6_4常数变易法

第四节 一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程 二、伯努利方程
第六章
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一、一阶线性微分方程
dy P( x) y Q( x) 一阶线性微分方程标准形式: dx 若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . dy P( x) y 0 1. 解齐次方程 dx 分离变量 两边积分得
齐次方程通解
非齐次方程特解
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例1. 解方程
d y 2d x d y 2y 0, 即 解: 先解 y x 1 dx x 1 积分得 即 y C ( x 1) 2 2 则 用常数变易法求特解. 令 y u ( x) ( x 1) ,
y u ( x 1) 2 2 u ( x 1)
y x 1 y (1) 2 2e 1
此齐次线性方程的通解为 y C2 e x ( x 1) 利用衔接条件得 C2 2(e 1)
因此有
3) 原问题的解为
y 2(e 1) e
x
( x 1)
x 2 ( 1 e ), 0 x 1 y 2(e 1) e x , x 1
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内容小结
1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式
P ( x )d x
ye

P ( x )d x Q( x) e dx C
2. 伯努利方程
令 u y1 n , 化为线性方程求解.
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第五节 目录
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备用题
1. 求一连续可导函数 使其满足下列方程: 令 u x t 提示: f ( x) sin x f (u )d u
0 x
则有
f ( x) f ( x) cos x
f (0) 0
利用公式可求出
1 f ( x) (cos x sin x e x ) 2
ln y P( x)d x ln C
故通解为
y C e P ( x )d x
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dy P( x) y Q( x) 2. 解非齐次方程 dx
P( x) d x 则 用常数变易法: 作变换 y ( x) u ( x) e ,
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2. 设有微分方程 y y f ( x) , 其中
2 , 0 x 1 f ( x) 0 , x 1
试求此方程满足初始条件
解: 1) 先解定解问题
的连续解.
利用通解公式, 得 dx dx 2e d x C1 ye
x x
y y 2, 0 x 1 y x0 0
e ( 2 e C1 ) 2 C1e
利用 y
x0
x
0 得 C1 2
故有
y 2 2e x (0 x 1)
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y y 0 , x 1
2) 再解定解问题
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例2. 求方程
1 z y , 则方程变形为 解: 令 dz z a ln x dx x
的通解.
其通解为
ze

1 dx x
(a ln x) e

1 d x x dx C

a x C ( ln x) 2 2 将 z y 1代入, 得原方程通解:
代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为
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3 2 u ( x 1) 2 C 3
二、伯努利 ( Bernoulli )方程
伯努利方程的标准形式:
除方程两边 , 得 n d y y P( x) y1 n Q( x) dx dz 1 n n d y 令 z y , 则 (1 n) y dx dx dz (1 n) P( x) z (1 n) Q( x) (线性方程) dx 求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解. 解法:
u e
即
P( x) d x
P( x) u e
P( x) d x
P( x) u e
P( x) d x
Q( x)
P ( x )d x 对应齐次方程通解 y C e P( x) d x 两端积分得 u Q( x) e dx C
P( x) d x Q ( x ) e d x C 故原方程的通解 y e P( x) d x P( x) d x P( x) d x e dx y Ce 即 Q( x) e P( x) d x
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(3) ( y x ) dx 2 x d y 0 (4) 2 y dx ( y 3 x) d y 0
3
(5) ( y ln x 2) y dx x d y
作业
习题6.1
习题6.2
3;
1 (1); 2 (3); 3 (2); 4(2)
思考与练习
判别下列方程类型: dy dy (1) x y x y dx dx dy (2) x y (ln y ln x) dx 提示: y 1 dx 可分离 dy 变量方程 y x dy y y 齐次方程 ln dx x x dy 1 x 2 线性方程 y dx 2 x 2 dx 1 y 2 线性方程 x dy 2 y 2 dy 2 sin x 2 伯努利 y y 方程 dx x x