高中数学新课程中数学建模教学设计案例—《三角函数模型的简单应用》教学设计

高中数学新课程中数学建模教学设计案例

—《三角函数模型的简单应用》教学设计

湖南省常德市第六中学颜春湖南常德415000

一.教学分析（教材分析与学情分析）

1.教材分析：本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下单独一节来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.

学情分析：本节课是在学习学习了第一章函数的应用和三角函数的性质和图象的基础上来习三角函数模型的简单应用，学生已经有了数学建摸的基本思想和方法，应用三角函数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该顺理成章，所以对本节的学习应让学生能够多参与多思考，培养他们的分析解决问题的能力，提高应用所学知识的能力.

二.教学目标

1、基础知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；b根据解析式作出图象并研究性质；c体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；d体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．

2、能力训练目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．

3、个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神.

三.教学重点、难点

教学重点：用三角函数模型刻画潮汐变化规律，用函数思想解决具有周期变化的实际问题.

教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型.

四.教学过程设计

教学环节师生活动设计意图

（一）呈现实际情境

海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：

（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值。（精确到0. 1）

（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？

（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？

（二）正确理解实际问题问题探究1：如图所示，下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系

表：

请同学们仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？

小组合作发现，代表发言。可能结果：

1）水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米。

2）水的深度开始由5.0米增加到7.5米，后逐渐减少一直减少到2.5，又开始逐渐变深，增加到7.5米后，又开始减少。

3）水深变化并不是杂乱无章，而是呈现一种周期性变化规律。

4）学生活动：作图——更加直观明了这种周期性变化规律。（研究数

据的两种形式）

5）教师呈现作图结果，学生小组代表发言，跟我们前面所学过哪个函数

类型非常的类似？追问为什么类似正弦型函数b

x

A

y+

+

=)

sin(ϕ

ω（排

除法，关键在于周期性）。

设计意图:水深

变化并不是杂

乱无章，而是呈

现一种周期性

变化规律,得到

的是一个刻画

水深与时间关

系的三角函数

模型.

（学生活动，求解解析式）A =2.5,h =5,T=12, ϕ=0;

212,.6

π

π

ωω

==

得 2.5sin

56

x

y π∴=+.

得到的是一个刻画水深与时间关系的三角函数模型，为了保证所选函数的精确性，通常还需要一个检验过程，教师点明：建模过程——选模，求模，验模，应用。有了这个模型，我们大致可以知道哪些情况？学生小组合作讨论回答，如周期、单调性、每时每刻的水深。 学生计算几个值，最后教师呈现水深关于整点时间的数值表

【师】有了水深关于时间的函数模型以后，作为船长考虑的问题还没有结束，因为船只在进出港时，每艘船只的吃水深度是不一样，下面我们就看一看把这两方面的情况都考虑进去的一个问题：

问题探究2：一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），试问：该船何时能够进入港口？在港口能呆多久？

（师生一起分析）用数学的眼光看，这里研究的是一个怎样的数学问题？水深5.5≥米 得出5.1456

sin

5.2+≥+x

π，即2.06

sin

≥x

π，

（师生齐分析）解三角不等式2.06

sin ≥x

π的方法

令2.06

sin

=x

π学生活动：操作计算器计算

3848.0,2014.06

≈≈x x

π， 结合电脑呈现图象

发现：在[0，24]范围内，方程2.06

sin

=x

π的解一共有4个，从小

到大依次记为：.6154.5,3846.021==x x .6154.17,3846.1243==x x 得到了4个交点的横坐标值后，结合图象说说货船应该选择什么时间进港？什么时间出港呢？ （学生讨论，交流）