M02_初等模型数学建模

以上距离，车速在每小时 100公里以下时，可适当缩
短与同车道前车车距，但应 保持50米以上距离。
2. 核军备竞赛
核军备竞赛
背 景
• 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威 慑战略”，核军备竞赛不断升级。
• 随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列
的核裁军协议。
问
❖ 在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存 在暂时的平衡状态。
全部核导弹攻击己方的核导弹基地； ➢ 乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核
导弹，给对方工业、交通等目标以毁灭性的打击。
• 在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能 攻击对方的一个核导弹基地。
• 摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度 和另一方的防御能力决定。
图 y=f(x) ~ 甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数 的 x=g(y) ~ 乙方有y枚导弹，甲方所需的最少导弹数
预报A
正确率
实测 预报
有雨
无雨
有雨 6
10
17/30=0.57 无雨 3
11
实测 预报
有雨
无雨
有雨 0 0
无雨 9 22
预报B ×
正确率
22/31=0.71
预报C
实测 预报
有雨
无雨
正确率 有雨 22/27=0.81 无雨
53 2 17
预报实测 有雨 无雨 有雨 6 0 无雨 2 21
√ 预报D
正确率
s(2 s) 2 s
x=2y, y=y0/s2
y0
0
y=f(x)
当 x=ay 时, 猜测有：
y
y0 sa
y0 sx/ y
x=2y x
影响因素： y0~威慑值 s~残存率 a~交换比 (甲乙导弹数量比)
可知 y y0 sx/ y 有如下性质：
➢y是一条上凸的曲线
➢s变大，y减小，曲线变平
➢y0变大，曲线上移、变陡 ➢a变大，y增加，曲线变陡
分 析
因而，“2秒准则”与“车身”规则不同
反 反应时间
应
距
刹离
车速
司机 制动系统 状况 灵活性
常数
车 距
制 制动器作用力、车重、车速、道路、气候 …
离
动 距
最大制动力与车质量成正比，使汽车作
离 匀减速运动。
假设与建模
1. 刹车距离 d 等于 反应距离 d1 与制动距离 d2 之和
d d1 d2
第2章 初等模型
1 汽车刹车距离 2 核军备竞赛 3 天气预报的评价
【上机练习】通过曲线拟合估计模型参数（Matlab/Excel ）
1. 汽车刹车距离
汽车刹车距离
美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：
背
• 正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时， 后面与前车的距离应增一个车身的长度。
景
与
• 实现这个规则的简便办法是 “2秒准则” ：
拟合二次多项式： f(x) = p1*x^2 + p2*x + p3 (p2=0.75, p3=0)
利用 Excel 里对散点图添加趋势线的功能得到参数 k ：先对数据做变换，再拟合曲线：
d t1v kv2 令 : x v2, y d - t1v，有 : y kx
k=0.0255
利用 Excel 里对散点图添加趋势线的功能得到参数 k： d t1v k v2
模型解释
y y0 y0 sa sx/ y
y0~威慑值 s~残存率 a~交换比
• 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标
乙方威慑值 y0变大 （其它因素不变） 乙安全线 y=f(x)上移
平衡点 P P´
xm xm, ym ym
y乙
y0 y=f(x)
0
x0
P(xm , ym )
P(xm,ym) x=g(y)
2. 反应距离 d1与车速 v成正比
d1 t1v （t1为反应时间）
3. 刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的
改变;
F d2= m v2/2
且F与车的质量m成正比 F m
d2 kv2
d t1v kv2
（注 : k a） 2
模 型 d t1v kv2
参数估计
• 反应时间 t1的经验估计值为0.75秒 • 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k
3. 天气预报的评价
天气预报的评价
问题 明天是否下雨的天气预报以有雨概率形式给出. 已得到某地一个月4种预报方法的有雨概率预报， 和实际上有雨或无雨的观测结果.
日期 预报A(%) 预报B (%) 预报C (%) 预报D (%) 实测(有雨=1,无雨=0)
1
90
30
90
60
2
40
30
50
80
…
…
30 全 …
…
15
10
30 相 20
10
…
…
30 同 …
…
1
1 9天 … 有雨 0 22天 … 无雨
31
80
30
50
10
0
怎样根据这些数据对4种预报方法给以评价?
计数模型
明天有雨概率>50% 预报有雨 有雨概率=50% 明天有雨概率<50% 预报无雨 毫无意义, 不予统计
根据明天是否有雨的实测，统计预报的正确率
先对数据做变换，再拟合曲线：
令 : x v2, y d - t1v，有 : y kx
k=0.0255
模型
d t1v kv2 0.75v 0.02555 v2
单位： d—英尺， v—英尺/秒
车速
实际刹车距离（英尺）
(英里/小时) (英尺/秒)
平均值
最大值
20
29.3
42
44
30
44.0
得分从高到低： C > D > B > Ａ
记分模型 将预报有雨概率与实测结果比较并记分
pk~第k天预报有雨概率 vk=1~第k天有雨，vk=0~无雨
模型2 第k天的预报得分： sk pk vk
sk [0,1] 越小越准
对k 求和得到预报的分数S2 S2越小越好
√ S2(A) =14.5，S2(B) = 12.9， S2(C) = 8.5， S2(D) = 8.8
《数 学 建 模》
郭磊磊 北方工业大学理学院数学系
《数学建模》课程内容
1 数学模型概述 2 初等模型 3 简单优化模型 4 数学规划模型 5 动态规划模型 6 图与网络模型 7 微分方程模型
8 概率模型 9 统计回归模型 10 时间序列分析 11 综合评价方法
■数学软件 MATLAB ■最优化软件 LINGO ■统计软件SPSS
模型1 实测 预报有雨概率>0.5 得到相应的正分 有雨 预报有雨概率<0.5 得到相应的负分
第k天的预报得分
：sk
0p.k5
0.5, pk ,
vk 1 vk 0
sk [0,0.5] 越大越准
对k求和得到预报的分数S1 S1越大越好 S1 (A) =1.0， S1 (B) = 2.6， S1 (C) = 7.0， S1 (D) = 6.7
题 ❖ 估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个
数量受哪些因素影响。
❖ 当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导 弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。
模 • 以双方（战略）核导弹数量描述核军备的大小。
型 假
• 假定双方采取如下同样的核威慑战略：
设
➢ 认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾 其
P(xm,ym)
P(xm , ym )
y=f(x) x=g(y)
x0
x
甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少
进一步思考（课后习题）
• 在核武器竞赛模型中，讨论以下因素引起的平衡 点的变化：
a)甲方提高导弹导航系统的性能 b)甲方增加导弹爆破的威力 c) 甲方发展电子干扰系统 d)双方建立反导弹系统
问
后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒 钟后到达同一标志，而不管车速如何。
题
判断 “2秒准则” 与 “车身”规则是否一样；
建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。
常识：刹车距离与车速有关
问 10英里/小时(16公里/小时)车速下，2秒钟行驶
题 29英尺( 9米) >> 车身的平均长度15英尺(=4.6米)
73.5
78
40
58.7
116
124
50
73.3
173
186
60
88.0
248
268
70
102.7
343
372
80
117.3
464
506
计算刹车距离
(英尺)
43.9 82.5 132.1 192.3 263.9 346.5 439.5
间隔时间 (秒) 1.50 1.87 2.25 2.62 3.05 3.62 4.31
精细 模型
x<y
乙方残存率 s ~ 甲方一枚导弹攻击乙方一个基地， 基地未被摧毁的概率。
甲方以 x枚导弹攻击乙方 y个基地中的 x个,
sx个基地未摧毁，y–x个基地未攻击。
y0=sx+(y–x)
y= y0+(1-s)x
x=y
y0=sy
y=y0/s
y<x<2y
乙的x–y个被攻击2次，s2(x–y)个未摧毁；
车速
(英里/小时) (英尺/秒)
20
29.3
30
44.0
40
58.7
50
73.3
60
88.0
70
102.7
80
117.3
实际刹车距离（英尺）
平均值 最大值
42
44
73.5
78
116
124
173
186
248
268
343
372
464
506
最小二乘法 k=0.02555
利用 Matlab 里的曲线拟合工具cftool进行 最小二乘法拟合得到参数 k：
车速
（英里/小时）
0~10 10~40 40~60
60~80
车速
（千米/小时）
0~16 16~64 64~97
97~129
t
（秒）
1 2 3
4
即：后车司机从前车经过某一标志开始 默数 t 秒钟后到达同一标志。
我国对“跟车”的一些规定
《
》规定：
高速公路上行驶的车辆，车 速超过每小时100公里时，
应与同车道前车保持100米
得分从低到高： C > D > B > Ａ
记分模型 将预报有雨概率与实测结果比较并记分
问：更好的驾驶规则? 答：应考虑（计算的,实际的） 最大刹车距离。
间隔时间 = max{实际刹车距离, 计算刹车距离} / 车速
模型应用
车速
(英里/小时)
20 30 40 50 60 70 80
间隔时间
（秒）
1.50 1.87 2.25 2.62 3.05 3.62 4.31
“2秒准则” 应修正为 “t 秒准则”
• 研究对象的机理比较简单
• 用静态、线性、确定性模型即 可达到建模目的
•可以利用初等数学方法来构造 和求解模型
2.6 交通流与道路通行能力 2.7 核军备竞赛 2.8 扬帆远航 2.9 天气预报的评价
如果用初等和高等的方法建立的 模型，其应用效果差不多，那么 初等模型更高明，也更受欢迎.
尽量采用简单的数学工具来建模
回顾：数学建模的基本方法
•机理分析 根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律.
•测试分析 将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型.
•二者结合 用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数.
回顾：数学建模的一般步骤
初等模型
本章目录： 2.1 光盘的数据容量 2.2 双层玻璃窗的功效 2.3 划艇比赛的成绩 2.4 实物交换 2.5 污水均流池的设计
x甲
甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。
模型解释
y y0 y0 sa sx/ y
y0~威慑值 s~残存率 a~交换比
• 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架
乙安全线y=fx 0和交换比不变
x减小，甲安全线
y0
x=g(y)向y轴靠近
0
PP´ xm xm, ym ym
模 当 x=0 时 y=y0，y0~乙方的威慑值
型
y0~甲方实行第一次打击后已经没有导弹，
乙方为毁灭甲方的重要目标所需导弹数
y
(乙）
y y0 x
y
双方
安全区
y=f(x)
乙安全线
y0
0
x
y0 y f (x) y0 x (甲）
y1
y=f(x) P(xm,ym)
y0
x=g(y)
0
x0
x1
x
P ~ 平衡点(双方最少导弹数)
预报C
实测 预报
有雨
无雨
√ 预报实测 有雨 无雨 预报D
有雨
误报率 无雨 P=0.20
53 2 17
有雨 6 0
无雨 2 21 误报率 P=0.06
51%=99%? → 缺点: 未考虑预报概率的具体值
记分模型 将预报有雨概率与实测结果比较并记分
pk~第k天预报有雨概率 vk=1~第k天有雨，vk=0~无雨
27/29=0.93
计数模型 从实用角度看，更重要的是误报率.
预报有雨而实测无雨的概率P1 造成预防费用浪费
预报无雨而实测有雨的概率P2 预防不足导致损失
设两种后果的损失之比为1 : 2 误报率P=1/3P1+2/3P2
预报A
实测 预报
有雨
无雨
有雨 6
10
无雨 3
11
P1=10/16 P2=3/14 误报率P=1/3P1+2/3P2=0.35
y –(x–y)=2y– x个被攻击1次，s(2y– x )个未摧毁
y0= s2(x–y)+ s(2y– x )
y y0 1 s x s(2 s) 2 s
x=2y
y0=s2y
y=y0/s2
精细模型
x<y, y= y0+(1-s)x
y x=y
x=y, y=y0/s
y<x<2y, y
y0
1 s x