可微性与偏导数课件

x 1
15.
再求 f 在 (1, 3) 处关于 y 的偏导数. 为此令 x = 1, 得
f (1, y ) 1 2 y y 3 , 求它在 y = 3 处的导数, 又得
df (1, y ) f y (1,3) dy
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2 3 y2
y3
y3
25.
数学分析 第十七章 多元函数微分学
在使用上, 有时也把 (1) 式写成如下形式：
z A x B y x y ,
(4)
这里
( x ,y ) (0,0)
lim

( x , y ) (0,0)
lim
0.
(1)
z A x B y o ( ), dz |P0 d f ( x0 , y0 ) A x B y
2 z u sin( x y e ) 的偏导数. 例4 求三元函数
解 把 y 和 z 看作常数, 得到 u cos( x y 2 e z ); x 把 z , x 看作常数, 得到
u 2 y cos( x y 2 e z ); y
把 x, y 看作常数, 得到
0
0
0
上必须有定义. 显然，在定义域的内点处总能满足这 种要求，而在界点处则往往无法考虑偏导数．
数学分析 第十七章 多元函数微分学
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§1 可微性与偏导数
可微性与全微分
偏导数
可微性条件
可微性的几何意义及应用
若函数 z f ( x , y ) 在区域 D 上每一点 ( x , y ) 都存在 对 x ( 或对 y) 的偏导数, 则得到 z f ( x , y )在 D 上 对 x (或对y) 的偏导函数 (也简称偏导数), 记作
,
( x0 , y0 )
z x
.
( x0 , y0 )
数学分析 第十七章 多元函数微分学
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§1 可微性与偏导数
可微性与全微分
偏导数
可微性条件
可微性的几何意义及应用
类似地可定义 f 在点 ( x0 , y0 ) 关于 y 的偏导数:
f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) lim lim , (7) y 0 y y 0 y yz
P 是先把别的自变量看作常数 , 变成一 量求偏导数,z f ( x, y ) 0
O 元函数的求导. 因此第五章中有关求导数的一些基 C y
z
x y . 本法则，对多元函数求偏导数仍然适用
0
图 17-1
数学分析 第十七章 多元函数微分学
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§1 可微性与偏导数
可微性与全微分
偏导数
记作
f y ( x0 , y0 ), 或 z y ( x0 , y0 ),
f y
( x0 , y0 )
z , y
.
( x0 , y0 )
注1 这里 , 是专用于偏导数的符号,与一元 x y
d 函数的导数符号 相仿,但又有区别. dx
数学分析 第十七章 多元函数微分学
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“ 连续是可微的一个必要条件．” 此百度文库, 由
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) A lim ， x 0 x f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) B lim , y 0 y
又可得到可微的另一必要条件：
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(2)
§1 可微性与偏导数
可微性与全微分
偏导数
可微性条件
可微性的几何意义及应用
由 (1), (2) 可见, 当 | x |, | y | 充分小时, 全微分 dz 可作为全增量 z 的近似值, 于是有近似公式:
f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) A( x x0 ) B( y y0 ). (3)
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(2)
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数学分析 第十七章 多元函数微分学
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§1 可微性与偏导数
可微性与全微分
偏导数
可微性条件
可微性的几何意义及应用
例1 考察 f ( x, y ) x y 在任一点 ( x0 , y0 ) 的可微性. 解 f 在点 ( x0 , y0 ) 处的全增量为
f ( x0 , y0 ) ( x0 x ) ( y0 y ) x0 y0 y0 x x0 y x y .
某邻域内有定义. 则当极限 xz f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) (7) lim lim x 0 x x 0 x 存在时, 称此极限为 f 在点 ( x0 , y0 ) 关于x 的偏导
数, 记作
f f x ( x0 , y0 ), 或 z x ( x0 , y0 ), x
可微性条件
可微性的几何意义及应用
例2 求函数 f ( x, y ) x 3 2 x 2 y y 3 在点 (1,3) 处关 于 x 和关于 y 的偏导数. 解 先求 x 的偏导数. 令 y = 3, 得 f ( x ,3) x 3 6 x 2 27, 求它在 x = 1 的导数, 则得 d f ( x ,3) f x (1,3) ( 3 x 2 12 x ) dx x 1
§1 可微性与偏导数
可微性与全微分
偏导数
可微性条件
可微性的几何意义及应用
可微性与全微分
定义1
设函数 z f ( x, y ) 在某邻域 U ( P0 ) 内有定义. 对于P ( x , y ) ( x0 x , y0 y ) U ( P0 ), 若 f 在 P0 的全增量 z 可表示为 z f ( x0 x , y0 y ) f ( x0 , y0 ) A x B y o ( ), (1)
数学分析 第十七章 多元函数微分学
§1 可微性与偏导数
本节首先讨论二 元函数的可微性, 这是 多元函数微分学最基本 的概念. 然后给出对单 个自变量的变化率, 即 偏导数. 偏导数无论在 理论上或在应用上都起 着关键性的作用.
一、可微性与全微分 二、偏导数
三、可微性条件
四、可微性的几何意义 及应用
*点击以上标题可直接前往对应内容
u z 2 z e cos( x y e ). z
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§1 可微性与偏导数
可微性与全微分
偏导数
可微性条件
可微性的几何意义及应用
可微性条件
由可微定义易知: 若 f 在点 P0 ( x0 , y0 ) 可微, 则 f 在
P0 必连续 . 这表明:
由于
| x y |


| x | | y |


0 ( 0),
因此 xy o( ). 从而 f 在 ( x0 , y0 ) 可微, 且
d f y0 x x0 y .
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§1 可微性与偏导数
可微性与全微分
其中A, B是仅与点 P0 有关的常数, x y , 则称 f 在 P0 可微.并称(1)式中关于x , y 的线性表
2 2
达式 A x B y为 f 在 P0 的全微分, 记作 dz |P0 d f ( x0 , y0 ) A x B y .
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§1 可微性与偏导数
可微性与全微分
偏导数
可微性条件
可微性的几何意义及应用
容易看出, (5) 式右边的极限正是关于 x 的一元函数
f ( x, y0 ) 在 x x0 处的导数.
类似地, 在 (4) 式中令 x 0 ( y 0), 又可得到 yz f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) B lim lim , (6) y 0 y y 0 y 它是关于 y 的一元函数 f ( x0 , y ) 在 y y0 处的导数. 二元函数当固定其中一个自变量时, 它对另一个自 变量的导数称为该函数的偏导数, 一般定义如下:
xz f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) A lim lim x 0 x x 0 x
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(5)
§1 可微性与偏导数
可微性与全微分
偏导数
可微性条件
可微性的几何意义及应用
定义2
设函数 z f ( x, y ), ( x, y ) D, 且 f ( x, y0 ) 在x0 的
曲面相交得一曲线： C : y y0 , z f ( x , y ).
z
z f ( x, y )
C
P
0
O
x
y0
y

图 17-1
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§1 可微性与偏导数
可微性与全微分
偏导数
可微性条件
可微性的几何意义及应用
偏导数 f x ( x0 , y0 ) 的几何意义为: 在平面 y y0 上, 曲线 C 在点 P0 处的切线与 x 轴 正向所成倾角 的正切， 即 f x ( x0 , y0 ) tan . 可同样讨论偏导数 f y ( x0 , y0 ) 的几何意义. 由偏导数的定义还知道, 多元函数 f 对某一个自变
于 x 的偏增量为 xz x z A x x 或 A . x 于是 xz f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) A lim lim . (5) x 0 x x 0 x
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§1 可微性与偏导数
可微性与全微分
偏导数
可微性条件
可微性的几何意义及应用
偏导数的几何意义: z f ( x , y ) 的几何图像通常是 三维空间中的曲面, 设 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 为此曲面上一 点, 其中 z0 f ( x0 , y0 ) . 过点 P0 作平面 y y0 , 它与
偏导数
可微性条件
可微性的几何意义及应用
偏导数
由一元函数微分学知道: 若 f ( x ) 在 x0 可微, 则 f ( x0 x ) f ( x0 ) A x o ( x ), 其中 A f ( x0 ).
现在来讨论: 当二元函数 f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 可微 时, (1) 式中的常数 A, B 应取怎样的值？ 为此在 (4) 式中先令 y 0 ( x 0), 这时得到 f 关
f ( x, y) , f y ( x, y) 或 y 也可简单地写作 f x , z x , 或 f , z x x f z f y , z y , 或 y , y .
f ( x, y) f x ( x, y) 或 x
§1 可微性与偏导数
可微性与全微分
偏导数
可微性条件
可微性的几何意义及应用
注2 在上述定义中, f 在点 ( x0 , y0 ) 存在对 x (或 y)
的偏导数, 此时 f 至少在
0
( x, y) y y , | x x | 或 ( x, y) x x , | y y |
§1 可微性与偏导数
可微性与全微分
偏导数
可微性条件
可微性的几何意义及应用
通常也可先分别求出关于 x 和 y 的偏导函数:
f x ( x, y ) 3 x 2 4 x y,
f y ( x, y) 2 x 2 3 y 2 .
然后以 (x, y) = (1, 3) 代入, 也能得到同样结果.
y z x ( x 0) 的偏导数. 例3 求函数 y z x 解把 依次看成幂函数和指数函数, 分别求得
z y x y 1 , x
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z x y ln x . y
§1 可微性与偏导数
可微性与全微分
偏导数
可微性条件
可微性的几何意义及应用