第一讲 补充材料幻方(七年级)

第一讲补充材料幻方

注补充内容要跟据自己班的情况进行补充，只供参考 经典精讲

1、幻方是指横行、竖行、对角线上数的和相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方,55⨯ 称作五级幻方……

如图为三级幻方、四阶幻方的标准式样，

8

16357

4

92

0 三阶幻方的中心位置上的数等于所有所填数的平均数，也等于横行、竖行、对角线上数和的三分之一。

解决数表类问题中，首先要找到数填写的规律，再从规律中找到数量关系，从而找到解决问题的关键。

【小故事】（教师导入）同学们是否知道我国古代有关“洛书”的神话传说？传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有9大块，横着数3件，数着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思。一次，大乌龟又从河里爬出来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些小点点无论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不在泛滥了。这个神奇的图案叫做‘幻方’，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”这个相等的和叫做“幻和”“洛书”就是幻和为15的三阶幻方。如下图：

【铺垫】33⨯的正方形中，在每个格子里分别填入1~9的9个数字，要求每行每列对角线上的三角数的和相等（请给出至少一种填法）

【分析】（法一）第一步：求幻和：（1+2+3+…++9）315÷=

第二步：求中心数；我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，仔细观察可以发现：除了

对角线外，第二行、第二列也分别经过中心数，那么，经过中心数的四条线段上的数字总和

⨯=，显然，在这个总和中，中心数用了四次，其余各数正好各是幻和的4倍，即15460

÷=

用一次，所以中心数应是：（60-45）35

第三步：确定四个角上的数。

第四步：用尝试法填一个其本解，以基本解为基础，棵绕中心旋转与对调得到其他各解，共八解，如图为其中两解。其余请学生自己解决：

（法2）罗伯法：把1（或最小的数）放在第一行正中，按以下规律排列剩下的数：

（1）每一个数放在前一个数的右上一格；

（2）如果这个数所有要放的已经超出了最顶行，那么就把它放在最底行，仍然要放在右一列。

（3）如果这个数所要放的格已经超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行。

（4）如果这个数所要放的格已经填好了其他数，或者同时超出了最顶行和最右列，那么就把它放在前一个数的下面，具体如下图：

罗伯法的口诀：一居上行正中央，后数依次右上连。上出框时往左填。排重便在下格填，右上排重一个样。

（法3）对易法：南宋数学家杨辉概括为：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。即:先把1到9九个数字按顺序斜着排列，再把上下的数字1和9对调，左右的数字7和3对调，最后把4个不在边上也不在最中心的数字拉到角上，一个三阶幻方就形成了。

【小知识】我国北周时期的数学家甄鸾《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，，左三右七，戴九履一，五局中央，”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久，三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；”二七六郎赏月半，周围十五月圆，”

以下选讲内容

【例1】 构造一个八阶幻方：在88⨯ 的方阵中填入1~64，使每行每列及两条对角线上

的8个数字之和都相等。

【分析】对于偶数阶幻方的构造略复杂一点，偶数阶幻方分为两类：双偶数阶幻方，即阶数是4的倍数的数；单偶数阶幻方，即阶数是2的倍数但不是4的倍数。

构造双偶数阶幻方有一种简单而有趣的方法，叫做对称法。其构造方法如下：

① 把88⨯得方阵分成上、下、左、右四个44⨯的小方阵；

② 在每个44⨯的小方阵中都画上2个对角线，如图1；

③ 按从上到下、从左到右得次序在方阵中填入1到64，但只填对角线不穿过的方格。凡有

对角线通过的方格则跳过，如图2；

④ 最后，按自下而上、从右到左的相反方向重复③的过程，但这次只填对角线穿过的方格，

而跳过对角线经过的方格（因此这些方格中已有数字），如图3.

此时整个方阵填入的数正好是1~64，而且形成一个幻方。

在幻方构造法的研究中，奇数幻方和双偶数幻方的构造法早就有了很多成果，而对但偶数阶段幻方，人们长期没能找到一种有效地构造方法。直到数学家不屑的努力，才发明构造单偶数阶幻方的一般方法，但是这种方法所需要的数学知识比较广泛，我们将在高年级的学习中介绍。

九数之和+中心方格中的数3⨯= 4k ，

3k +中心方格中的数3⨯= 4k ，

中心方格的数=3k ÷

注意：例题中对九个数及定数k 都没有特殊要求。这个结论对求解33⨯方格中的数阵问题很实用。

【巩固】请编出一个三阶幻方，使其幻和为24.

【分析】（1）根据题意，要求其三阶幻方的幻和为24，所以中心数为243÷=8.

（2）既然8是中心数，那么与8在一条直线的各个组的其余两数的和为16，想一想哪两个数相加为16呢？1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16，6+10=16，7+9=16

（3）按上述条件进行估算后填出，然后在进行调整即可得正确的答案。

【例2】 将九个数填入下图空格中，使得每行、每列以及每条对角线上的三个数之和都

相等，证明：()2c a b =+÷

【分析】设中心数为d （如右上图），因此每行、每列以及对角线上的三个数之和都等于3d 第一行中间的数为2d b -，右下角的数为2d c -。根据第一行和第三列可求出右上图中*的数，由此可得：

3(2)3(2)d c d b d a d c ---=---

3232d c d b d a d c --+=--+

d c b d a c -+=-+

2c a b =+

所以()2c a b =+÷

【拓展】在下图的空格里填入七个自然数，使每一行、每一列及每一条对角线上的三个数的和都等于90.