 速度为 v01＝ m . ④对于从 ab 射出的、速度最小的粒子，其轨道应与 ab 相切，设切点为 N，圆心为 O2，半径为 R2，则 R2＋ 1 1 qBl 2 R2cos60° ＝ l， 解得 R2＝ l， 由 qvB＝mv /R 可得 v02＝ . 2 3 3m
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【解析】
粒子在整个运动过程中的速度大小恒为
v， 交替地在 xy 平面内 B1 与 B2 磁场区域中做匀速圆周运 动，轨道都是半个圆周．设粒子的质量和电荷量的大小 分别为 m 和 q，圆周运动的半径分别为 r1 和 r2，有 mv r1 ＝ ① qB1 mv r2 ＝ ② qB2
②因矩形区域 abcd 足够长， 所以当轨道与 cd 相切时， 其半径应是所有从 ab 上射出的粒子中最大的，对应粒子 的速度也最大．设上述切点为 M，则该粒子轨道的圆心 必在过 M 且与 cd 垂直的直线上． ③设轨道与 cd 相切的粒子，其轨道半径为 R1，由几 何关系可得 l R1sin30° ＋ ＝R1 2
2．磁场方向不确定形成多解
有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指 出磁感应强度的方向，此时必须考虑因磁感应强度方向 不确定而形成的多解．
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如图所示，带正电粒子以速率 v 垂直进入匀强磁场， 如果 B 垂直于纸面向里，其轨迹为 a；如果 B 垂直于纸 面向外，其轨迹为 b.
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5π 从 ad 边上射出，转过的角度均为 ，这些粒子在磁场中 3 5πm 运动的时间最长，tmax＝ . 3qB 【答案】 qBl qBl (1) <v0< m 3m 5πm (2) 3qB
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二、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的多解问题 规律方法 1．带电粒子电性不确定形成多解
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BeL (2)当发射速度 v′＝2v＝ m 时， 电子圆周运动的轨 道半径为 mv ′ r′＝ Be ＝L.
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此时，从电子发射源发出的电子能击中挡板的最左 位置 A 和最右位置 C，如图所示，虚线圆是一系列轨迹 圆的圆心．
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(1)带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动 时，运动往往具有往复性，从而形成多解．如图所示．
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(2)带电粒子在磁场中运动时，由于磁场方向突然反 向等，使得运动具有往复性而形成多解．
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例 2 如图所示， 在 x<0 与 x>0 的区域中， 存在磁感 应强度大小分别为 B1 与 B2 的匀强磁场， 磁场方向均垂直 于纸面向里， 且 B1>B2.一个带负电荷的粒子从坐标原点 O 以速度 v 沿 x 轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间 后又经过 O 点，B1 与 B2 的比值应满足什么条件？
v
圆心在过入射点跟跟速 度方向垂直的直线上
①速度较小时，作圆弧 运动后从原边界飞出； ②速度增加为某临界值 时，粒子作部分圆周运 动其轨迹与另一边界相 切；③速度较大时粒子 作部分圆周运动后从另 一边界飞出
S
S
①速度较小时，作半圆 运动后从原边界飞出； ②速度增加为某临界值 时，粒子作部分圆周运 动其轨迹与另一边界相 切；③速度较大时粒子 作部分圆周运动后从另 一边界飞出
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(1)综合③④结论知， 所有从 ab 上射出的粒子的入射 qBl qBl 速度 v0 的范围应为 <v0< m . 3m θ θ θR (2)带电粒子在磁场中运动的时间 t＝ω＝ v ＝qBR＝ m R θm qB ，由此可知，t 取决于粒子在磁场中转过的角度，从上 面的分析可以推知，当粒子轨道半径 R≤R2 时，粒子均
由几何关系知 OA＝ AS2－OS2 AS＝2r′ OS＝r′ OC＝r′
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解得 OA＝ 3L，OC＝L 故被电子打中的区域长度为 AC＝OA＋OC＝(1＋ 3)L.
【答案】 BeL (1) 2m (2)(1＋ 3)L
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题后反思 (1)审题应首先抓住“速率相等”⇒即轨迹圆半径相 等，其次“各个方向发射”⇒轨迹不同．然后作出一系 列轨迹圆． (2)注意粒子在磁场中总沿顺时针方向做圆周运动， 所以粒子打在左边和右边最远点的情形不同．
第八章
第4节
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现分析粒子运动的轨迹，如图所示，在 xy 平面内， 粒子先沿半径为 r1 的半圆 C1 运动至 y 轴上离 O 点距离为 2r1 的 A 点，接着沿半径为 r2 的半圆 D1 运动至 y 轴上 O1 点，OO1 的距离 d＝2(r2－r1)③
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