第四章---季节性指数平滑法
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除季节变动的影响，保留一个只含有长期趋势和随机变动 的样式。理论上，应该用 X T / CˆT 但此时当期的 CˆT 尚未估计 来，故只能用上一个周期的来替代。按照一次指数平滑的
原理，1 只要与 aˆT1 相乘即可，但对于具有趋势变化的时
间序列而言，这样处理会产生滞后偏差，因此给 aˆT 1 加上 一个趋势增量 bˆT 1 就可以克服滞后偏差，然后对 X T / CˆT 和 aˆT 1 bT 1 进行加权平均，以消除随机干扰，用以反映
Cˆ0K 可以用季节比率代替。
例如，有时序的季节数据X１，X２，X3，X4，则:
aˆ0 (X1 X 2 X 3 X 4 ) / 4 X
bˆ0 [(X2 X1) (X3 X2 ) (X4 X3)]/ 3
Cˆ01 X1 / X，C02 X2 / X，C03 X3 / X，C04 X4 / X 12
列公式: IT X T / ST (1 )IT L
式中，IT类似一个季节性指数.该指数可由数列的本期 指标值XT 除以数列的本期单重平滑值ST算出,即XT与ST 的 比值.如果XT 大于ST ,这个比值大于1；如果XT小于ST ,这 个比值就小于1.对比理解这种方法和季节性指数I的作用
具有重要意义的是,要认识到ST 是一个数列的平滑值或平 均值, 其中不再含有季节性因素在内.但是数据值XT 却含 有季节性的因素。必须明白.XT 包含着数列中的一些随机 成分。为了修复这种随机成分，I的方程式用加权于新计
算出的季节性因子XT/ST，用(1－ß)加权于IT-L 。
4
据指数平滑法的基本原理, 反映季节波动的IT需要多个
初始指数平滑值. 例, 若季节波动的周期长度是四个季度,
则需要有第一至四季度的初使平滑值I０.１,I0·２,I 0·３ 和I0·４,若季节波动的周期长度为12个月.则初使指数平滑
值应该是12个.虽然,季节性一次指数平滑法把受季节性因
7
第二节 季节性趋势平滑模型
这一节介绍的两个季节性平滑模型可用于预测呈线性趋 势变化并受季节因素影响的经济变量. 根据季节因素影响 经济变量的形式，我们假设两个季节性模型，一次指数平 滑法用来计算模型中的参数估计值。
一、积性季节模型型
积性季节模型模型形式为： X t (at btt)Ct t
在时期T对未来第ｒ时期的预测为：
Xˆ Tr [aˆT bˆT r]CˆTLr 在没有趋势变化的情况下预测方程为 Xˆ Tr aˆT • CˆTLr9
对预测方程 aˆT XT / CˆTL (1)(aˆT1 bˆT1)
aˆT 是对趋势值的估计．第一项 X T / CˆTL 是为从XT中消
bˆ1 0.2(aˆ1 aˆ0) (1 0.2)bˆ0 0.2(40.61 39.25) 0.81 1.072
Cˆ1 0.1X1 / aˆ1 (1 0.1)Cˆ01 0.138/ 40.61 0.9 0.917 0.91149
同理： aˆ2 0.3 41/ 0.968 0.7(40.6 1.027) 41.884
Xˆ T4 Xˆ 8 (43.13 4 0.909) 0.987 4615.16
已知某企业2007至2009年销售资料分别为30、 18、21、27、36、24、23、32、45、29、32万元， 试预测未来4个季度的销售额。若获得2009年第四季 度的实际销售资料为40 万元，试预测未来4个 季度的销售额。取第一年的资料计算初始值，三个参 数分别为0.2、0.1、0.1
I03=44/39=1.128 I04=39/39=1.000 用预测方程 Xˆ T r S0 I0I
可以对05年月季度该商品的销售量预测：
Xˆ1 S0 I01 39 0.897 35 Xˆ 2 S0 I02 390.974 38
Xˆ 3 S0 I03 391.138 44 Xˆ 4 S0 I04 391.000 6 39
对参数估计值 aˆT、bˆT、CˆT 的指数平滑运算，需要初始指
数平滑值 aˆ0、bˆ0、C0 和Ｌ个 Cˆ 0K（K=1、2、3…L），如果
存在历史数据，我们可用不同的方法计算这些初始指数平
滑值。比较简单的方法是，用L个时期的时间序列数据，aˆ 0
取该时间序列的平均数，bˆ0 取该时序每期变化量的平均数
分离趋势的趋势方程；其次找出季节变动对预测对
象的影响，即分离季节影响；最后将趋势方程与季
节影响因素合并，得到能够描述时间序列总体发展
规律的预测模型，并用于预测。
1
第一节 季节性水平滑法
即季节性一次性指数平滑法．一次指数平滑法适用于预 测变化比较平稳，没有明显季节变动和趋势变动的经济变 量（即水平型的经济变量）。但是许多经济变量既表现为 水平型变化又受季节波动的影响。若用此法预测这种受季 节因素影响的经济变量，就不能取得较好的预测效果。
当得到06年一季度销售量的实际数据X1为36.5万件时,设 0.3 由 ST XT / STL (1)ST1 ,可计算出新的指数平滑值S1
S1 0.336.5/ 0.897 0.7 39 39.5
设 0.2 由 IT X T / ST (1 )ITL
可计算出06年第一季度的季节性比率I1:
４
４０ 43.13 0.909 0.987
用预测模型进行预测2006年的结果:
Xˆ T1 Xˆ 5 (43.13 0.909) 0.919 40.47
XˆT2 Xˆ 6 (43.13 20.909)0.969 43.55 XˆT3 Xˆ 7 (43.13 30.909)1.122 51.45
第四章 时季节性指数平滑法法
含有季节变动的时序，用数学方法拟合其演变规
律并进行预测是相当复杂的. 但, 如果我们能够设法
从时序中分离出长期趋势, 并找出季节变动的规律,
将二者结合起来预测.就可以使问题得到简化, 也能
够达到预测精度的要求。
基于这种设想，季节变动预测法方的基本思路是
首先找到描述整个时序总体发展趋势的数学模型即
长期趋势。
10
对预测方程 bˆT (aˆT aˆT1) (1 )bˆT1
量是bˆ合T是理对的趋，势但增由量于的随估机计干。扰用因差素值的aˆ存T 在aˆT，1 还表应示该趋对势这的个增
差值进行平滑修正，修正方法是将这个差值与上量的趋势
增量
bˆT
进行加权平均，作为趋势增量的估计。
1
对预测方程 CˆT X T / aˆT (1 )CˆT L
于季节平均值时,IT-L大于1或100％.用大于1或100％的数 去除XT ，将得到小于原值XT的值.其减的百分数恰好等于 T-L 期间的值高于平均值的百分比.相反的调整发生在季
节调整因子小于１或100％的情况下。
3
为了建立预测模型和使用平滑式ST的平滑过程连续进行 需要用一次指数平滑法计算数据IT-L的值，因此我们用下
素影响的时间数列分解成两部份: 一份数据只反映时间数
列中水平过程的变化, 另以部分数据只反映时间序列的季
节性变化,然后分别对这两个分数据进行平滑处理,消除随
机因素的影响.当用一次指数平滑法计算出指数平滑ST 和 IT-L后,可以把它们结合起来进行预测．在时间T 作出的对 未来第r时期的预测是: Xˆ T r ST IT Lr (r L)
Cˆ03 44/ 39.25 1.121
Cˆ 04
39/ 39.25
0.994 13
指数平滑过程从05年第一季度开始，取
0.3 0.2 0.1 则
aˆ1 0.3X1 / I01 (1 0.3)(aˆ0 bˆ0 ) 0.3 38/ 0.917 0.7(39.25 1) 40.61
例题
某商场某种商品的销售资料为04、05年分别是 36、38、44、39、38、41、49、40万元.用04年 据计算初始指数平滑值：
aˆ0 (36 38 44 39) / 4 39.25
bˆ0 [(38 36) (44 38) (39 44)]/3 1
Cˆ01 36/ 39.25 0.917 Cˆ02 38/ 39.25 0.968
式中: at、bt、Ct 是模型的参数； Ct 是积性季节因子
定义符号L为季节波动的周期长度，则
L
Ct L
t 1
积性季节模型同时考虑了线Βιβλιοθήκη Baidu
性趋势和季节因素的影响.右图
描述了经济变量的这种变化过
程或行为
8
为了建立预测模型，定义 bˆT、CˆT 分别是模型中斜率和季 节因素在时间T的估计值，aˆT是以T为原点的常数项估计值
解决这个问题的办法之一,是对时序数据进行处理：把季
节波动因素同变量的水平变化过程分开,使处理后的序列数
据只反应水平变化过程,然后用一次指数平滑法进行预测。
ST
XT I TL
(1 )ST 1
L是季节波动的周期长度(例如月数或季数)；I 是季节调节因子，它
可以是季节比率,或季节指数，IT-L是只反应季节波动的数据. 如果用 IT-L去除对应时期的原时间序列数据, 其结果就是只反应水平化过程
16
一、和性季节模型型
和性季节模型是：Xt at btt Ct t 式中符号如前
如果经济变量具有线性趋势变化和季节变化，而且季度
波动的幅度不依赖于变量变化过程的平均水平，那么该模
型适用于作这种经济变量的预测模型。
在时期T 参数估计值可以用下面指数平滑公式计算
aˆT (XT CˆTL ) (1 )(aˆT1 bˆT1)
I1 0.2 36.5/ 39.5 0.8 0.897 0.902
据新的数据S1和I1，可以作出下列四个季度的预测：
Xˆ 2 S1 I 24 39.5 0.974 38.5 Xˆ 4 S1 I 44 39.5 1.000 39.5
Xˆ 3 S1 I34 39.51.128 44.6 Xˆ 5 S1 I 54 39.50.902 35.6
bˆ2 0.2(41.88 40.61) 0.8 1.072 1.113
年度
Cˆ 2
季度
0.1 41 / 41.884 销售额 aˆT
0.9 0.919
bˆT
Cˆ T
0.969
2005
１
３８ 40.61 1.072 0.919
２ bCaˆˆ
４１ 41.88 1.112 0.969
３
４９ 43.21 1.156 1.122
此式是季节性一次指数平滑法的预测方程
5
例如：已知某商品销售量受季节因素影响，并且该商品 只有05年的季度销售量数据，分别为35，38，44和39万件
用年平均销售量作为初使平滑值S０： S０＝（35+38+44+39)/4+39．
用各季度的季节性比率作为初使平滑值I０ｔ即： I01=35/39=0.897 I02=38/39=0.974,
2
的时间序列数据.
对于一次指数平滑公式
ST
XT I TL
(1 )ST 1
之所以用IT-L去除XT ,而没有用IT .是因为在计算平滑值ST
时, 还尚未知道时期T 的季节比率IT,也就是说,要在ST 计
算出来后,才能计算出IT .故这里只能用IT-L的值(以前相同
时期的值)来代替.
用季节调节因子IT-L 去除XT ,其目的是从XT 中消除季节 性波动.这种调节可用下列性质来说明:当T-L时期的值大
运用一次指数平滑公式时，每个时期对模型中的参数重
新估计．在时期T,当获得新的观测值XT后，下列指数平滑
公式用来计算新的参数估计值：
每个方程式能修匀一个与数 据样式的三种成分：随机性， 线性，季节性之一有关的参数
aˆT XT / CˆTL (1)(aˆT1 bˆT1) bˆT (aˆT aˆT1) (1 )bˆT1 CˆT X T / aˆT (1 )CˆT L
Cˆ T 是对季节指数的估计。利用前T-1期的数据对 CˆT 的
估计值是 CˆT L ，利用本期数据对 Cˆ T 所作的估计应是 X T / aˆT
因此，对季节指数的最终估计值 CˆT 应为 XT / aˆT
和
Cˆ T
的加
L
权平均。同样的道理，第一项 X T / aˆT 是为了从观测值中消
除长期趋势，其结果只包含季节变动和随机变动.对 X T / aˆT 和 CˆT进L 行加权平均，以消除随机干扰以反映季节变动 11
原理，1 只要与 aˆT1 相乘即可，但对于具有趋势变化的时
间序列而言，这样处理会产生滞后偏差，因此给 aˆT 1 加上 一个趋势增量 bˆT 1 就可以克服滞后偏差，然后对 X T / CˆT 和 aˆT 1 bT 1 进行加权平均，以消除随机干扰，用以反映
Cˆ0K 可以用季节比率代替。
例如，有时序的季节数据X１，X２，X3，X4，则:
aˆ0 (X1 X 2 X 3 X 4 ) / 4 X
bˆ0 [(X2 X1) (X3 X2 ) (X4 X3)]/ 3
Cˆ01 X1 / X，C02 X2 / X，C03 X3 / X，C04 X4 / X 12
列公式: IT X T / ST (1 )IT L
式中，IT类似一个季节性指数.该指数可由数列的本期 指标值XT 除以数列的本期单重平滑值ST算出,即XT与ST 的 比值.如果XT 大于ST ,这个比值大于1；如果XT小于ST ,这 个比值就小于1.对比理解这种方法和季节性指数I的作用
具有重要意义的是,要认识到ST 是一个数列的平滑值或平 均值, 其中不再含有季节性因素在内.但是数据值XT 却含 有季节性的因素。必须明白.XT 包含着数列中的一些随机 成分。为了修复这种随机成分，I的方程式用加权于新计
算出的季节性因子XT/ST，用(1－ß)加权于IT-L 。
4
据指数平滑法的基本原理, 反映季节波动的IT需要多个
初始指数平滑值. 例, 若季节波动的周期长度是四个季度,
则需要有第一至四季度的初使平滑值I０.１,I0·２,I 0·３ 和I0·４,若季节波动的周期长度为12个月.则初使指数平滑
值应该是12个.虽然,季节性一次指数平滑法把受季节性因
7
第二节 季节性趋势平滑模型
这一节介绍的两个季节性平滑模型可用于预测呈线性趋 势变化并受季节因素影响的经济变量. 根据季节因素影响 经济变量的形式，我们假设两个季节性模型，一次指数平 滑法用来计算模型中的参数估计值。
一、积性季节模型型
积性季节模型模型形式为： X t (at btt)Ct t
在时期T对未来第ｒ时期的预测为：
Xˆ Tr [aˆT bˆT r]CˆTLr 在没有趋势变化的情况下预测方程为 Xˆ Tr aˆT • CˆTLr9
对预测方程 aˆT XT / CˆTL (1)(aˆT1 bˆT1)
aˆT 是对趋势值的估计．第一项 X T / CˆTL 是为从XT中消
bˆ1 0.2(aˆ1 aˆ0) (1 0.2)bˆ0 0.2(40.61 39.25) 0.81 1.072
Cˆ1 0.1X1 / aˆ1 (1 0.1)Cˆ01 0.138/ 40.61 0.9 0.917 0.91149
同理： aˆ2 0.3 41/ 0.968 0.7(40.6 1.027) 41.884
Xˆ T4 Xˆ 8 (43.13 4 0.909) 0.987 4615.16
已知某企业2007至2009年销售资料分别为30、 18、21、27、36、24、23、32、45、29、32万元， 试预测未来4个季度的销售额。若获得2009年第四季 度的实际销售资料为40 万元，试预测未来4个 季度的销售额。取第一年的资料计算初始值，三个参 数分别为0.2、0.1、0.1
I03=44/39=1.128 I04=39/39=1.000 用预测方程 Xˆ T r S0 I0I
可以对05年月季度该商品的销售量预测：
Xˆ1 S0 I01 39 0.897 35 Xˆ 2 S0 I02 390.974 38
Xˆ 3 S0 I03 391.138 44 Xˆ 4 S0 I04 391.000 6 39
对参数估计值 aˆT、bˆT、CˆT 的指数平滑运算，需要初始指
数平滑值 aˆ0、bˆ0、C0 和Ｌ个 Cˆ 0K（K=1、2、3…L），如果
存在历史数据，我们可用不同的方法计算这些初始指数平
滑值。比较简单的方法是，用L个时期的时间序列数据，aˆ 0
取该时间序列的平均数，bˆ0 取该时序每期变化量的平均数
分离趋势的趋势方程；其次找出季节变动对预测对
象的影响，即分离季节影响；最后将趋势方程与季
节影响因素合并，得到能够描述时间序列总体发展
规律的预测模型，并用于预测。
1
第一节 季节性水平滑法
即季节性一次性指数平滑法．一次指数平滑法适用于预 测变化比较平稳，没有明显季节变动和趋势变动的经济变 量（即水平型的经济变量）。但是许多经济变量既表现为 水平型变化又受季节波动的影响。若用此法预测这种受季 节因素影响的经济变量，就不能取得较好的预测效果。
当得到06年一季度销售量的实际数据X1为36.5万件时,设 0.3 由 ST XT / STL (1)ST1 ,可计算出新的指数平滑值S1
S1 0.336.5/ 0.897 0.7 39 39.5
设 0.2 由 IT X T / ST (1 )ITL
可计算出06年第一季度的季节性比率I1:
４
４０ 43.13 0.909 0.987
用预测模型进行预测2006年的结果:
Xˆ T1 Xˆ 5 (43.13 0.909) 0.919 40.47
XˆT2 Xˆ 6 (43.13 20.909)0.969 43.55 XˆT3 Xˆ 7 (43.13 30.909)1.122 51.45
第四章 时季节性指数平滑法法
含有季节变动的时序，用数学方法拟合其演变规
律并进行预测是相当复杂的. 但, 如果我们能够设法
从时序中分离出长期趋势, 并找出季节变动的规律,
将二者结合起来预测.就可以使问题得到简化, 也能
够达到预测精度的要求。
基于这种设想，季节变动预测法方的基本思路是
首先找到描述整个时序总体发展趋势的数学模型即
长期趋势。
10
对预测方程 bˆT (aˆT aˆT1) (1 )bˆT1
量是bˆ合T是理对的趋，势但增由量于的随估机计干。扰用因差素值的aˆ存T 在aˆT，1 还表应示该趋对势这的个增
差值进行平滑修正，修正方法是将这个差值与上量的趋势
增量
bˆT
进行加权平均，作为趋势增量的估计。
1
对预测方程 CˆT X T / aˆT (1 )CˆT L
于季节平均值时,IT-L大于1或100％.用大于1或100％的数 去除XT ，将得到小于原值XT的值.其减的百分数恰好等于 T-L 期间的值高于平均值的百分比.相反的调整发生在季
节调整因子小于１或100％的情况下。
3
为了建立预测模型和使用平滑式ST的平滑过程连续进行 需要用一次指数平滑法计算数据IT-L的值，因此我们用下
素影响的时间数列分解成两部份: 一份数据只反映时间数
列中水平过程的变化, 另以部分数据只反映时间序列的季
节性变化,然后分别对这两个分数据进行平滑处理,消除随
机因素的影响.当用一次指数平滑法计算出指数平滑ST 和 IT-L后,可以把它们结合起来进行预测．在时间T 作出的对 未来第r时期的预测是: Xˆ T r ST IT Lr (r L)
Cˆ03 44/ 39.25 1.121
Cˆ 04
39/ 39.25
0.994 13
指数平滑过程从05年第一季度开始，取
0.3 0.2 0.1 则
aˆ1 0.3X1 / I01 (1 0.3)(aˆ0 bˆ0 ) 0.3 38/ 0.917 0.7(39.25 1) 40.61
例题
某商场某种商品的销售资料为04、05年分别是 36、38、44、39、38、41、49、40万元.用04年 据计算初始指数平滑值：
aˆ0 (36 38 44 39) / 4 39.25
bˆ0 [(38 36) (44 38) (39 44)]/3 1
Cˆ01 36/ 39.25 0.917 Cˆ02 38/ 39.25 0.968
式中: at、bt、Ct 是模型的参数； Ct 是积性季节因子
定义符号L为季节波动的周期长度，则
L
Ct L
t 1
积性季节模型同时考虑了线Βιβλιοθήκη Baidu
性趋势和季节因素的影响.右图
描述了经济变量的这种变化过
程或行为
8
为了建立预测模型，定义 bˆT、CˆT 分别是模型中斜率和季 节因素在时间T的估计值，aˆT是以T为原点的常数项估计值
解决这个问题的办法之一,是对时序数据进行处理：把季
节波动因素同变量的水平变化过程分开,使处理后的序列数
据只反应水平变化过程,然后用一次指数平滑法进行预测。
ST
XT I TL
(1 )ST 1
L是季节波动的周期长度(例如月数或季数)；I 是季节调节因子，它
可以是季节比率,或季节指数，IT-L是只反应季节波动的数据. 如果用 IT-L去除对应时期的原时间序列数据, 其结果就是只反应水平化过程
16
一、和性季节模型型
和性季节模型是：Xt at btt Ct t 式中符号如前
如果经济变量具有线性趋势变化和季节变化，而且季度
波动的幅度不依赖于变量变化过程的平均水平，那么该模
型适用于作这种经济变量的预测模型。
在时期T 参数估计值可以用下面指数平滑公式计算
aˆT (XT CˆTL ) (1 )(aˆT1 bˆT1)
I1 0.2 36.5/ 39.5 0.8 0.897 0.902
据新的数据S1和I1，可以作出下列四个季度的预测：
Xˆ 2 S1 I 24 39.5 0.974 38.5 Xˆ 4 S1 I 44 39.5 1.000 39.5
Xˆ 3 S1 I34 39.51.128 44.6 Xˆ 5 S1 I 54 39.50.902 35.6
bˆ2 0.2(41.88 40.61) 0.8 1.072 1.113
年度
Cˆ 2
季度
0.1 41 / 41.884 销售额 aˆT
0.9 0.919
bˆT
Cˆ T
0.969
2005
１
３８ 40.61 1.072 0.919
２ bCaˆˆ
４１ 41.88 1.112 0.969
３
４９ 43.21 1.156 1.122
此式是季节性一次指数平滑法的预测方程
5
例如：已知某商品销售量受季节因素影响，并且该商品 只有05年的季度销售量数据，分别为35，38，44和39万件
用年平均销售量作为初使平滑值S０： S０＝（35+38+44+39)/4+39．
用各季度的季节性比率作为初使平滑值I０ｔ即： I01=35/39=0.897 I02=38/39=0.974,
2
的时间序列数据.
对于一次指数平滑公式
ST
XT I TL
(1 )ST 1
之所以用IT-L去除XT ,而没有用IT .是因为在计算平滑值ST
时, 还尚未知道时期T 的季节比率IT,也就是说,要在ST 计
算出来后,才能计算出IT .故这里只能用IT-L的值(以前相同
时期的值)来代替.
用季节调节因子IT-L 去除XT ,其目的是从XT 中消除季节 性波动.这种调节可用下列性质来说明:当T-L时期的值大
运用一次指数平滑公式时，每个时期对模型中的参数重
新估计．在时期T,当获得新的观测值XT后，下列指数平滑
公式用来计算新的参数估计值：
每个方程式能修匀一个与数 据样式的三种成分：随机性， 线性，季节性之一有关的参数
aˆT XT / CˆTL (1)(aˆT1 bˆT1) bˆT (aˆT aˆT1) (1 )bˆT1 CˆT X T / aˆT (1 )CˆT L
Cˆ T 是对季节指数的估计。利用前T-1期的数据对 CˆT 的
估计值是 CˆT L ，利用本期数据对 Cˆ T 所作的估计应是 X T / aˆT
因此，对季节指数的最终估计值 CˆT 应为 XT / aˆT
和
Cˆ T
的加
L
权平均。同样的道理，第一项 X T / aˆT 是为了从观测值中消
除长期趋势，其结果只包含季节变动和随机变动.对 X T / aˆT 和 CˆT进L 行加权平均，以消除随机干扰以反映季节变动 11