集合的概念、基本关系及运算

由于Q P，所以a>2（等号不成立）；
当a<-1时，集合P={x|a<x<-1}，不合题意.
所以，当Q P时，a∈（2,+∞）.
19
题型3 集合的基本运算 设集合A={x|x2-3x+2=0}，
B={x|x2+2（a+1）x+（a2-5）=0}. （1）若A∩B={2}，求实数a的值； （2）若A∪B=A，求实数a的取值范围； （3）若U=R，A∩（ U B ）=A，求实数a
（0,a），半径为 2的圆面（含边界）.
32
由B A，得a<0.又圆心到直线y=x的距
离不小于 2 ，即 0 a ≥2,所以a≤-2; 2
③运用Venn图. （2）分类讨论 当集合的元素含有参数时，需要根据题意 对参数进行分类讨论.
33
1.（2009·浙江卷）设U=R，A={x|x＞0}， B={x|x＞1}，则A∩ U B =（ ）
②若a<0，则N={x|x< 1 }，此时不可能
有N M成立.
a
综上，实数a的取值范围为［0，1］.
17
【评注】对于以含参不等式的解为元素 的集合，也是不确定的集合，需要对参数进 行分类处理.分类讨论的一般程序为：①依题 目信息确定分类标准；②在这个标准下合理 分类；③逐类讨论；④综合求解.在这类集合 问题中，如果不确定的集合是某集合的子集， 应当先考虑空集的情况，如果不确定的集合 包含一个非空集合，显然不需要考虑空集.本
），应有
a 2 3a 4
，
3 当a＜0时，B=（3a,a），应有 得a∈.
3aa42，
综上，实数a的取值范围是［ 4 ，2］.
3
26
（ 2 ） 要 满 足 A∩B= ， 当 a=0 时 ， B= ，满足条件；当a＞0时，B=（a,3a）
应有a≥4或3a≤2，所以0＜a≤
2 3
或a≥4；
当a＜0时，B=（3a,a），应有a≤2或3a≥4，
则A正确，D错误，故选D.
8
5.集合A={（x,y）|y≥|x-2|}，B={（x,y）
|y≤-x+b}. 若 A∩B≠ 是 ［2,+∞）
，则b的取值范围
.
集合A、B是点集，表示平面区 域，画出几何图形，如下图.因为它们有公共 部分，故b≥2.
9
1.集合的表示
（1）集合A={x|y=log2x}又可表示为① A .
集合与常用逻辑
集合的概念、基本关系及运算
1
1．元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：
① 确定性 、 互异性 、 无序性 . （2）集合中元素与集合的关系对于任
意集合A，元素a② A或a③ A.
（3）常见集合的符号表示自然数集、 整数集、有理数集、实数集、复数集可分别 用符号表示为④ N、Z、Q、R、C .
12
4
1.已知a∈{-1,a2,1}，则实数a的值为（ B ）
A. -1
B. 0
C. 1
D. -1或0或1
根据集合的元素的互异性，知a≠±1， 于是，由a=a2，得a=0.
5
2.已知集合A={0,1,2}，定义集合运算
B=A A={x|x=a·b,a∈A,b∈A} ， 则 集 合
B=（ C ）
所以a＜0.
综上，实数a的取值范围是（-∞， ∪［4，+∞）.
2 3
］
（ 3 ） 要 满 足 A∩B={x|3 ＜ x ＜ 4} ， 显 然
a=3.
27
本节内容主要从两方面考查，一是对集 合思想的认识和理解水平，即集合的表示法， 元素与集合、集合与集合的关系，集合中的 元素及其所具有的性质，集合元素的“确定 性”“互异性”“无序性”；二是考查集合 的运算能力，包括使用数学语言的能力，使 用数形结合、分类讨论思想解决问题的能力.
2
（4）集合的三种表示法： ⑤ 列举法 、 描述法 、 图示法 .
2．集合间的基本关系及运算
（1）若集合A是集合B的子集，则A
⑥ ⑦
≠BB.；若集合A是集合B的真子集，则A
（2）空集是任何集合的⑧ 子集 ，是
任何⑨ 非空集合 的真子集.
（3）若全集为U，且A U，则集合A 相对于集合U的补集为⑩ U A .
28
（1）集合元素的互异性
ห้องสมุดไป่ตู้
对 于4 {1,a,a2}，根据 元素的 互异性 有
a≠0,a≠±1.又a≠4,a2≠4，从而可确定a的取值 范围为{a∈R|a≠±1,0,±2,4}.
（2）集合的元素是什么
对 于 A={x2-x=0} ， B={x|x2-x=0} ，
C={x|y=x2-x}，D={y|y=x2-x},E={（x,y）|y=x2-
3
是
11
{（x|x4）A集，合且Ax 与B集}
合 .
B
的
交
集
的
意
义
（5）集合A与集合B的并集的意义
是
{x|xA,或xB} .
12
答案：①确定性、互异性、无序性；
② ；③ ；④N、Z、Q、R、C；⑤列举法、
描述法、图示法；⑥ ；⑦ ；⑧子集；⑨非
空集合；⑩ ； {x|xA，且x≠B}；
{x|xA,或x B} 11 U A
11
3.集合间的基本关系及运算
1
（1）设A={x|y= 则A∩B=⑥（2，+∞）；
x 1
RA
},B={y|y=2x+2}， =⑦ {1} ；（ RB ）
∩A=⑧ （－∞，1）∪（1,2］ .
（2）若{x|x<a}∩{x|x>1}= ，则实数a
的取值范围是⑨ （－∞，1］ .
12
题型1 集合元素的特征
A.{x|0≤x＜1}
B.{x|0＜x≤1}
C.{x|x＜0}
D.{x|x＞1}
答案：B
34
2.（2009·广东卷）已知全集U=R，则正确表示 集 合 M={-1 ， 0 ， 1} 和 N={x|x2+x=0} 关 系 的 韦 恩 （Venn）图是（ ）
由N={x|x2+x=0}={-1,0},得N M, 故选B.
题中，若把N M换成N M，则考虑空集就
没有必要了.
18
记关于x的不等式 为P，不等式|x-1|≤1的解集为Q.
x x
a1<0的解集
（1）若P Q，求实数a的取值；
（2）若Q P，求实数a的取值范围.
（1）集合Q={x|0≤x≤2}.
因为P Q，只有当P为空集时成立，所以a=-1.
（2）当a>-1时，集合P={x|-1<x<a}.
22
（3）因为A∩（ U B ）=A，所以A U B B所
以A∩B=.
①若B= ，则由（2）知a＜-3;
②若B≠ ，则由（2）知，当a=-3时，
B={2}，不合题意；当a＞-3时，需1B且2B
故
a2 2a 2 0
a
2
4a
3
0
,
即
a a
1 3 1且a
3
.
综上，实数a的取值范围是(－∞，-3)∪ (-
设a、b∈R,A={1,a+b,a}, B={0, b ,b}.
若A=B,求a、b的值.
a
因为相等的集合元素完全相同，
又a≠0，所以a+b≠b，所以a+b=0， 则a=-b，故 b =-1， 所以a=-1，从a 而b=1.
所以符合题意的a、b的值为a=-1、b=1.
13
【评注】本题考查集合相等的概念 和集合中元素的互异性特征.对于含有 参数的元素的集合的相等问题，除了对 元素之间的正确分类外，还要注意元素 的互异性特点.一般来讲，首先考虑元 素间的分类，来求出元素可能的取值， 再采取排除法确定元素的值.
在集合知识的应用中，一方面要熟练掌 握集合的概念和集合运算的基本性质，另一 方面还应掌握研究集合问题的基本思想方法.
30
（1）数形结合 认清集合的特征，准确地将其转化为图 形关系，借助于图形的分析，能使问题得到 直观具体的解决，这就是数形结合的思想.
① 数 轴 的 应 用 ： 如 A={x|x>-1}, B={x|x<a}，求A∩B时，利用数轴易知：（ⅰ）
N M，求实数a的取值范围.
集合N表示不等式ax>1的解集.由于 a∈R，所以集合N是不确定的集合.
又N M，所以首先应考虑N=的情况， 然后讨论N≠ 时，a的取值范围.
16
（1）当N= 时，易知a=0；
（2）当N≠ 时，
①若a>0，则N={x|x> 1}.
由N M，有1a≥1，解得0<aa≤1；
集合M的元素为x，所以M={x|x≥0}集 合N的元素为y，所以N={y|y≥-1}.因为它们都 是数集，所以M∩N=M，故选C.
7
4.（原创题）下列表示 和{
关系的式子中错误的是（ D ）
A.∈{} C. ≠ {}
B. {}
D. {}
}之间
{ }是以做为元素的单元素集， 把 看成集合，则B、C正确，把看成元素，
8(a+3).因为A∪B=A，所以B A.
①当Δ＜0,即a＜-3时，B= ，满足条件；
②当Δ=0，即a=-3时，B={2}，满足条件； ③当Δ＞0，即a＞-3时，B=A={1，2}才能满足 条件，由根与系数的关系得 综11上22，实a2数2(aa5的1取), 值即范aa围2是7（25 －矛∞盾，.-3］.
x}, 分 别 D={x|x≥-
有1}A，=E{x=2{-曲x=线0}y，=x2B-=x上{0的,1}点，}. C=R
，
4
29
（3）集合与集合的关系中，不要忘了空集 对于A={x|3x2-2x-1=0}，B={x|ax-1=0},若 B
A， 求实数a的值.当你求出了a=-3或1时，不
要忘了B= 时，还有a=0.
（1）若A B，求实数a的取值范围；
（2）若A∩B=，求实数a的取值范围；
（3）若A∩B={x|3＜x＜4}，求实数a的取值 范围.
25
A={x|x2-6x+8 ＜ 0}={x|2 ＜ x ＜ 4}
=（2，4）.
（1）若A B，则当a=0时，B= ，不成
立；
得
4
当a＞0时，B=（a,3a ≤a≤2；
A. {0，1}
B. {0，1，4}
C. {0，1，2，4} D. {0，1，2}
当a或b为0时，0∈B； 又a·b可以为1、2、4，故选C.
6
3.集合M={x|y= x}，N={y|y=2 x-1},则 集合M∩N=（ C ）
A.
B. {（1,1）}
C. {x|x≥0} D. {x|x≥-1}
A.{x|x>0}
B.{y|y∈R}
C.{y=log2x图象上点的坐标} （2）若P（x,y）是函数y=x+1的图象上的 点，用集合的描述法表示为 ② {（x,y）|y=x+1} .
10
2.集合中的元素的性质 （1）若a∈{1,2,a2}，则a=③ 0、2 .（2） 集 合 {x|-1<log2x<2,x∈Z} 用 列 举 法 表 示 为 ④ {1，2，3} . （ 3 ） 已 知 A={0,1 ， 2 ， 3 ， … ， 10} ， B={y|y=2x,x∈A} ， 则 集 合 B 中 各 元 素 的 和 是 ⑤ 2047 .
若a≤-1，则A∩B= ；若a>-1，则A∩B=（-
1,a）;
31
② 转 化 为 几 何 图 形 ： 如 A={ （ x,y ）
|y≤x}，B={（x,y）|x2+(y-a)2≤2}.若
B
A， 求实数a的取值范围时，将其转化为
平面区域图形.易知集合A表示直线y=x下
方的区域（含边界），集合B表示圆心在
3，-1- 3)∪（-1- 3，-1）∪（－1，-1+ 3）∪ （-1+ 3，+∞）.
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【评注】解决含参数的集合运算问 题，需要理清题目要求，看清集合间存 在的相互关系，注意分类讨论、数形结 合思想的应用以及空集作为一个特殊集 合与非空集合间的关系，在解题中漏掉 它极易导致错解.
24
已 知 集 合 A={x|x2-6x+8 ＜ 0} ， B={x|（x-a）（x-3a）＜0}.
的取值范围.
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A={x|x2-3x+2=0}={1,2}. （1）因为A∩B={2}，所以2∈B， 故a2+4a+3=0，解得a=-1或a=-3. 当a=-1时，B={-2，2}，满足条件； 当a=-3时，B={2}，满足条件. 综上，a=-1或-3；
21
（ 2 ） 对 于 集 合 B ， Δ=4(a+1)2 － 4(a2-5)=
答案：B
35
3.（2008·山东卷）满足M {a1,a2,a3,a4}, 且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M的个数是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
M至少含有元素a1、a2，所以含有两 个元素的集合M有1个，含有3个元素的集合M 有1个，即M={a1,a2,a4}，且集合M不可能含有 4个元素.
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已知集合A={a+2,（a+1）2, a2+3a+3}.若1∈A，求实数a的值.
若a+2=1，则a=-1; 若（a+1）2=1，则a=-2或0； 若a2+3a+3=1，则a=-2或-1. 当a=-1或-2时，不符合题意，所以a=0.
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题型2 集合间的基本关系 已知集合M={x|x>1}，N={x|ax>1}. 若