测量平差--第三章 条件平差(煤炭协会讲课用)

上式两边左乘法方程系数阵N的逆阵 N 1，得联系
数K的唯一解：
K N 1W
(3-1-19)
将（3-1-19）式代入（3-1-14）或（3-1-15） 式，可计算出V，再将V代入（3-1-6）,即可计算出
所求的观测值的最或然值 Lˆ L V 。
通过观测值的平差值 Lˆ ，可以进一步计算一
些未知量（如待定点的高程、纵横坐标以及边 的长度、某一方向的方位角等）的最或然值。
则 Lˆ 的协方差阵为
DLˆLˆ
ˆ
Q 2
0 LˆLˆ
下面，我们分别讨论单位权中误差ˆ 0和平差值 函数协因数阵 QFF的计算方法。
(3-1-15)
将（3-1-14）式代入（3-1-11）式，得
AP1 AT K W 0
(3-1-16)
此式称为联系数法方程（简称法方程），其纯量 形式为
aa
p
ka
ab
p
kb
ar
p
kr
wa
0
ab
p
ka
bb
p
kb
br
p
kr
wb
0
ar
p
ka
pn
其中:
P 为对角阵；
n,n
Lˆ L V
n,1 n,1 n,1
即
Lˆ1 Lˆ2
L1
L2
v1 v2
Lˆn
Ln
vn
（3-1-6）
在这n个观测值中，有t个必要观测数，多余观测
数为r。可以列出r个平差值线性条件方程
a1 Lˆ1
a2 Lˆ2
an Lˆn
a0
一、条件平差原理
设在某个测量作业中，有n个观测值 L，均含有
相互独立的偶然误差，相应的权阵为P n，,1 改正数
为 V ，平差值为 n ,1
Lˆ ，表示为
n ,1
n,n
L1
L
n,1
L2
Ln
v1
V
n ,1
v2
v
n
Lˆ
n,1
Lˆ1 Lˆ2
Lˆn
p1
P n,n
p2
(3-1-10)
AV W 0
(3-1-11)
W (AL A0 )
(3-1-12)
按求函数极值的拉格朗日乘数法，引入乘系数
K
r ,1
[ka
kb
kr ]T（又称为联系数向量）,构成函数：
V T PV 2K T (AV W )
(3-1-13)
为引入最小二乘法,将Φ对V求一阶导数,并令其为零
d (V T PV ) 2 (K T AV ) 2V T P 2K T A 0
br
p
kb
rr p
k
r
wr
0
(3-1-17)
取法方程的系数阵AP 1 AT N，由上式易知N阵
关于主对角线对称，得法方程表达式
NK W 0
(3-1-18)
法方程数阵N的秩
R(N ) R( AP 1 AT ) r
即，N是一个r阶的满秩方阵，且可逆。将（3-1-18）
式移项，得 NK W
dV
V
V
得
VTP KT A
上式两端转置，得 PTV AT K
由于P是主对角线阵，则 P PT ，得
PV AT K
将上式两边左乘权逆阵 P 1，得
V P 1 AT K
(3-1-14)
此式称为改正数方程，其纯量形式为
vi
1 pi
(ai k a
bikb
rikr )
(i 1,2,, n)
第三章 条件平差
❖ §3-1 条件平差原理
条件平差的数学模型为
A W 0
r,n n,1 r,1
(3-1-1)
D
n,n
2 0
Q
n,n
2 0
P 1
n,n
(3-1-2)
条件方程个数等于多余观测数r，n为观测值总 个数，t为必要观测数，存在关系：
r=n–t
(3-1-3)
由于r < n，从（3-1-1）式不能计算出∆的唯一 解，但可按最小二乘原理( V T PV min )，求出∆的
条件方程式
a1v1 a2v2 anvn wa 0
b1v1 b2v2 bnvnwb0
（3-1-8）
r1v1 r2v2 rnvn wr 0
式中 wa , wb ,wr 称为改正数条件方程的闭合差
（或不符值），即
wa (a1L1 a2 L2 an Ln a0 )
wb (b1L1 b2 L2 bn Ln b0
由上述推导可看出，K、V及 Lˆ 都是由（3-1-
11）和（3-1-14）式解算出的，因此我们把（31-11）和(3-1-14)式合称为条件平差的基础方程。
二、精度评定
在第一个问题中已经阐述了计算未知量最或然值
的原理和公式，下面来论述测量平差的第二个任务,
即评定测量成果的精度。精度评定包括单位权方差ˆ
)
(3-1-9)
wr (r1L1 r2 L2 rn Ln r0 )
若取
a1
A
r,n
b1
a2
b2
an
bn
r1
r2
rn
a0
A0
r ,1
b0
r0
wa
W
r ,1
wb
wr
(3-1-7)、（3-1-8）和（3-1-9）式可分别表达 成矩阵形式如下
ALˆ A0 0
0
b1 Lˆ1
b2 Lˆ2
bn Lˆn
b0
0
r1 Lˆ1
r2 Lˆ2
rn Lˆn
r0
0
(3-1-7)
式中，ai , bi ,r（i i = 1,2,……n）为各平差值条件方
程式中的系数，a0,b0,r0 为各平差值条件方程式中
的常数项。
将（3-1-6）式代入(3-1-7)式，得相应的改正数
最或然值V，从而进一步计算观测量 L~ 的最或然 L值ˆ （又称平差值）。
Lˆ L V
(3-1-4)
将（3-1-1）式中的∆改写成其估值（最或然值）V， 条件方程变为
AV W 0
(3-1-5)
条件平差就是在满足r个条件方程条件下，求解满 足最小二乘法（ V T PV min ）的V值，在数学中就 是求函数的条件极值问题。
2和
0
2 F
的估值
ˆ
2 F
。则有
估值形式为
2 F
2 0
1 pF
(3-1-20)
ˆ
2 F
ˆ
2 0
1 pF
(3-1-21)
根据协因数的定义，有了单位权方差
ˆ
2 0
和某平
差值函数的验后协因数阵 QFF ，也可按下式计算该
平差值向量的协方差阵。
DFF
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ˆ
2 0
QFF
(3-1-22)
例如，已知观测值的平差值 Lˆ 的协因数阵 QLˆLˆ ，
2 0
和单位权中误差 ˆ 0 的计算、平差值函数( F f (Lˆ) )的
协因数 QFF 及其中误差 ˆ F 的计算等。
在第二章中已经介绍过，当已知单位权方差
2 0
时，
如在果实知际道 工某 作量 中的 ，权由为于观p，测则值该的量个的数方n差是为有限F2值 ， 02因 p此1F ，
只能求出
2 0
的估值ˆ