北师大版数学必修1课件：3.2.2指数运算的性质

1 35 ( ) _______________________________________ 3 5 2 5 2 9 3 (3 ) 3 3 3 27
a n a n n n 例 1.在实数范围中，对比 (ab) a b 和 ( ) n b b
（其中 a 0, b 0 ） ，说明后者可以归入前者．
a a a
先化为分
7 12
解： （1） a a ＝ a a a
3 4
1 3
1 4
1 1 3 4
a
1 2
数指数幂
1 2 1 4 1 8
（2） ＝a
a a a ＝[a· （a·a ） ] ＝a ·a ·a
1 1 1 2 4 8
1 2
1 2
a
7 8
计算 （1） ( 2 3 2 )
y
含字母的幂的运算是高中数学中基本运算之一, 可 以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后 是同底数幂相乘除，并且要注意符号．
例 3.已知 10 3,10 4 ．求 10

， 10

，
102 ， 10 5 ．

解： 10

10 10 3 4 12 ；
= (x y x y ) (x y ) x
1 3 2 3 1 6 1 6 1 2 1 2 1 1 1 3 6 2
2 1 1 3 2 6 1 1 5 2 3 6
2 3
1 2
1 2
1 3
1 6
5 6
4ab 0ຫໍສະໝຸດ Baidu 4a
y
2 1 1 3 6 2
x y
1 2

1 2
而（x+x-1）2=x2+2+x-2=49可得x2+x-2=47 ∴原式= 18 3 1
47 2 3
提升总结：
（1）要注重已知条件与所求之间的内在联系, 看透问题 实质方可彻底解决. （2）注意对立方和等公式的灵活运用以及开方时
正负的取舍.
1.下列说法错误的是(
C )
A.根式都可以用分数指数幂来表示． B.分数指数幂不表示相同式子的乘积，而是根式的一种新的写法 C.无理数指数幂有的不是实数 D.有理数指数幂的运算性质适用于无理数指数幂 2. 2
2 2
1 3 1 1 6 32 2 2 4 6 2 8 3 2
1 2

1 3
2
2 6 5 2 6 3 6 =21
4
1 2
4．下列两种计算方法对吗？为什么？
3 ( 3) ( 3) 27 ( 3) 9 (3 ) 3 27 ． 甲： ；乙： 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2
1


解： （１） 3x (2x
1
2
yz) (3 2) x
1
2 2
yz 6 yz ；
（２） ( x y)


4 y 4x



y y 4 xy 4 x ．
化简
3a1 b ) ,其中 1. (2a b )( 6a 1 b ) (1 1 a 0, b 0
a a a
m n n n
mn
(a m ) n a mn (ab) a b
n
1 ( ) 3 3
1 1 1 1 ( )3 ______________________ 3 27
27
化为同底的指 数运算
1 1 (2 x) 5 ___________________ 5 (2 x) 32 x 5
3 4( ) 4
103 1000
2
125 3 53 3 5 3 3 5 3( 3 ) 5 2 9 ) ( 3 ) [( ) ] ( ) ( ) (2) ( 27 3 3 3 25 3
2
例 4.化简下列根式(其中各式字母均为正数) （ 1） 3 a 4 a （ 2）
用立方差公式展开后即可使用所求 x x
1
与已知 x x =3 条件 .
(1) x x
1 2

1 2
, ( 2) x x
1 2 2
3 2

3 2
.
1 2 1 2
解: ( 1) （x x ） （x ） 2 x x
=x1+x-1+2=3+2=5
1 2
1 2 2
（x ）
寻找与已知的 关系
3 2 3 2
已知 x x
1 2

1 2
x x 3 3 ，求 2 2 的值. x x 2
解： （x x ） x 2 x 1 32
1 2

1 2 2
x x 1 7 x x
3 2 3 2
( x x ) ( x 1 x 1 ） 3 6 18
2.2
指数运算的性质
1.掌握分数指数幂的运算性质;(重点） 2.能运用性质进行化简或求值;（难点） 3.感受指数扩充对运算性质的影响.
凡运算都要有法则！
初中，我们已经知道正整数指数幂的运算性质
(1)a a a
m n
mn
(2)(a ) a
m n n
mn n
(3)(ab) a b
4
（2） 18 3 2
1 (2 2 1 23 )4
解： （1 ） ( 2 3 2 )
4

1 3
1 4 2 2
1 4 3 2

4 22 2 3
2
1 2
3

1 23 2 3
83 2
1 3
（2） 18 3 2 （ 32 2） 2 3 2 2 3 2
10 3 ； 10 4



10

10
2
10
2

10 10
5



1 5
1 3 ； 9
2
4 ．
1 5
求下列各式的值： （1） 10000
0.75
125 3 ) （2 ） ( 27
0.75
2
解：(1) 10000
2
(10 ) 10
2
3 4 4
2 3
1 2
1 2
1 3
1 6
5 6
2.( xy · x 2 · y
2

2
) 3 · ( xy ) 2
(2a b ) ( 6a b ) （ 3a b ） 1.解： a b1 1 1 1 3 2 6 2.解: ( xy 2 · x 2 · y 2 ) 3 · ( xy ) 2

1 2 2
x x 5
又由x+x-1=3得x＞0 所以 x
1 2
1 2
-
1 2
开方后有正 负两种情况
x

1 2
5
(2) x x
1 2
3 2

3 2 1 2
（x ） （x ）
1 2 3

1 2 3
1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 （x x ） （ （x ） x ）x x 1 （x x ）（ x x ） - 1 5 （ 3 1） =2 5 1 2 1 2
n
mn a , mn m a (4) a 0 ，有 n 1, 当 mn 时 a a (n m) 时 , m 时 n 当 当
当
时
a n an (5)( ) n (b 0) b b （其中m , n均为正整数）
实数指数幂的运算法则
当 a 0, b 0 时，对任意实数 m, n 都满足 上述性质，可以归纳如下：
n
n
n a a a n a n 1 n n n 解： ( ) (ab ) a b n ，因此，性质 ( ) n b b b b
可以归入性质 (ab) a b ．
n n n
例 2.化简（式中字母均为正实数） ： （１） 3x 2 (2x
2
2
； （２） （x y ） 4y ． yz)
1 2
3
1 2
2 ( 3)0 3
1 2
2 2 ___________
1 1 3.(2012.信阳高一检测)计算: 4 6 6
解析:原式 2
1 2
2

1 3

3 2 6 4 2 3 2
3

1 1 2 3
1 3
1 2
3 2 36 2
1 6
（练习）已知 x x =3,求下列各式的值：
1
(1) x x , (2) x x .
分析 :对 x x 而x x
3 2 3 2
1 2

1 2
3 2

3 2
1 2

1 2
平方即可应用题目给的已知条件,
1 2 1 2
r s rs 解析：甲不对，乙对．甲没有注意公式 ( a ) a 的适用条件 a 0 ．
1.分数指数幂的运算性质 2.有理数指数幂的运算法则
青春是有限的，智慧是无穷的，趁短暂的 青春，学习无穷的智慧。