小学六年级数学竞赛讲座 第2讲 高斯记号进阶

第二讲高斯记号进阶模块一、高斯记号求值：

例1．和式S=

502

1

305 [] 503

n

n =

∑的值为。

解1：3051305502

305

503503

⨯⨯

+=，

3052305501

305

503503

⨯⨯

+=，……，

5021

305305251503n n ==⨯∑ 所以5021305[]503n n =∑=5021

305251503n n =-∑=304×251=76304. 解2：n =1时，3051[]0503⨯=；n =2时，3052[]1503⨯=；n =3时，3053[]1503⨯=；n =4时，3054[]2503

⨯=； n =5时，3055[]3503⨯=；n =6时，3056[]3503⨯=；n =7时，3057[]4503⨯=；n =8时，3058[]4503

⨯=； n =9时，3059[]5503⨯=；n =10时，30510[]6503⨯=；n =11时，30511[]6503⨯=；n =12时，30512[]7503

⨯=； n =13时，30513[]7503⨯=；n =14，30514[]8503⨯=；n =15时，30515[]9503⨯=；n =16时，30516[]9503

⨯=；…… 于是原式=0+(1+1+2+3+3)+(4+4+5+6+6)+(7+7+8+9+9)+……+(301+301+302+303+303)+304

=10+25+40+……+1510+304=(101510)1003042

+⨯+=76304.

例2．计算：2

101222[][][][]3333

++++= 。 解：原式=0+0+1+2+5+10+21+42+85+170+341=677.

解2：对于1、2、22、23、……、210，它们除以3的余数分别是1、2、1、2、……2、1， 所以直接算012

1022223333

++++，得到的数将偏大， 而前面11个余数中恰好组成5个3外加1个1， 于是012

102222333

3++++−153=1111(21)533

⨯--=677. 例3．20000

10010[]103

+的值的个位数字为 。 解：：先找出3101010020000

+的整数部分与小数部分. 3

101010020000+=31033103)10(100200

100200200100+++-

100200200100210021001002220000200

1001002220000200

100200100

1001002000020002002000010020000100100100(10)3[(10)](3),

(10)3|103103|(10)3,

103.103

391,103103

1010310910[]103103103-=---+--+=<++--===+++知又知是整数显然知50

10081.103

-+ 其中分母的个位数字为3，分子的个位数字为9，故商的个位数字为3.

模块二、高斯记号方程：

例4．若实数r 使得192091[][][]100100100

r r r +

+++++=546，则[100r ]= 。 解：因为192091[][][]100100100r r r +≤+≤≤+，且9119[][]1100100

r r +-+= 又192091[][][]100100100

r r r ++++++=546，所以这73个数中前38个都为7，后35个都为8， 所以第38个数56[]7100r +=，第39 个数57[]8100r +=，所以r +0.56<8，r +0.57>8， 所以7.43

所以[100r ]=743.

例5．解方程56157[

]85x x +-=，则x = . 解：56565+61[]888x x x ++-<≤，所以561575+61858x x x +--<≤， 1575+65856157185x x x x -⎧≤⎪⎪⎨+-⎪-<⎪⎩，解得4199010x <≤. 又

1575x -为整数，15x −7=0、5、10，解得x =715或x =45或x =1715

（舍） 所以x =45或x =715.

例6．求正整数a ，[][][]235a a a a ++=。

解：a 不是最小公倍数30的整倍数， 令a =30k +r ，0

r

r r ++=30k +r ，

得[][][]235r r r ++=r −k ，所以k =r −[][][]235r r r --，

当r =1时，k =1，a =31；当r =2时，k =1，a =32；当r =3时，k =1，a =33；当r =4时，k =1，a =34； 当r =5时，k =1，a =35；当r =6时，k =0，a =6；当r =7时，k =1，a =37；当r =8时，k =1，a =38；

当r =9时，k =1，a =39；当r =10时，k =0，a =10；当r =11时，k =1，a =41；当r =12时，k =0，a =12； 当r =13时，k =1，a =43；当r =14时，k =1，a =44；当r =15时，k =0，a =15；当r =16时，k =0，a =16； 当r =17时，k =1，a =47；当r =18时，k =0，a =18；当r =19时，k =1，a =47；当r =20时，k =0，a =20； 当r =21时，k =0，a =21；当r =22时，k =0，a =21；当r =23时，k =1，a =53；当r =24时，k =1，a =24； 当r =25时，k =0，a =25；当r =26时，k =0，a =26；当r =27时，k =0，a =27；当r =28时，k =0，a =28； 当r =29时，k =1，a =59；

模块三、高斯记号最值问题：

例7．以[x ]代表不超过x 的最大整数，设自然数n 满足1231[

][][][][]20111515151515n n -+++++>，则n 的最小值是 。 解：12214[], [], [], [],15151515都等于0，15161729[], [], [], [],15151515

都等于1， 30313244[], [], [], [],15151515

都等于2，……，它们的和是15×(1+2+3+…+n )， 又2011÷15=134……1， 1+2+3+…+n ≤134，解得n ≤15，取n =15时，1+2+3+……+15=120，

所以前16组数共有14+15×15=239个数， 即123239[][][][]180015151515++++=，再往后240241242254[], [], [], [],15151515

都是16， 1800+14×16>2011，所以239+14=253. 即n 的最小值是253.

例8．下列m 个整数2009120092200932009[], [], [], , [],123m m

++++共有69个不同的取值，则m 的最小值为 ，最大值为 。

解：由于20092009[][]1k k k

+=+， 所以m 个整数2009120092200932009[], [], [], , [],123m m

++++共有69个不同的取值， 相当于m 个整数2009200920092009[], [], [], , [],123m

共有69个不同的取值， 而200920092009[][]1(1)

k k k k =+++ =2009200920092009[[

]{}[]{}]11(1)(1)k k k k k k +++++++ =2009200920092009[][][{}{}]1(1)1(1)

k k k k k k +++++++，