第四章季节性指数平滑法
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第四章 时季节性指数平滑法法
含有季节变动的时序，用数学方法拟合其演变规 律并进行预测是相当复杂的. 但, 如果我们能够设法 从时序中分离出长期趋势, 并找出季节变动的规律, 将二者结合起来预测.就可以使问题得到简化, 也能 够达到预测精度的要求。 基于这种设想，季节变动预测法方的基本思路是 首先找到描述整个时序总体发展趋势的数学模型即 分离趋势的趋势方程；其次找出季节变动对预测对 象的影响，即分离季节影响；最后将趋势方程与季 节影响因素合并，得到能够描述时间序列总体发展 1 规律的预测模型，并用于预测。
X T r ST I T L r
此式是季节性一次指数平滑法的预测方程
5
例如：已知某商品销售量受季节因素影响，并且该商品
只有05年的季度销售量数据，分别为35，38，44和39万件
用年平均销售量作为初使平滑值S０：
S０＝（35+38+44+39)/4+39． 用各季度的季节性比率作为初使平滑值I０ｔ即： I01=35/39=0.897 I02=38/39=0.974, I03=44/39=1.128 I04=39/39=1.000 ˆ 用预测方程 X S I
除季节变动的影响，保留一个只含有长期趋势和随机变动 ˆ 尚未估计 ˆ 但此时当期的 C 的样式。理论上，应该用 X / C T
T T
来，故只能用上一个周期的来替代。按照一次指数平滑的
ˆT 1 相乘即可，但对于具有趋势变化的时 原理， 1 只要与 a
ˆT 1 加上 间序列而言，这样处理会产生滞后偏差，因此给 a ˆ ˆ X / C 就可以克服滞后偏差，然后对 T T 一个趋势增量 b
指数平滑过程从05年第一季度开始，取
0.3
0.2
0.1
则
ˆ ˆ ˆ a1 0.3 X 1 / I 01 (1 0.3)(a0 b0 ) 0.3 38 / 0.917 0.7(39.25 1) 40.61
ˆ 0.2(a ˆ ˆ ˆ b a ) ( 1 0 . 2 ) b 1 1 0 0 0.2(40.61 39.25) 0.8 1 1.072
当得到06年一季度销售量的实际数据X1为36.5万件时,设
0.3 由
ST X T / ST L (1 )ST 1 ,可计算出新的指数平滑值S1
S1 0.3 36.5 / 0.897 0.7 39 39.5
设 0.2 由 I T X T / ST (1 ) I T L
算出的季节性因子XT/ST，用(1－ß)加权于IT-L 。
4
据指数平滑法的基本原理, 反映季节波动的IT需要多个 初始指数平滑值. 例, 若季节波动的周期长度是四个季度, 则需要有第一至四季度的初使平滑值I０.１,I0·２,I 0·３ 和I0·４,若季节波动的周期长度为12个月.则初使指数平滑 值应该是12个.虽然,季节性一次指数平滑法把受季节性因 素影响的时间数列分解成两部份: 一份数据只反映时间数 列中水平过程的变化, 另以部分数据只反映时间序列的季 节性变化,然后分别对这两个分数据进行平滑处理,消除随 机因素的影响.当用一次指数平滑法计算出指数平滑ST 和 IT-L后,可以把它们结合起来进行预测．在时间T 作出的对 未来第r时期的预测是: ˆ (r L)
T r 0 0I
可以对05年月季度该商品的销售量预测：
ˆ S I 39 0.897 35 X 1 0 01
ˆ S I 39 0.974 38 X 2 0 02
6 ˆ S I 391.000 X 39 4 0 04
ˆ S I 391.138 44 X 3 0 03
第一节 季节性水平滑法
即季节性一次性指数平滑法．一次指数平滑法适用于预 测变化比较平稳，没有明显季节变动和趋势变动的经济变 量（即水平型的经济变量）。但是许多经济变量既表现为 水平型变化又受季节波动的影响。若用此法预测这种受季 节因素影响的经济变量，就不能取得较好的预测效果。 解决这个问题的办法之一,是对时序数据进行处理：把季 节波动因素同变量的水平变化过程分开,使处理后的序列数 据只反应水平变化过程,然后用一次指数平滑法进行预测。
ˆ ) ˆ (1 )(a ˆT X T / C ˆ a b T L T 1 T 1 ˆ (a ˆ ˆT a ˆT 1 ) (1 )b b T T 1
ˆ X / a ˆ ˆ C ( 1 ) C T T T T L
在时期T对未来第ｒ时期的预测为： ˆ r]C ˆ ˆ [a ˆ b X
ˆ X / X，C X / X，C X / X，C X / X C 01 1 02 2 03 3 04 4
12
例题
某商场某种商品的销售资料为04、05年分别是
36、38、44、39、38、41、49、40万元.用04年数
据计算初始指数平滑值：
ˆ 0 (36 38 44 39) / 4 39.25 a
ˆ [(38 36) (44 38) (39 44)]/ 3 1 b 0
ˆ 36/ 39.25 0.917 C 01
ˆ 38/ 39.25 0.968 C 02
13
ˆ 39/ 39.25 0.994 ˆ C 04 C03 44/ 39.25 1.121
ˆ 取该时序每期变化量的平均数 取该时间序列的平均数， b 0
例如，有时序的季节数据X１，X２，X3，X4，则:
ˆ0 ( X1 X 2 X 3 X 4 ) / 4 X a
ˆ [(X X ) ( X X ) ( X X )]/ 3 b 0 2 1 3 2 4 3
XT ST (1 ) ST 1 I T L
算出来后,才能计算出IT .故这里只能用IT-L的值(以前相同
时期的值)来代替. 用季节调节因子IT-L 去除XT ,其目的是从XT 中消除季节 性波动.这种调节可用下列性质来说明:当T-L时期的值大 于季节平均值时,IT-L大于1或100％.用大于1或100％的数
可计算出06年第一季度的季节性比率I1:
I1 0.2 36.5 / 39.5 0.8 0.897 0.902
据新的数据S1和I1，可以作出下列四个季度的预测：
ˆ S I 39.5 0.974 38.5 X 2 1 2 4
ˆ S I 39.5 1.128 44.6 X 3 1 34
ˆ S I 39.5 0.902 35.6 X 5 1 54
7
ˆ S I 39.5 1.000 39.5 X 4 1 44
第二节 季节性趋势平滑模型
这一节介绍的两个季节性平滑模型可用于预测呈线性趋 势变化并受季节因素影响的经济变量. 根据季节因素影响 经济变量的形式，我们假设两个季节性模型，一次指数平 滑法用来计算模型中的参数估计值。
L
t
L
8
ˆ 、C ˆ 分别是模型中斜率和季 为了建立预测模型，定义 b T T
ˆ T是以T为原点的常数项估计值 a 节因素在时间T的估计值，
运用一次指数平滑公式时，每个时期对模型中的参数重
新估计．在时期T,当获得新的观测值XT后，下列指数平滑
公式用来计算新的参数估计值：
每个方程式能修匀一个与数 据样式的三种成分：随机性， 线性，季节性之一有关的参数
T
ˆ 、C ˆ 的指数平滑运算，需要初始指 对参数估计值 a ˆT、b T T ˆ （K=1、2、3…L），如果 ˆ 、C 和Ｌ个 C ˆ 0、b 数平滑值 a 0K 0 0
存在历史数据，我们可用不同的方法计算这些初始指数平
滑值。比较简单的方法是，用L个时期的时间序列数据， ˆ0 a
ˆ 可以用季节比率代替。 C 0K
式中，IT类似一个季节性指数.该指数可由数列的本期
指标值XT 除以数列的本期单重平滑值ST算出,即XT与ST 的
比值.如果XT 大于ST ,这个比值大于1；如果XT小于ST ,这
个比值就小于1.对比理解这种方法和季节性指数I的作用
具有重要意义的是,要认识到ST 是一个数列的平滑值或平 均值, 其中不再含有季节性因素在内.但是数据值XT 却含 有季节性的因素。必须明白.XT 包含着数列中的一些随机 成分。为了修复这种随机成分，I的方程式用加权于新计
T 1
ˆT 1 bT 1 进行加权平均，以消除随机干扰，用以反映 和 a
长期趋势。
10
ˆ (a ˆ 对预测方程 b ˆ ˆ a ) ( 1 ) b T T T 1 T 1
量是合理的，但由于随机干扰因素的存在，还应该对这个 差值进行平滑修正，修正方法是将这个差值与上量的趋势 ˆ 进行加权平均，作为趋势增量的估计。 增量 b T 1
一、积性季节模型型 积性季节模型模型形式为： X t (at bt t )Ct t 式中: at、bt、Ct 是模型的参数； Ct 是积性季节因子 定义符号L为季节波动的周期长度，则 积性季节模型同时考虑了线 性趋势和季节因素的影响.右图 描述了经济变量的这种变化过 程或行为
C
t 1
ˆ 应为 X T / a ˆ 的加 ˆ C 因此，对季节指数的最终估计值 C 和 T T L T ˆT 是为了从观测值中消 权平均。同样的道理，第一项 X T / a
除长期趋势，其结果只包含季节变动和随机变动.对 X T / a ˆT ˆ 进行加权平均，以消除随机干扰以反映季节变动 和C T L 11
ˆ 是对趋势增量的估计。用差值a ˆT a ˆT 1 表示趋势的增 b T
ˆ 的 ˆ 是对季节指数的估计。利用前T-1期的数据对 C C T T ˆ ，利用本期数据对 C ˆ 估计值是 C ˆ T L T 所作的估计应是 X / a
对预测方程
ˆ X / a ˆ ˆT (1 )C C T T T L
去除XT ，将得到小于原值XT的值.其减的百分数恰好等于
T-L 期间的值高于平均值的百分比.相反的调整发生在季
节调整因子小于１或100％的情况下。
3
为了建立预测模型和使用平滑式ST的平滑过程连续进行 需要用一次指数平滑法计算数据IT-L的值，因此我们用下
列公式: I T X T / ST (1 ) I T L
ˆ 0.1X / a ˆ ˆ C ( 1 0 . 1 ) C 1 1 1 01 0.1 38 / 40.61 0.9 0.917 0.919
14
ˆ 2 0.3 41/ 0.968 0.7(40.6 1.027) 41.884 同理： a
年度
2005
ˆ 0.2(41.88 40.61) 0.8 1.072 1.113 b 2 ˆ 0.1 41/ 41.884 0.9 0.919 0.969 C 2 ˆ ˆ ˆT b a 季度 销售额 C T T
XT ST (1 ) ST 1 I T L L是季节波动的周期长度(例如月数或季数)；I 是季节调节因子，它 可以是季节比率,或季节指数，IT-L是只反应季节波动的数据. 如果用 IT-L去除对应时期的原时间序列数据, 其结果就是只反应水平化过程
的时间序列数据.
2
对于一次指数平滑公式 之所以用IT-L去除XT ,而没有用IT .是因为在计算平滑值ST 时, 还尚未知道时期T 的季节比率IT,也就是说,要在ST 计
T r T T
T Lr
在没有趋势变化的情况下预测方程为
9 ˆ ˆ ˆT CT Lr X T r a
对预测方程
ˆ ) ˆ (1 )(a ˆT X T / C ˆ a b T L T 1 T 1
ˆT a
ˆ X / C 是对趋势值的估计．第一项 T T L 是为从XT中消
含有季节变动的时序，用数学方法拟合其演变规 律并进行预测是相当复杂的. 但, 如果我们能够设法 从时序中分离出长期趋势, 并找出季节变动的规律, 将二者结合起来预测.就可以使问题得到简化, 也能 够达到预测精度的要求。 基于这种设想，季节变动预测法方的基本思路是 首先找到描述整个时序总体发展趋势的数学模型即 分离趋势的趋势方程；其次找出季节变动对预测对 象的影响，即分离季节影响；最后将趋势方程与季 节影响因素合并，得到能够描述时间序列总体发展 1 规律的预测模型，并用于预测。
X T r ST I T L r
此式是季节性一次指数平滑法的预测方程
5
例如：已知某商品销售量受季节因素影响，并且该商品
只有05年的季度销售量数据，分别为35，38，44和39万件
用年平均销售量作为初使平滑值S０：
S０＝（35+38+44+39)/4+39． 用各季度的季节性比率作为初使平滑值I０ｔ即： I01=35/39=0.897 I02=38/39=0.974, I03=44/39=1.128 I04=39/39=1.000 ˆ 用预测方程 X S I
除季节变动的影响，保留一个只含有长期趋势和随机变动 ˆ 尚未估计 ˆ 但此时当期的 C 的样式。理论上，应该用 X / C T
T T
来，故只能用上一个周期的来替代。按照一次指数平滑的
ˆT 1 相乘即可，但对于具有趋势变化的时 原理， 1 只要与 a
ˆT 1 加上 间序列而言，这样处理会产生滞后偏差，因此给 a ˆ ˆ X / C 就可以克服滞后偏差，然后对 T T 一个趋势增量 b
指数平滑过程从05年第一季度开始，取
0.3
0.2
0.1
则
ˆ ˆ ˆ a1 0.3 X 1 / I 01 (1 0.3)(a0 b0 ) 0.3 38 / 0.917 0.7(39.25 1) 40.61
ˆ 0.2(a ˆ ˆ ˆ b a ) ( 1 0 . 2 ) b 1 1 0 0 0.2(40.61 39.25) 0.8 1 1.072
当得到06年一季度销售量的实际数据X1为36.5万件时,设
0.3 由
ST X T / ST L (1 )ST 1 ,可计算出新的指数平滑值S1
S1 0.3 36.5 / 0.897 0.7 39 39.5
设 0.2 由 I T X T / ST (1 ) I T L
算出的季节性因子XT/ST，用(1－ß)加权于IT-L 。
4
据指数平滑法的基本原理, 反映季节波动的IT需要多个 初始指数平滑值. 例, 若季节波动的周期长度是四个季度, 则需要有第一至四季度的初使平滑值I０.１,I0·２,I 0·３ 和I0·４,若季节波动的周期长度为12个月.则初使指数平滑 值应该是12个.虽然,季节性一次指数平滑法把受季节性因 素影响的时间数列分解成两部份: 一份数据只反映时间数 列中水平过程的变化, 另以部分数据只反映时间序列的季 节性变化,然后分别对这两个分数据进行平滑处理,消除随 机因素的影响.当用一次指数平滑法计算出指数平滑ST 和 IT-L后,可以把它们结合起来进行预测．在时间T 作出的对 未来第r时期的预测是: ˆ (r L)
T r 0 0I
可以对05年月季度该商品的销售量预测：
ˆ S I 39 0.897 35 X 1 0 01
ˆ S I 39 0.974 38 X 2 0 02
6 ˆ S I 391.000 X 39 4 0 04
ˆ S I 391.138 44 X 3 0 03
第一节 季节性水平滑法
即季节性一次性指数平滑法．一次指数平滑法适用于预 测变化比较平稳，没有明显季节变动和趋势变动的经济变 量（即水平型的经济变量）。但是许多经济变量既表现为 水平型变化又受季节波动的影响。若用此法预测这种受季 节因素影响的经济变量，就不能取得较好的预测效果。 解决这个问题的办法之一,是对时序数据进行处理：把季 节波动因素同变量的水平变化过程分开,使处理后的序列数 据只反应水平变化过程,然后用一次指数平滑法进行预测。
ˆ ) ˆ (1 )(a ˆT X T / C ˆ a b T L T 1 T 1 ˆ (a ˆ ˆT a ˆT 1 ) (1 )b b T T 1
ˆ X / a ˆ ˆ C ( 1 ) C T T T T L
在时期T对未来第ｒ时期的预测为： ˆ r]C ˆ ˆ [a ˆ b X
ˆ X / X，C X / X，C X / X，C X / X C 01 1 02 2 03 3 04 4
12
例题
某商场某种商品的销售资料为04、05年分别是
36、38、44、39、38、41、49、40万元.用04年数
据计算初始指数平滑值：
ˆ 0 (36 38 44 39) / 4 39.25 a
ˆ [(38 36) (44 38) (39 44)]/ 3 1 b 0
ˆ 36/ 39.25 0.917 C 01
ˆ 38/ 39.25 0.968 C 02
13
ˆ 39/ 39.25 0.994 ˆ C 04 C03 44/ 39.25 1.121
ˆ 取该时序每期变化量的平均数 取该时间序列的平均数， b 0
例如，有时序的季节数据X１，X２，X3，X4，则:
ˆ0 ( X1 X 2 X 3 X 4 ) / 4 X a
ˆ [(X X ) ( X X ) ( X X )]/ 3 b 0 2 1 3 2 4 3
XT ST (1 ) ST 1 I T L
算出来后,才能计算出IT .故这里只能用IT-L的值(以前相同
时期的值)来代替. 用季节调节因子IT-L 去除XT ,其目的是从XT 中消除季节 性波动.这种调节可用下列性质来说明:当T-L时期的值大 于季节平均值时,IT-L大于1或100％.用大于1或100％的数
可计算出06年第一季度的季节性比率I1:
I1 0.2 36.5 / 39.5 0.8 0.897 0.902
据新的数据S1和I1，可以作出下列四个季度的预测：
ˆ S I 39.5 0.974 38.5 X 2 1 2 4
ˆ S I 39.5 1.128 44.6 X 3 1 34
ˆ S I 39.5 0.902 35.6 X 5 1 54
7
ˆ S I 39.5 1.000 39.5 X 4 1 44
第二节 季节性趋势平滑模型
这一节介绍的两个季节性平滑模型可用于预测呈线性趋 势变化并受季节因素影响的经济变量. 根据季节因素影响 经济变量的形式，我们假设两个季节性模型，一次指数平 滑法用来计算模型中的参数估计值。
L
t
L
8
ˆ 、C ˆ 分别是模型中斜率和季 为了建立预测模型，定义 b T T
ˆ T是以T为原点的常数项估计值 a 节因素在时间T的估计值，
运用一次指数平滑公式时，每个时期对模型中的参数重
新估计．在时期T,当获得新的观测值XT后，下列指数平滑
公式用来计算新的参数估计值：
每个方程式能修匀一个与数 据样式的三种成分：随机性， 线性，季节性之一有关的参数
T
ˆ 、C ˆ 的指数平滑运算，需要初始指 对参数估计值 a ˆT、b T T ˆ （K=1、2、3…L），如果 ˆ 、C 和Ｌ个 C ˆ 0、b 数平滑值 a 0K 0 0
存在历史数据，我们可用不同的方法计算这些初始指数平
滑值。比较简单的方法是，用L个时期的时间序列数据， ˆ0 a
ˆ 可以用季节比率代替。 C 0K
式中，IT类似一个季节性指数.该指数可由数列的本期
指标值XT 除以数列的本期单重平滑值ST算出,即XT与ST 的
比值.如果XT 大于ST ,这个比值大于1；如果XT小于ST ,这
个比值就小于1.对比理解这种方法和季节性指数I的作用
具有重要意义的是,要认识到ST 是一个数列的平滑值或平 均值, 其中不再含有季节性因素在内.但是数据值XT 却含 有季节性的因素。必须明白.XT 包含着数列中的一些随机 成分。为了修复这种随机成分，I的方程式用加权于新计
T 1
ˆT 1 bT 1 进行加权平均，以消除随机干扰，用以反映 和 a
长期趋势。
10
ˆ (a ˆ 对预测方程 b ˆ ˆ a ) ( 1 ) b T T T 1 T 1
量是合理的，但由于随机干扰因素的存在，还应该对这个 差值进行平滑修正，修正方法是将这个差值与上量的趋势 ˆ 进行加权平均，作为趋势增量的估计。 增量 b T 1
一、积性季节模型型 积性季节模型模型形式为： X t (at bt t )Ct t 式中: at、bt、Ct 是模型的参数； Ct 是积性季节因子 定义符号L为季节波动的周期长度，则 积性季节模型同时考虑了线 性趋势和季节因素的影响.右图 描述了经济变量的这种变化过 程或行为
C
t 1
ˆ 应为 X T / a ˆ 的加 ˆ C 因此，对季节指数的最终估计值 C 和 T T L T ˆT 是为了从观测值中消 权平均。同样的道理，第一项 X T / a
除长期趋势，其结果只包含季节变动和随机变动.对 X T / a ˆT ˆ 进行加权平均，以消除随机干扰以反映季节变动 和C T L 11
ˆ 是对趋势增量的估计。用差值a ˆT a ˆT 1 表示趋势的增 b T
ˆ 的 ˆ 是对季节指数的估计。利用前T-1期的数据对 C C T T ˆ ，利用本期数据对 C ˆ 估计值是 C ˆ T L T 所作的估计应是 X / a
对预测方程
ˆ X / a ˆ ˆT (1 )C C T T T L
去除XT ，将得到小于原值XT的值.其减的百分数恰好等于
T-L 期间的值高于平均值的百分比.相反的调整发生在季
节调整因子小于１或100％的情况下。
3
为了建立预测模型和使用平滑式ST的平滑过程连续进行 需要用一次指数平滑法计算数据IT-L的值，因此我们用下
列公式: I T X T / ST (1 ) I T L
ˆ 0.1X / a ˆ ˆ C ( 1 0 . 1 ) C 1 1 1 01 0.1 38 / 40.61 0.9 0.917 0.919
14
ˆ 2 0.3 41/ 0.968 0.7(40.6 1.027) 41.884 同理： a
年度
2005
ˆ 0.2(41.88 40.61) 0.8 1.072 1.113 b 2 ˆ 0.1 41/ 41.884 0.9 0.919 0.969 C 2 ˆ ˆ ˆT b a 季度 销售额 C T T
XT ST (1 ) ST 1 I T L L是季节波动的周期长度(例如月数或季数)；I 是季节调节因子，它 可以是季节比率,或季节指数，IT-L是只反应季节波动的数据. 如果用 IT-L去除对应时期的原时间序列数据, 其结果就是只反应水平化过程
的时间序列数据.
2
对于一次指数平滑公式 之所以用IT-L去除XT ,而没有用IT .是因为在计算平滑值ST 时, 还尚未知道时期T 的季节比率IT,也就是说,要在ST 计
T r T T
T Lr
在没有趋势变化的情况下预测方程为
9 ˆ ˆ ˆT CT Lr X T r a
对预测方程
ˆ ) ˆ (1 )(a ˆT X T / C ˆ a b T L T 1 T 1
ˆT a
ˆ X / C 是对趋势值的估计．第一项 T T L 是为从XT中消