讨论二元函数连续性_偏导存在性及可微性间的关系.
二元函数连续可微偏导之间的关系解读
一、引言对于一元函数而言,函数y=f(x在点x0处连续、导数存在、可微这三个概念的关系是很清楚的,即可微一定连续,但连续不一定可微,可微和导数存在是等价的。
对多元函数而言,由于偏导数的出现,使得他们之间的关系要复杂的多。
下面以二元函数为例,探讨其在点(x0,y0处连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系。
二、二元函数连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系1.可微与连续的关系假设函数f(x,y在点(x0,y0处可微,那么在该点连续,但反之不成立(同一元函数。
证明:因为f(x,y在点(x0,y0处可微,因此有0≤f(x0+△x,y0+△y-f(x0,y0≤A△x+B△y+O(O→(△x→0,△y→0,所以lim(△x,△y→(0,0f(x0+△x,y0+△y=f(x0,y0,故f(x,y在点(x0,y0处连续。
反之不成立。
例1.f(x,y=x2yx2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=$在点(0,0处连续,但在该点不可微。
2.偏导数存在与可微的关系由定理17.1[1](可微的必要条件,函数f(x,y在点(x0,y0处可微,那么f(x,y在点(x0,y0的偏导数一定存在;但反之不成立,如例1中函数f(x,y在点(0,0处偏导数存在,但在此点不可微。
3.偏导数连续与可微的关系由定理17.2[2](可微的充分条件知,函数f(x,y在点(x0,y0处偏导数连续,那么f(x,y 在点(x0,y0处可微;但反之不成立,例2.f(x,y=(x2+y2sin1x2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=%’’’&’’(0在点(0,0处可微,但偏导数在点(0,0不连续。
4.连续与偏导数存在之间的关系二元函数连续与偏导数存在之间没有必然的联系。
例3f(x,y=x2+y2(圆锥在点(0,0连续但在该点不存在偏导数。
更值得注意的是,即使函数在某点存在对所有自变量的偏导数,也不能保证函数在该点连续。
例4.f(x,yxyx2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=$在点(0,0不连续,但f y(0,0=lim△y→∞0-0=0,f y(0,0=lim△y→∞0-0△y=0。
二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系
摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (1)1二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 (1)2二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系 (2)二元函数连续与偏导数存在之间的关系 (2)二元函数连续与可微之间的关系 (3)二元函数可微与偏导数存在之间的关系 (3)二元函数可微与偏导数连续之间的关系 (4)二元函数连续、偏导数、可微的关系图 (6)参考文献 (7)致谢 (8)二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系摘要 一元函数可微与可导等价，可导必连续.但二元函数并非如此，以下文章给出了二元函数连续、偏导数、可微之间的关系，并给出了简单的证明，且用实例说明了它们之间的无关性和在一定条件下所具有的共性.关键词 二元函数 连续 偏导数 可微The Relationship among Continuation, Partial Derivativesand Differentiability in Binary FunctionAbstract Unary function differentiable with derivative equivalent, will be continuously differentiable. But the dual function is not the case, the following article gives a continuous function of two variables, partial derivatives, can be said the relationship between them, and gives a simple show, and illustrated with examples related between them and under certain conditions have in common..Key words binary function continuation partial derivatives differentiability引言 二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识.本文详细讨论这三者之间的关系.1 二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义定义1 设f 为定义在点集2D R ⊂上的二元函数，0D P ∈（0P 或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点），对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要0,)(D P U P δ⋂∈，就有0)||()(f P f P ε<-，则称f 关于集合D 在点0P 连续.定义2 设函数(,),(,)z f x y x y D =∈，若00,)(y D x ∈且0,)(y f x 在0x 的某一邻域内有定义，则当极限00000000(,))(,)(,limlimx x x f x y f x y f x x y x x∆→∆→+-=∆∆∆∆存在时，则称这个极限为函数f 在点00,)(y x 关于x 的偏导数，记作0(,)|x y fx∂∂.定义3 设函数(,)z f x y =在点000,)(y P x 某邻域0()U P 内有定义，对于0()U P 中的点00,)(,)(y P x y x x y ++=∆∆，若函数f 在点0P 处的全增量可表示为0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+，其中A 、B 是仅与点0P 有关的常数，()ορρ=是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f 在点0P 处可微.2 二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系二元函数连续与偏导数存在之间的关系例[1]122,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x yf x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在(0,0)偏导数存在但不连续. 证明 因为 00(,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x→→--===， 同理可知 (0,0)0y f =. 所以 (,)f x y 在(0,0)偏导数存在. 因为220,0limx y xyx y →→+ 极限不存在，所以 (,)f x y 在(0,0)不连续.例2[2](,)f x y =在(0,0)点连续，但不存在偏导数. 证明 因为0,00,lim (,)lim0(0,0)x y x y f x y f →→→→===，所以(,)f x y =在(0,0)点连续，因为00(,0)(0,0)(0,0)lim x x x f x f f x →→-== ,该极限不存在，同理 (0,0)y f 也不存在.所以(,)f x y =在点(0,0)连续，但不存在偏导数.此二例说明: 二元函数连续与偏导数存在不等价，偏导数存在不一定连续，连续不一定偏导数存在.这与一元函数不同.一元函数中，可导一定连续，连续不一定可导. 二元函数连续与可微之间的关系定理1[3] 若(,)z f x y =在点(,)x y 可微，则(,)z f x y =在点(,)x y 一定连续. 证明 (,)z f x y =在点(,)x y 可微，0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+ (1)所以 当0,0x y ∆→∆→时，有0z ∆→，即 (,)z f x y =在该点连续.例3[4]证明(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y f x y x y ≠==⎩在(0,0)点连续，但在(0,0)点不可微.证明 令cos ,sin x r y r θθ==，则(,)00x y r →⇔→.因为2cos sin |||cos sin |0(0)r r r r r θθθθ==≤→→,所以(,)f x y 在(0,0)点连续.按偏导数定义00(,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx ∆→∆→∆-===∆∆, 同理 (0,0)0y f = .若(,)f x y 在点(0,0)可微，则(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y z dz f x y f f x f y ∆-=+∆+∆--∆-∆=应是ρ=较高阶的无穷小量. 因为220limlimz dzx yx y ρρρ→→∆-∆∆=∆+∆ 该极限不存在,所以(,)f x y 在点(0,0)不可微.此例说明: 二元函数在某点连续，不一定可微，但可微一定连续.这与一元函数有相同的结论.二元函数可微与偏导数存在之间的关系定理2[5] 若二元函数f 在其定义域内一点00,)(y x 处可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且(1)式中的0000,),,)((x y A f y B f y x x ==.证明 因为 (,)z f x y =在点(,)x y 可微，则0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+.若令上式中0y ∆= ,则0000(,)(,)(||)z f x x y f x y A x x ο=+∆∆-=∆+∆, 所以 000000(,)(,)(||)lim lim x x A xf x x y f x y x A x ο∆→∆→=∆+∆-∆+=∆. 即A zx=∂∂.类似可证B z y =∂∂. 例4[6]设2222222,0(,)0,0x y x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩,则(,)f x y 在点(0,0)偏导数存在，但在该点不可微.解 事实上（1）0(,0)(0,0)(0,0)lim0x x f x f f x →-==，(0,)(0,0)(0,0)lim0y y f y f f y→-==,故 (,)f x y 在点(0,0)偏导数存在. （2）因为200,limlimx y f dfρρ→∆→∆→∆-=，此时若令y k x ∆=∆，则230,0,lim limx y x y ∆→∆→∆→∆→=此极限显然不存在，所以0limf dfρρ→∆-不存在，所以 (,)f x y 在点(0,0)不可微.此例说明: 二元函数中，偏导数存在不一定可微；可微则偏导数存在.这与一元函数中，可微与可导等价有区别. 函数可微与偏导数连续之间的关系定理3[7] 若二元函数(,)z f x y =的偏导数在点00(,)x y 的某邻域内存在，且x f 与yf 在点00(,)x y 处连续，则函数f 在点00(,)x y 处可微.证明 我们把全增量0000,)(,)(y f x y z f x x y ++-∆=∆∆00000000[,),)][,)(,)](((y y y f x y f x x y f x y f x y =++-+++-∆∆∆∆在第一个括号里，它是函数0,)(y f x y +∆关于x 的偏增量;在第二个括号里，则是函数0(,)f x y 关于y 的偏增量.对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理，得 010002,),(()x y y y z f x x y x f x y y θθ++++∆=∆∆∆∆∆ 12,10θθ<< （2） 由于x f 与y f 在点00(,)x y 处连续，因此有 01000,)(,)(x x y x y f x x y f θα++=+∆∆， （3）00200,(,)()y y y x y f x y f θβ++∆= ,（4）其中 当0,0x y ∆→∆→时，有0,0αβ→→. 将（3） ，（4）代入（2）式，则得0000(,)(,)x y x y x y z f x f y x y αβ=+∆∆∆+∆+∆. 所以 函数f 在点00(,)x y 处可微.例5[8]22()sin (,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩在(0,0)处可微，但(,)x f x y 与(,)y f x y 均在(0,0)处不连续.解因为220,0lim ()sin0(0,0)x y x y f →→+==,所以 (,)f x y 在(0,0)处连续.00(,0)(0,0)(0,0)lim 0x x x f x f f x→→-===,同理 (0,0)0y f =.当220x y +≠时，0,0lim 2sinx x y f x →→=极限不存在,故(,)x f x y 在点(0,0)不连续. 同理可证(,)y f x y 在(0,0)处不连续.lim0f dfρρρ→→∆-==,所以(,)f x y 在(0,0)处可微.此例说明 二元函数偏导数连续并不是可微的必要条件.由此可知定理3是可微的充分条件.由此引出定理4，降低函数可微的条件.定理4[9] 若(,)f x y 在0()U P 内(,)x f x y 存在，且(,)x f x y 在00(,)o P x y 连续，(,)y f x y 在0P 存在，证明：f 在0P 可微.证明 0000(,)(,)f f x x y y f x y ∆=+∆+∆-00000000[(,)(,)][(,)(,)]f x x y y f x y y f x y y f x y =+∆+∆-+∆++∆- 由已知 (,)x f x y 存在，且在0(,)o x y 连续,有0000010(,)(,)(,)x f x x y y f x y y f x x y y xθ+∆+∆-+∆=+∆+∆∆11(,)(0)xf x y x x αα=∆+∆→,因为 0000000(,)(,)lim(,)y y f x y y f x y f x y y∆→+∆-=∆，所以 00000022(,)(,)(,)(0)y f x y y f x y f x y y y αα+∆-=∆+∆→ ， 又因 1212||||||0x yααααρ∆+∆≤+→，所以 f 在点0P 可微. 注 此定理中(,)x f x y 与(,)y f x y 互换，结论仍然成立. 二元函数连续、偏导数、可微的关系如图二元函数连续二元函数偏导数存在二元函数可微二元函数偏导数连续参考文献[1]常庚哲，史济怀，数学分析[M].北京：高等教育出版社，：97[2]刘文灿，刘夜英，数学分析[M].西安：陕西人民出版社，：116[3]朱正佑，数学分析[M].上海：上海大学出版社，：188[4]黄玉民，李成章，数学分析[M].北京：科学出版社，：61-62[5]华东师范大学数学系. 数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，110[6]周良金，王爱国，函数连续及可微的关系[J].高等函授学报，19（5）：35[7]陈纪修，於崇华，金路，数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，：142-143[8]刘新波，数学分析选讲[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，：151[9]《大学数学名师导学丛书》编写组，数学分析名师导学[M].北京：中国水利水电出版社，2004：147-148致谢感谢老师对本论文从选题、构思、资料收集到最后定稿的各个环节给予的指引和教导，使我对分段函数的分析性质有了更深刻的认识，并最终得以完成毕业论文，对此我表示衷心的感谢，老师严谨的治学态度、丰富渊博的知识、敏锐的学术思维、精益求精的工作态度、积极进取的科研精神以及诲人不倦的师者风范是我毕生的学习楷模.通过这一阶段的努力，我的毕业论文已接近尾声，作为一个本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有老师的亲切关怀和悉心指导，完成本次毕业论文将变得十分困难.老师平日工作繁多，但在这篇论文的写作过程中，老师不辞辛劳，多次就论文中许多核心的问题做深入细致的探讨并给我提出切实可行的指导性建议，才最终得以完成本次毕业论文.老师的这种一丝不苟的负责精神，使我深受感动.在此，请允许我向尊敬的老师表示真挚的谢意.最后，还要感谢我的辅导员在这四年来对我的帮助与鼓励，以及院系的所有领导对我的栽培与支持.并向在百忙中抽出时间对本论文进行评审，并提出宝贵意见的各位老师表示衷心的感谢，致以最崇高的敬意.。
多元函数的连续性,偏导数,方向导数及可微性之间的关系
多元函数的连续性,偏导数,方向导数及可微性之间的关
系
多元函数这些性质之间的关系是：可微分是最强的性质，即可微必然
可以推出偏导数存在，必然可以推出连续。
反之偏导数存在与连续之间是
不能相互推出的（没有直接关系），即连续多元函数偏导数可以不存在；
偏导数都存在多元函数也可以不连续。
偏导数连续强于函数可微分，是可
微分的充分不必要条件，相关例子可以在数学分析书籍中找到。
其中可微分的定义是：
以二元函数为例（n元类似）
扩展：可微分可以直观地理解为用线性函数逼近函数时的情况（一元
函数用一次函数即切线替代函数增量，二元函数可以看做是用平面来代替，更多元可以看做是超平面来的代替函数增量，当点P距离定点P0的距离
p趋于零时，函数增量与线性函数增量的差是自变量与定点差的高阶无穷
小（函数增量差距缩小的速度快与自变量P靠近P0的速度））。
二元函数的连续偏导可微
二元函数的连续性、偏导及可微之间的联系二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的定义 1.二元函数的连续性定义 设f 为定义在D 上的二元函数，0P D ∈(它或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点) ,对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要()0;P P D δ∈⋂，就有()()0f P f P ε-<, 则称f 在P 点连续2.二元函数的偏导数定义 设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆ 时，相应地函数有增量x z ∆=0000(,)(,)f x x y f x y +∆-如果 00000(,)(,)limx f x x y f x y x∆→+∆-∆存在，则称此极限为函数z (,)f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数，记作00(,)x f x y 或()00,x y fx ∂∂对y 的偏导数同理 3.二元函数的可微性定义 设函数(,)z f x y =在点()000,P x y 的某邻域()0U P 内有定义，对于()0U P 中的点()00,(,)P x y f x x y y =+∆+∆，若函数f 在0P 处的全增量z ∆可表示为：()()0000(,),z f x x y y f x y A x B y o ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+， (1)其中AB 是仅与点P 0有关的常数，ρ=，()o ρ是较高阶的无穷小量，则称函数f 在点P 0可微.并称(1)中A x B y ∆+∆为f 在点P 0的全微分，记作000(,)P dz df x y A x B y ==∆+∆说明：1)A 、B 是与x ∆y ∆无关的常数，但与0P 可能有关；2) dz 是z ∆的线性主部0lim0z dzρρ→∆-=二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的联系多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也有些差异，这些差异主要是由多元函数的“多元”而产生的.对于多元函数，我们着重讨论二元函数，在掌握了二元函数的有关理论和研究方法之后，在将它推广到一般的多元函数中去.本文将通过具体实例来讨论二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的联系. 一、二元函数连续性与偏导存在性间的关系偏导存在不一定连续，反之连续不一定有偏导存在 1)函数(,)f x y 在点000(,)p x y 连续，但偏导不一定存在. 例1.证明函数(,)f xy =(0,0)连续偏导数不存在.证明：∵(,)(0,0)(,)lim (,)lim0(0,0)x y x y f x y f →→===,故函数(,)f x y =(0,0)连续.由偏导数定义：001,(0,0)(0,0)(0,0)limlim 1,x x x x f x f f x x ∆→∆→∆>⎧+∆-===⎨-∆<∆⎩故(0,0)x f 不存在.同理可证(0,0)y f 也不存在.2)函数(,)f x y 在点000(,)P x y 偏导存在，但不一定连续.例 2.证明函数22,0(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+==⎨≠⎩在点(0,0)处(0,0)x f ，(0,0)y f 存在，但不连续证明 : 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x→∆→+∆-==∆=∆ 同理可求得(0,0)0y f =∵22(,)(0,0)(,)(0,0)lim (,)lim ()1(0,0)0x y x y f x y x y f →→=+=≠=故函数22,0(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+==⎨≠⎩在点(0,0)处不连续.综上可见，二元函数的连续性与偏导存在性间不存在必然的联系. 二、二元函数的可微性与偏导间的关系1.可微性与偏导存在性1) 可微则偏导存在(可微的必要条件1)若二元函数(,)f x y 在其定义域内一点000(,)P x y 处可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导都存在，且000000(,)(,)(,)x y df x y f x y dx f x y dy =+注1 定理1的逆命题不成立，2)偏导存在，不一定可微.例3证明函数22220(,)0,0x y f x y x y +≠=+=⎩在原点两个偏导存在，但不可微.证明 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx ∆→∆→+∆--===∆∆同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性. 用反证法.若函数f 在原点可微，则[](0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y f df f x y f f dx f dy ⎡⎤∆-=+∆+∆--+=⎣⎦应是较ρ=2200lim lim f df x y x y ρρρ→→∆-∆∆=∆+∆ 当动点(,)x y 沿直线y mx =趋于(0,0)时，则(,)(0,0)2222(,)(0,0)lim lim 11x y y mxx y xy m mx y m m →=→==+++ 这一结果说明动点沿不同斜率m 的直线趋于原点时，对应的极限值也不同.因此所讨论的极限不存在.故函数f 在原点不可微.例4. 22220(,)0,x y f x y x y +≠=+=⎪⎩在(0,0)处两个偏导存在，但不可微.证明 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→+∆--===∆∆ 同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性.[](0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y f df f x y f f dx f dy ⎡⎤∆-=+∆+∆--+=⎣⎦为此考察极限limf dfρρρ→→∆-=当动点(,)x y 沿直线y =趋于时，则(,)(0,0)(,)limlim x y y mxx y →=→==0≠因此f 在原点不可微例5. 证明函数2222222,0(,)0,0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在(0，0)两个偏导存在，但不可微.证明 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→+∆--===∆∆ 同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性.(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+= 222(,)(0,0)x yf f x y f x y ∆∆∆=∆∆-=∆+∆从而()222230,(0,0)222limlimlim0()()x y x y f dfx y x y x y x y ρρρρ→→∆∆→∆∆∆-∆∆∆+∆==≠=∆+∆取因此f 在原点不可微注:本题还可以说明连续不一定可微例6.证明函数2222322222,0(,)()0,0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=⎨+⎪+=⎩在(0，0)连续，且两个偏导数都存在但不可微.证明(1)∵223222()x y x y ≤+∴0,4,εδεδε∀>∃=<<∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2)又00(,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx →→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===(3) (0,0)(0,0)0,x y df f x f y =∆+∆=(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=∆∆-=∆∆从而222220limlim ()()f dfx y x y x y ρρρ→→∆-∆∆=∆=∆∆+∆取不存在 故 f 在原点不可微注:本题还可以说明连续不一定可微2. 偏导连续与可微1)偏导连续，一定可微.(可微的充分条件)若二元函数(,)z f x y =的偏导在点000(,)P x y 的某邻域内存在，且x f 与y f 在点000(,)P x y 处连续，则函数(,)f x y 在点000(,)P x y 可微.注2 偏导连续是函数可微的充分而非必要条件.2)可微，偏导不一定连续例7.证明函数()222222221sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在(0，0)处不连续.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有222222121(,)2sincos x x f x y x x y x y x y =-+++222222121(,)2sin cos y y f x y y x y x y x y =-+++ (1)当y=x 时，极限2200111lim (,)lim(2sin cos )22x x x f x x x x x x→→=-不存在，则(,)x f x y 在(0，0)点不连续.同理可证(,)y f x y 在(0，0)点不连续.(2)∵ 200(,0)(0,0)1(0,0)limlim sin 0x x x f x f f x x x→→-===200(0,)(0,0)1(0,0)lim lim sin 0y y y f y f f y y y→→-===则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=2222222211(,)(0,0)()sinsin ((,):0)f f x y f x y x y x y x y ρρ∆=-=+=∀+≠+ 从而2221sin1limlimlim sin0f dfρρρρρρρρρ→→→∆-===即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.例8. 证明函数()2222220(,)0,0x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在(0，0)处不连续.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有(,)2x f x y x =(,)2y f x y y = (1)当y=x时，极限00lim (,)lim(2x x x f x x x →→=不存在，则(,)x f x y 在(0，0)点间断.同理可证(,)y f x y 在(0，0)点间断.(2)∵00(,0)(0,0)(0,0)limlim 0x x x f x f f x x→→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y→→-===则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=-=从而201cos1limlimlim cos0f dfρρρρρρρρρ→→→∆-===即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.例9.证明函数2222221sin ,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在(0，0)处不连续.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有22222222121(,)sin cos ()x x y f x y y x y x y x y =-+++22222222121(,)sin cos ()y xy f x y x x y x y x y =-+++(1)当y=x 时，极限2200111lim (,)lim(sin cos )222x x x f x x x x x x→→=-不存在，则(,)x f x y 在(0，0)点不连续.同理可证(,)y f x y 在(0，0)点不连续.(2)∵ 00(,0)(0,0)(0,0)limlim00x x x f x f f x→→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=221(,)(0,0)sinf f x y f x y x y ∆=∆∆-=∆∆∆+∆从而()22,1limlimx y f dfx y ρρ→∆∆→∆-=∆+∆=0即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.三、二元函数的连续性与可微性间的关系 1)可微，一定连续(可微的必要条件2)二元函数(,)f x y 在000(,)P x y 可微,则必然连续，反之不然.2)连续，不一定可微例10.证明函数3222222,0(,)0,0x x y f x y x yx y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在(0，0)连续，且偏导存在但不可微. 证明:(1)∵322222,x x x x x y x y=⋅≤++ ∴0,,,x y x εδεδδε∀>∃=<<<当时， ∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2) 00(,0)(0,0)(0,0)limlim 1x x x f x f xf xx →→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===(3) (0,0)(0,0),x y df f x f y x =∆+∆=∆(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=∆∆-=∆∆从而20limf dfρρρ→→∆-=不存在即函数(,)f x y 在点(0，0)不可微. 注：本题也可以说明偏导存在但不一定可微.例11.证明函数222222sin(),0(,)0,0x y xy x y x y f x y x y +⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0，0)连续，且偏导存在但不可微. 证明:(1)∵22sin(),222x y x y x y x y xy xy x y xy ++++≤⋅=≤+∴0,,,2x yx y εδεδδε+∀>∃=<<<当时， ∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2) 00(,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx →→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===(3) (0,0)(0,0)0,x y df f x f y =∆+∆=(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=∆∆-=∆∆从而0limf dfρρρ→→∆-=取y k x ∆=∆则23320022221sin (1)limlim (1)(1)x f dfk kx k k xk k ρρ→∆→∆-++=⋅=++ 不存在 故函数(,)f x y 在点(0，0)不可微.注：本题也可以说明偏导存在但不一定可微. 例12 .证明函数(,)f x y xy =在点(0，0)连续，但它在点(0，0)不可微.证明:(1)∵00lim (,)lim 0(0,0)x x y y f x y xy f →→→→===故函数(,)f x y xy =在点(0,0)连续.例13.证明函数222222,0(,)0,0xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+⎪=⎨⎪⎪+=⎩在(0，0)连续 ，但不可微.证明:(1)∵2222222222x y xyx y x y x y++≤=++ ∴00lim (,)0(0,0)x y f x y f →→== 故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2)不可微见例4综上所述二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系如图所示：偏导连续可微连续 偏导存在补充1.确定α的值，使得函数()222222221sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y α⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微.2.设函数2222(,)sin 0(,)0,0g x y x y f x y x y ⎧+≠⎪=⎨⎪+=⎩， 证明：(1)若(0,0)0g =,g 在点(0，0)处可微,且(0,0)0dg =，则 f 在点(0，0)处可微,且(0,0)0df =.(2)若g 在点(0，0)处可导,且f 在点(0，0)处可微,则(0,0)0df =.3.确定正整数α的值，使得函数()22220(,)0,0x y x y f x y x y α⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处(1)连续，(2)偏导存在，(3)存在一阶连续偏导.4.设函数222222,0()(,)00,0px x y x y f x y p x y ⎧+≠⎪+=>⎨⎪+=⎩,试讨论它在(0,0)点处的连续性.。
二元函数连续可微偏导之间的关系解读
1.如果f在点(x0,y0处不连续或偏导数不存在,则f在点(x0,y0处不可微。
2.如果f在点(x0,y0处连续,存在f x(x0,y0、fy(x0,y0,则f在点(x0,y0处可微的充分必要条件是满足下列等价的任一式:
(1△z=f(x0+△x,y0+△y-f(x0,y0
=f x(x0,y0△x+f y(x0,y0△y+o((△x2+(△y2
4.连续与偏导数存在之间的关系
二元函数连续与偏导数存在之间没有必然的联系。
例3f(x,y=x2+y2
(圆锥在点(0,0连续但在该点不存在偏导数。更值得注意的是,即使函数在某点存在对所有自变量的偏导数,也不能保证函数在该点连续。
例4.f(x,y
xy
x2+y2
,x2+y2≠0
0,x2+y2=
$
在点(0,0不连续,但
三、巧妙设计变式训练,促进灵活迁移
所谓“变式”,是指在教学中变化引用的材料内容和形式,从不同角度、用不同方法进行教学,使思维的“触须”伸向不同方位和不向领域。因此,通过变式训练可以实现知识的有效迁移。教师要充分运用“变式”教学,通过“一题多变”、“一图多问”、“多题重组”等形式从多个方面构造问
题,使学生养成多角度、多方位处理问题的习惯。教师提出的问题越多,学生思维越发散,理解越深刻,并通过对所提问题的解答而达到灵活迁移的目的。例如,函数与方程、不等式的结合向来是中考或高考的热点,教师可以通过设计变式训练把三者结合的恰到好处:
(2△z=f(x0+△x,y0+△y-f(x0,y0
=f x(x0,y0△x+f y(x0,y0△y+ε((△x2+(△y2
多元函数的连续性偏导数方向导数及可微性之间的关系
多元函数的连续性偏导数方向导数及可微性之间的关系首先，我们来回顾一下这些概念的定义和性质：1.多元函数的连续性：设有一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，若对于任意给定的点(x1,x2, ..., xn)，当自变量的每一个分量变化时，函数值都趋于其中一个确定的数，则称此函数在点(x1, x2, ..., xn)连续。
多元函数在定义域内的每一个点处都连续时，称此函数在该定义域上连续。
2.多元函数的偏导数：设有一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，对于其中的其中一个自变量xi，在其他自变量固定的情况下，当xi取得一个微小的变化Δxi时，相应的函数值f(x1, x2, ..., xn)也会发生变化，偏导数是指函数值的这种变化相对于Δxi的比率的极限。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，xi的偏导数记作∂f/∂xi。
3.多元函数的方向导数：设有一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，对于函数上的其中一点(x1, x2, ..., xn)和以该点为起点的任意方向向量v=(v1, v2, ..., vn)，方向的导数是指函数在该点沿着方向v的变化率的极限，记作D_vf(x1,x2, ..., xn)。
4.多元函数的可微性：设有一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，若对于给定点(x1,x2, ..., xn)附近的一个小邻域内的任一点(x1+Δx1, x2+Δx2, ...,xn+Δxn)，都有一个线性函数L(x1+Δx1, x2+Δx2, ..., xn+Δxn)，使得当Δx1, Δx2, ..., Δxn趋于零时，有f(x1+Δx1, x2+Δx2, ...,xn+Δxn) = f(x1, x2, ..., xn) + L(x1+Δx1, x2+Δx2, ..., xn+Δxn) + o(Δxi)，则称此函数在点(x1, x2, ..., xn)处可微。
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目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (1)1二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 (1)2二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系 (2)2.1二元函数连续与偏导数存在之间的关系 (2)2.2二元函数连续与可微之间的关系 (3)2.3二元函数可微与偏导数存在之间的关系 (3)2.4二元函数可微与偏导数连续之间的关系 (4)二元函数连续、偏导数、可微的关系图 (6)参考文献 (7)致谢 (8)本科生毕业论文2二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系摘要 一元函数可微与可导等价，可导必连续.但二元函数并非如此，以下文章给出了二元函数连续、偏导数、可微之间的关系，并给出了简单的证明，且用实例说明了它们之间的无关性和在一定条件下所具有的共性.关键词 二元函数 连续 偏导数 可微The Relationship among Continuation, Partial Derivatives andDifferentiability in Binary FunctionAbstract Unary function differentiable with derivative equivalent, will be continuously differentiable. But the dual function is not the case, the following article gives a continuous function of two variables, partial derivatives, can be said the relationship between them, and gives a simple show, and illustrated with examples related between them and under certain conditions have in common..Key words binary function continuation partial derivatives differentiability引言 二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识.本文详细讨论这三者之间的关系.1 二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义定义1 设为定义在点集上的二元函数，（或者是的聚点，f 2D R ⊂0D P ∈0P D 或者是的孤立点），对于任给的正数，总存在相应的正数，只要D εδ，就有，则称关于集合在点连续.0,)(D P U P δ⋂∈0)||()(f P f P ε<-f D 0P 定义2 设函数，若且在的某一邻域(,),(,)z f x y x y D =∈00,)(y D x ∈0,)(y f x 0x 内有定义，则当极限存在时，则称这个00000000(,))(,)(,limlim x x x f x y f x y f x x y x x∆→∆→+-=∆∆∆∆本科生毕业论文3极限为函数在点关于的偏导数，记作.f 00,)(y x x 0(,)|x y fx∂∂定义3 设函数在点某邻域内有定义，对于中的(,)z f x y =000,)(y P x 0()U P 0()U P 点，若函数在点处的全增量可表示为00,)(,)(y P x y x x y ++=∆∆f 0P ，其中、是仅与点有关0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+A B0P 的常数，是较高阶的无穷小量，则称函数在点处可微.()ορρ=ρf 0P 2 二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系2.1 二元函数连续与偏导数存在之间的关系例 在偏导数存在但不连续.[1]122,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩(0,0)证明 因为 ，00(,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x→→--===同理可知 . 所以 在偏导数存在.(0,0)0y f =(,)f x y (0,0)因为 极限不存在，所以 在不连续.220,0limx y xyx y →→+(,)f x y (0,0)例在点连续，但不存在偏导数.2[2](,)f x y =(0,0)证明 因为 ，0,00,lim (,)lim0(0,0)x y x y f x y f →→→→===所以 在点连续，(,)f x y =(0,0)因为 ,该极限不存在，00(,0)(0,0)(0,0)lim x x x f x f f x →→-==同理 也不存在.(0,0)y f 所以 在点连续，但不存在偏导数.(,)f x y =(0,0)此二例说明: 二元函数连续与偏导数存在不等价，偏导数存在不一定连续，连续不一定偏导数存在.这与一元函数不同.一元函数中，可导一定连续，连续不一定可导.2.2 二元函数连续与可微之间的关系本科生毕业论文4定理 若在点可微，则在点一定连续.1[3](,)z f x y =(,)x y (,)z f x y =(,)x y 证明 在点可微，(,)z f x y =(,)x y (1)0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+所以 当时，有，即 在该点连续.0,0x y ∆→∆→0z ∆→(,)z f x y =例 证明在点连续，3[4](,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y f x y x y ≠==⎩(0,0)但在点不可微.(0,0)证明 令，则.cos ,sin x r y r θθ==(,)00x y r →⇔→因为,2cos sin |||cos sin |0(0)r r r r r θθθθ==≤→→所以在点连续.(,)f x y (0,0)按偏导数定义,00(,0)(0,0)0(0,0)limlim 0x x x f x f f xx ∆→∆→∆-===∆∆同理 .(0,0)0y f =若在点可微，则(,)f x y(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y z dz f x y f f x f y ∆-=+∆+∆--∆-∆=应是较高阶的无穷小量.ρ=因为 该极限不存在,所以在点不可微.220limlimz dzx yx y ρρρ→→∆-∆∆=∆+∆(,)f x y (0,0)此例说明: 二元函数在某点连续，不一定可微，但可微一定连续.这与一元函数有相同的结论.2.3 二元函数可微与偏导数存在之间的关系定理 若二元函数在其定义域内一点处可微，则在该点关于每个2[5]f 00,)(y x f本科生毕业论文5自变量的偏导数都存在，且(1)式中的.0000,),,)((x y A f y B f y x x ==证明 因为 在点可微，则(,)z f x y =(,)x y .0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+若令上式中 ,则,0y ∆=0000(,)(,)(||)z f x x y f x y A x x ο=+∆∆-=∆+∆所以 .000000(,)(,)(||)limlim x x A xf x x y f x y x A x ο∆→∆→=∆+∆-∆+=∆即.类似可证.A zx=∂∂B z y =∂∂例 设,则在点偏导数存在，但在该4[6]2222222,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩(,)f x y (0,0)点不可微.解 事实上（1），(,0)(0,0)(0,0)lim0x x f x f f x→-==,(0,)(0,0)(0,0)lim0y y f y f f y→-==故 在点偏导数存在.(,)f x y (0,0)（2）因为 ，0,limlimx y f dfρρ→∆→∆→∆-=此时若令，则，y kx ∆=∆0,0,limlimx y x y ∆→∆→∆→∆→=此极限显然不存在，所以不存在，limf dfρρ→∆-所以 在点不可微.(,)f x y (0,0)此例说明: 二元函数中，偏导数存在不一定可微；可微则偏导数存在.这与一元函数中，可微与可导等价有区别.2.4 函数可微与偏导数连续之间的关系定理若二元函数的偏导数在点的某邻域内存在，且与3[7](,)z f x y =00(,)x y x f本科生毕业论文6在点处连续，则函数在点处可微.y f 00(,)x y f 00(,)x y 证明 我们把全增量0000,)(,)(y f x y z f x x y ++-∆=∆∆ 00000000[,),)][,)(,)](((y y y f x y f x x y f x y f x y =++-+++-∆∆∆∆在第一个括号里，它是函数关于的偏增量;在第二个括号里，则是函数0,)(y f x y +∆x 关于的偏增量.0(,)f x y y 对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理，得 （2）010002,),(()x y y y z f x x y x f x y y θθ++++∆=∆∆∆∆∆12,10θθ<<由于与在点处连续，x f y f 00(,)x y 因此有 ， （3）01000,)(,)(x x y x y f x x y f θα++=+∆∆ , （4）00200,(,)()y y y x y f x y f θβ++∆=其中 当时，有.0,0x y ∆→∆→0,0αβ→→将（3） ，（4）代入（2）式，则得.0000(,)(,)x y x y x y z f x f y x y αβ=+∆∆∆+∆+∆所以 函数在点处可微.f 00(,)x y 例在处可微，但与5[8]22()sin (,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩(0,0)(,)x f x y 均在处不连续.(,)y f x y (0,0) 解 因为,220,0lim ()sin0(0,0)x y x y f →→+==所以 在处连续.(,)f x y (0,0),00(,0)(0,0)(0,0)lim 0x x x f x f f x→→-===本科生毕业论文7同理 .(0,0)0y f =当时，极限不存在,220x y +≠0,0lim 2x x y f x →→=故在点不连续. 同理可证在处不连续.(,)x f x y (0,0)(,)y f x y (0,0),lim0f dfρρρ→→∆-==所以在处可微.(,)f x y (0,0)此例说明 二元函数偏导数连续并不是可微的必要条件.由此可知定理3是可微的充分条件.由此引出定理4，降低函数可微的条件.定理若在内存在，且在连续，4[9](,)f x y 0()U P (,)x f x y (,)x f x y 00(,)o P x y 在存在，证明：在可微.(,)y f x y 0P f 0P 证明 0000(,)(,)f f x x y y f x y ∆=+∆+∆- 00000000[(,)(,)][(,)(,)]f x x y y f x y y f x y y f x y =+∆+∆-+∆++∆-由已知 存在，且在连续,(,)x f x y 0(,)o x y 有0000010(,)(,)(,)x f x x y y f x y y f x x y y xθ+∆+∆-+∆=+∆+∆∆ ,11(,)(0)xf x y x x αα=∆+∆→因为 ，0000000(,)(,)lim(,)y y f x y y f x y f x y y∆→+∆-=∆所以 ，00000022(,)(,)(,)(0)y f x y y f x y f x y y y αα+∆-=∆+∆→又因 ，所以 在点可微.1212||||||0x yααααρ∆+∆≤+→f 0P 注 此定理中与互换，结论仍然成立.(,)x f x y (,)y f x y 二元函数连续、偏导数、可微的关系如图二元函数连续二元函数偏导数存在本科生毕业论文8二元函数可微二元函数偏导数连续参考文献[1]常庚哲，史济怀，数学分析[M].北京：高等教育出版社，2003.6：97[2]刘文灿，刘夜英，数学分析[M].西安：陕西人民出版社，2004.9：116[3]朱正佑，数学分析[M].上海：上海大学出版社，2001.7：188[4]黄玉民，李成章，数学分析[M].北京：科学出版社，1995.5：61-62[5]华东师范大学数学系. 数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，110[6]周良金，王爱国，函数连续及可微的关系[J].高等函授学报2005.10，19（5）：35[7]陈纪修，於崇华，金路，数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004.10：142-143[8]刘新波，数学分析选讲[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.3：151[9]《大学数学名师导学丛书》编写组，数学分析名师导学[M].北京：中国水利水电出版社，2004：147-148致谢感谢老师对本论文从选题、构思、资料收集到最后定稿的各个环节给予的指引和教导，使我对分段函数的分析性质有了更深刻的认识，并最终得以完成毕业论文，对此我表示衷心的感谢，老师严谨的治学态度、丰富渊博的知识、敏锐的学术思维、精益求精的工作态度、积极进取的科研精神以及诲人不倦的师者风范是我毕生的学习楷模.通过这一阶段的努力，我的毕业论文已接近尾声，作为一个本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有老师的亲切关怀和悉心指导，完成本次毕业论文将变得十分困难.老师平日工作繁多，但在这篇论文的写作过程中，老师不辞辛劳，多次就论文中许多核心的问题做深入细致的探讨并给我提出切实可行的指导性建议，才最终得以完成本次毕业论文.老师的这种一丝不苟的负责精神，使我深受感动.在此，请允许我向尊敬的老师表示真挚的谢意.最后，还要感谢我的辅导员在这四年来对我的帮助与鼓励，以及院系的所有领导本科生毕业论文对我的栽培与支持.并向在百忙中抽出时间对本论文进行评审，并提出宝贵意见的各位老师表示衷心的感谢，致以最崇高的敬意.9。
二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstra ct (1)Key words (1)引言 (1)1二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义……………………………………………12二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系………………………………………22.1二元函数连续与偏导数存在之间的关系 (2)2.2二元函数连续与可微之间的关系 (3)2.3二元函数可微与偏导数存在之间的关系 (3)2.4二元函数可微与偏导数连续之间的关系 (4)二元函数连续、偏导数、可微的关系图 (6)参考文献 (7)致谢 (8)本科生毕业论文2二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系摘要 一元函数可微与可导等价，可导必连续.但二元函数并非如此，以下文章给出了二元函数连续、偏导数、可微之间的关系，并给出了简单的证明，且用实例说明了它们之间的无关性和在一定条件下所具有的共性.关键词 二元函数 连续 偏导数 可微The Relat i onsh i p among Conti n uati o n, Parti a l Deriv a tive s andDiffe r enti a bili t y in Binar y Funct i onAbstr a ct Unary funct i on diffe r enti a ble with deriv a tive equiv a lent , will be conti n uous l y diffe r enti a ble. But the dual funct i on is not the case, the follo w ing artic l e gives a conti n uous funct i on of two varia b les, parti a l deriv a tive s , can be said the relat i onsh i p betwe e n them, and gives a simpl e show, and illus t rate d with examp l es relat e d betwe e n them and under certa i n condi t ions have in commo n .. Key words binar y funct i on conti n uati o n parti a l deriv a tive s diffe r enti a bili t y引言 二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识.本文详细讨论这三者之间的关系.1 二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义定义1 设为定义在f 点集上的二2D R ⊂元函数，0D P ∈（0P 或者是的聚D 点，或者是的孤D 立点），对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要0,)(D P U P δ⋂∈，就有0)||()(f P f P ε<-，则称关于集f 合在点连续D 0P .定义 2 设函数(,),(,)z f x y x y D =∈，若且在的某00,)(y D x ∈0,)(y f x 0x 一邻域内有定义，则当极限存00000000(,))(,)(,limlim x x x f x y f x y f x x y x x∆→∆→+-=∆∆∆∆在时，则称这个本科生毕业论文3极限为函数在f 点关于的偏00,)(y x x 导数，记作(,)|x y fx∂∂. 定义 3 设函数在点(,)z f x y =000,)(y P x 某邻域内有0()U P 定义，对于中的点0()U P 00,)(,)(y P x y x x y ++=∆∆，若函数在点f 0P 处的全增量可表示为0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+，其中A 、B 是仅与点有0P 关的常数，()ορρ=是较高阶的ρ无穷小量，则称函数在f 点0P 处可微.2 二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系2.1 二元函数连续与偏导数存在之间的关系例[1]122,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x yf x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在偏导数存(0,0)在但不连续. 证明 因为 00(,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x→→--===， 同理可知 (0,0)0y f =. 所以 (,)f x y 在偏导数存(0,0)在. 因为220,0limx y xyx y →→+ 极限不存在，所以 (,)f x y 在(0,0)不连续.例2[2](,)f x y =在(0,0)点连续，但不存在偏导数. 证明 因为0,00,lim (,)lim0(0,0)x y x y f x y f →→→→===，所以(,)f x y =在(0,0)点连续，因为00(,0)(0,0)(0,0)lim x x x f x f f x →→-==该极限不存在，同理 (0,0)y f 也不存在.所以(,)f x y =在点(0,0)连续，但不存在偏导数.此二例说明: 二元函数连续与偏导数存在不等价，偏导数存在不一定连续，连续不一定偏导数存在.这与一元函数不同.一元函数中，可导一定连续，连续不一定可导. 2.2 二元函数连续与可微之间的关系本科生毕业论文4定理1[3] 若在点可微(,)z f x y =(,)x y ，则在点一定(,)z f x y =(,)x y 连续. 证明 (,)z f x y =在点(,)x y 可微，0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+ (1)所以 当0,0x y ∆→∆→时，有0z ∆→，即 (,)z f x y =在该点连续.例3[4]证明在点连(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y f x y x y ≠==⎩(0,0)续，但在点不可(0,0)微.证明 令cos ,sin x r y r θθ==，则(,)00x y r →⇔→. 因为2cos sin |||cos sin |0(0)r r r r r θθθθ==≤→→, 所以在点连(,)f x y (0,0)续.按偏导数定义00(,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x∆→∆→∆-===∆∆, 同理 (0,0)0y f = .若在点可微(,)f x y (0,0)，则(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y z dz f x y f f x f y ∆-=+∆+∆--∆-∆=应是较高阶ρ=. 因为220limlimz dzx yx y ρρρ→→∆-∆∆=∆+∆ 该极限不存在,所以在点不(,)f x y (0,0)可微.此例说明: 二元函数在某点连续，不一定可微，但可微一定连续.这与一元函数有相同的结论.2.3 二元函数可微与偏导数存在之间的关系定理2[5] 若二元函数f 在其定义域内一点处可00,)(y x 微，则在该点关f 于每个本科生毕业论文5自变量的偏导数都存在，且(1)式中的0000,),,)((x y A f y B f y x x ==.证明 因为 (,)z f x y =在点(,)x y 可微，则0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+.若令上式中0y ∆= ,则0000(,)(,)(||)z f x x y f x y A x x ο=+∆∆-=∆+∆, 所以 000000(,)(,)(||)lim lim x x A xf x x y f x y x A x ο∆→∆→=∆+∆-∆+=∆. 即A z x =∂∂.类似可证B zy=∂∂. 例4[6]设2222222,0(,)0,0x y x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩,则在点偏导(,)f x y (0,0)数存在，但在该点不可微.解 事实上（1）0(,0)(0,0)(0,0)lim0x x f x f f x→-==，(0,)(0,0)(0,0)lim0y y f y f f y→-==,故 (,)f x y 在点偏导数(0,0)存在. （2）因为200,limlimx y f dfρρ→∆→∆→∆-=，此时若令y k x ∆=∆，则230,0,lim limx y x y ∆→∆→∆→∆→=，此极限显然不存在，所以不存在0limf dfρρ→∆-，所以 (,)f x y 在点不可微(0,0).此例说明: 二元函数中，偏导数存在不一定可微；可微则偏导数存在.这与一元函数中，可微与可导等价有区别.2.4 函数可微与偏导数连续之间的关系定理3[7] 若二元函数(,)z f x y =的偏导数在点的某邻域00(,)x y 内存在，且与在点本科生毕业论文6处x f y f 00(,)x y 连续，则函数在点f 00(,)x y 处可微.证明 我们把全增量0000,)(,)(y f x y z f x x y ++-∆=∆∆00000000[,),)][,)(,)](((y y y f x y f x x y f x y f x y =++-+++-∆∆∆∆在第一个括号里，它是函数关0,)(y f x y +∆于的偏增量x ;在第二个括号里，则是函数关0(,)f x y 于的偏增量y .对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理，得 010002,),(()x y y y z f x x y x f x y y θθ++++∆=∆∆∆∆∆ 12,10θθ<< （2） 由于与在点x f y f 00(,)x y 处连续，因此有 01000,)(,)(x x y x y f x x y f θα++=+∆∆， （3）00200,(,)()y y y x y f x y f θβ++∆= ,（4）其中 当0,0x y ∆→∆→时，有0,0αβ→→. 将（3） ，（4）代入（2）式，则得0000(,)(,)x y x y x y z f x f y x y αβ=+∆∆∆+∆+∆. 所以 函数在点处f 00(,)x y 可微.例在处可微5[8]22()sin (,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩(0,0)，但与均在处(,)x f x y (,)y f x y (0,0)不连续. 解因为220,0lim (0(0,0)x y x y f →→+==,所以 (,)f x y 在(0,0)处连续.00(,0)(0,0)(0,0)lim 0x x x f x f f x→→-===,本科生毕业论文7同理 (0,0)0y f =.当220x y +≠时，0,0lim 2x x y f x →→=极限不存在,故在点不连(,)x f x y (0,0)续. 同理可证在(,)y f x y (0,0)处不连续.lim0f dfρρρ→→∆-==,所以在处可(,)f x y (0,0)微.此例说明 二元函数偏导数连续并不是可微的必要条件.由此可知定理3是可微的充分条件.由此引出定理4，降低函数可微的条件.定理4[9] 若在内存在(,)f x y 0()U P (,)x f x y ，且(,)x f x y 在00(,)o P x y 连续，(,)y f x y 在0P 存在，证明：f 在0P 可微.证明 0000(,)(,)f f x x y y f x y ∆=+∆+∆-00000000[(,)(,)][(,)(,)]f x x y y f x y y f x y y f x y =+∆+∆-+∆++∆- 由已知 (,)x f x y 存在，且在0(,)o x y 连续,有0000010(,)(,)(,)x f x x y y f x y y f x x y y xθ+∆+∆-+∆=+∆+∆∆11(,)(0)xf x y x x αα=∆+∆→,因为 0000000(,)(,)lim(,)y y f x y y f x y f x y y∆→+∆-=∆，所以 00000022(,)(,)(,)(0)y f x y y f x y f x y y y αα+∆-=∆+∆→ ， 又因 1212||||||0x yααααρ∆+∆≤+→，所以 f 在点0P 可微. 注 此定理中与(,)x f x y (,)y f x y 互换，结论仍然成立. 二元函数连续、偏导数、可微的关系如图二元函数连续二元函数偏导数存在本科生毕业论文8二元函数可微二元函数偏导数连续参考文献[1]常庚哲，史济怀，数学分析[M].北京：高等教育出版社，2003.6：97 [2]刘文灿，刘夜英，数学分析[M].西安：陕西人民出版社，2004.9：116 [3]朱正佑，数学分析[M].上海：上海大学出版社，2001.7：188 [4]黄玉民，李成章，数学分析[M].北京：科学出版社，1995.5：61-62[5]华东师范大学数学系. 数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，110 [6]周良金，王爱国，函数连续及可微的关系[J ].高等函授学报2005.10，19（5）：35[7]陈纪修，於崇华，金路，数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004.10：142-143 [8]刘新波，数学分析选讲[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.3：151[9]《大学数学名师导学丛书》编写组，数学分析名师导学[M].北京：中国水利水电出版社，2004：147-148致谢感谢老师对本论文从选题、构思、资料收集到最后定稿的各个环节给予的指引和教导，使我对分段函数的分析性质有了更深刻的认识，并最终得以完成毕业论文，对此我表示衷心的感谢，老师严谨的治学态度、丰富渊博的知识、敏锐的学术思维、精益求精的工作态度、积极进取的科研精神以及诲人不倦的师者风范是我毕生的学习楷模. 通过这一阶段的努力，我的毕业论文已接近尾声，作为一个本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有老师的亲切关怀和悉心指导，完成本次毕业论文将变得十分困难.老师平日工作繁多，但在这篇论文的写作过程中，老师不辞辛劳，多次就论文中许多核心的问题做深入细致的探讨并给我提出切实可行的指导性建议，才最终得以完成本次毕业论文.老师的这种一丝不苟的负责精神，使我深受感动.在此，请允许我向尊敬的老师表示真挚的谢意.最后，还要感谢我的辅导员在这四年来对我的帮助与鼓励，以及院系的所有领导对我的栽培与支持.并向在百忙中抽出时间对本论文进行评审，并提出宝贵意见的各位本科生毕业论文老师表示衷心的感谢，致以最崇高的敬意.9。
二元函数的连续性与可微性
在数学中，了解函数的连续性和可微性非常重要。本次演讲将详细介绍二元 函数的连续性和可微性的定义及其关系。
函数的连续性和可微性的定义
连续性定义
连续性是指函数在其定义域内无断点，没有跳跃性变化。
可微性定义
可微性是指函数在某一点的导数存在，表示函数在该点有切线。
二元函数的连续性
绝对函数是连续但不可微的典型例子。
连续函数和可微函数在数学和实际应用中有着重 要的意义和应用价值。
可微函数的性质
1 连续性
可微函数一定是连续的，因为若导数存在，函数在该点必然无断点。
2 导数
可微函数的导数与其偏导数相等，可帮助我们更好地理解函数在各个方向上的变化率。
连续性和可微性的关系
可微必连续的原理
连续不一定可微的例子 连续与可微的关系总结和应用
可微函数一定是连续函数，但连续函数不一定可 微。
1 基本概念
2 判定方法
二元函数的连续性是指函数在定义域内的任 意一点，其函数值的变化不会产生剧烈跳跃。
连续函数和间断函数的特征和性质之间的区 别可用来判断二元函数的连续性。
二元函数的可微性
偏导数及其定义
偏导数是指在多元函数中，对一个变量求导时，将 其他变量视为常数。
可微性的定义
二元函数可微性是指函数在某一点的偏导数都存在 且连续，表示函数在该点可导。
(整理)二元函数连续性、偏导数及可微性的讨论.
西安文理学院数学系本科毕业论文开题报告注：此表前4项由学生填写后，交指导教师签署意见，经主管系主任审批后，才能开题。
西安文理学院数学系本科毕业论文进度表分类号：西安文理学院数学系学士学位论文二元函数连续性、偏导数及可微性的讨论系院名称数学系指导老师胡洪萍学生姓名韩晓莉学生学号 021********专业、班级数学与应用数学06级2班提交时间二〇一〇年五月二十一西安文理学院数学系二元函数连续性、偏导数及可微性的讨论韩晓莉（西安文理学院 数学系，陕西 西安 710065）摘要： 本文对多元函数微分学中连续、偏导数及可微三个概念之间的关系作了较为详细的论述，并给出了简洁全面的证明，同时给出相应的反例加以说明，用实例说明了它们的无关性与在一定条件下所具有的共性.关键词： 二元函数；连续；偏导数；可微多元函数微分学的内容与一元函数微分学的内容大体上是平行的，但在注意多元函数与一元函数的共性的同时，特别要注意多元函数所具有的特性.二元函数的连续性、偏导数及可微性是数学分析中的一个重要概念，在一般的教材中对于该部分内容的介绍比较粗略，比较浅显，本文就二元函数连续性、偏导数及可微性在教材相关内容的基础上进行进一步的探讨、研究，对教材内容做一些适当的补充和扩展，为后继课程的学习奠定基础.1 二元函数连续、偏导、可微的定义定义1 设f 为定义在点集2D R ⊂上的二元函数,0P D ∈(它或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点).对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要0(;)P U P D δ∈，就有0()(),f P f P ε-< 则称f 关于集合D 在点0P 连续，也称f 在点0P 连续.若f 在D 上任何点都关于集合D 连续，则称f 为D 上的连续函数.定义2 设函数()y x f z ,=在点),(00y x 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y ，而x 在0x 处有增量x ∆时，相应地函数有增量()()0000,,y x f y x x f -∆+如果极限()()xy x f y x x f x ∆-∆+→∆00000,,lim存在，则称此极限为函数()y x f z ,=在点),(00y x 处对x 的偏导数.如果函数()y x f z ,=在区域D 内每一点()y x ,处对x (或对y )的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x ，y 的函数，称它为函数()y x f z ,=对自变量x （或对y ）的偏导函数.定义3 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义，对于()0P U 中的点()()y y x x y x P ∆+∆+=00,,,若函数f 在点0P 处的全增量可表示为 ()()()ρο+∆+∆=-∆+∆+=∆y B x A y x f y y x x f z ,,00,其中A,B 是仅与点0P 有关的常数，22y x ∆+∆=ρ，()ρο是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f 在点0P 处可微，并称上式中关于x ∆，y ∆的线性函数A x ∆＋B y ∆为函数f 在点0P 的全微分，记作()y B x A y x df ∆+∆=00, .2 二元函数的连续性一元函数若在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数必在这点连续，但对于二元函数()y x f ,来说，即使它在某点()000,y x P 既存在关于x 的偏导数()00,y x f x ，又存在关于y 的偏导数()00,y x f y ，()y x f ,也未必在点()000,y x P 连续.不过，我们却有如下定理：定理1 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义,若()y x f ,0作为y 的一元函数在点y =0y 连续,()y x f x ,在()0P U 内有界,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.证明 任取()y y x x ∆+∆+00,∈()0P U , 则()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+= ()()()()00000000,,,,y x f y y x f y y x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+ (1) 由于()y x f x ,在()0P U 存在,故对于取定的y y ∆+0, ()y y x f ∆+0,作为x 的一元函数在以0x 和0x +x ∆为端点的闭区间上可导,从而据一元函数微分学中的拉格朗日中值定理,存在θ∈(0 ,1) ,使()()()x y y x x f y y x f y y x x f x ∆∆+∆+=∆+-∆+∆+000000,,,θ将它代入(1) 式, 得()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+= ()()()000000,,,y x f y y x f x y y x x f x -∆++∆∆+∆+θ . (2) 由于()∈∆+∆+y y x x 00,θ()0P U ,故()y y x x f x ∆+∆+00,θ有界,因而当()()0,0,→∆∆y x 时, 有()y y x x f x ∆+∆+00,x ∆→0.又据定理的条件知,()y x f ,0在y =0y 连续,故当()()0,0,→∆∆y x 时, 又有()()0000,,y x f y y x f -∆+→0.所以, 由(2) 知, 有lim →∆→∆y o x [()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+] = 0.这说明()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论1 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义，若()y x f ,0作为y 的一元函数在点y =0y 连续,()y x f x ,在点()000,y x P 连续,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.证明 由于()y x f x ,在点()000,y x P 连续,故()y x f x ,必在点()000,y x P 的某邻域内有界,因而据定理1 ,()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论2 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义. 若()y x f x ,在()0P U 有界, ()00,y x f y 存在,则()y x f , 在点()000,y x P 连续.证明 由于()00,y x f y 存在,故()y x f ,0作为y 的一元函数在点y =0y 连续,因而据定理1 ,()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论3 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义，若()y x f x ,在点()000,y x P 连续, ()00,y x f y 存在,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.证明 由于()y x f x ,在点()000,y x P 连续,故()y x f x ,必在点()000,y x P 的某邻域内有界. 又由于()00,y x f y 存在,故()y x f ,0作为y 的一元函数在点y =0y 连续,因而据定理1 ,()y x f ,在点()000,y x P 连续. 同理可证如下的定理2及其推论.定理2 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 有定义,()y x f y ,在()0P U 内有界,()0,y x f 作为x 的一元函数在点x =0x 连续,则()y x f ,在()000,y x P 连续.推论1 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域内()0P U 有定义, ()y x f y ,在点()000,y x P 连续, ()0,y x f 作为x 的一元函数在点x =0x 连续,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论2 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域内()0P U 有定义,()y x f y ,在()0P U 内有界, ()00,y x f x 存在,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论3 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 有定义, ()y x f y , 在点()000,y x P 连续, ()00,y x f x 存在,则()y x f ,在点()000,y x P 连续. 3 二元函数()y x f ,在点()00,y x 偏导与可微的关系定理3 若二元函数()y x f ,在点()y x P ,可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导数存在且为y x f f ,.证明 如果函数在点()y x P ,可微，()∈∆+∆+y y x x P ,0P 的某个邻域，则()ρο+B∆+A∆=∆y x z 总成立，当y ∆=0，上式仍成立， 此时，x ∆=ρ，()()()x x y x f y x x f ∆+A∆=-∆+ο,,，()()x x f xy x f y x x f =∆-∆+→∆,,lim所以x f 存在，同理可证y f 存在.注意 函数()y x f ,在某点()y x ,可微，()y x f ,在该点偏导数必存在;但()y x f ,在某点()y x ,偏导数存在，函数在该点却不一定可微. 例1 证明函数()y x f ,=xy 在原点()0,0存在两个偏导数但不可微.证明 由于()0,0x f =()()xf x f x ∆-∆→∆0,00,lim0 =xx ∆→∆0lim 0=0 ()0,0y f =()()yf y f y ∆-∆→∆0,0,0lim=yy ∆→∆0lim 0=0所以函数在原点两个偏导数存在.下证函数在原点不可微，用反证法，设函数在原点可微，于是 df =()0,0x f x ∆+()0,0y f y ∆=0f ∆=f (0+x ∆,0+y ∆)-f (0,0)=y x ∆∆ 特别取x ∆=y ∆，有f ∆=y x ∆∆=2x ∆=x ∆ 22y x ∆+∆=ρ=2x ∆ 所以xx dff x ∆∆=-∆→∆→2limlimρρ=21≠0这说明df f -∆比ρ不是高阶无穷小，（当0→ρ时）此与可微的定义矛盾，故函数()y x f z ,==xy 在原点()0,0不可微.4 二元函数()y x f ,在点()00,y x 可微与连续的关系定理4 若二元函数()y x f ,在其定义域内一点()y x ,可微，则f 在该点必然连续.证明 事实上()ρο+B∆+A∆=∆y x z ，0lim 0=∆→z ρ，()()[]()y x f z y x f y y x x f y x ,,lim ,lim 00=∆+=∆+∆+→→∆→∆ρ故f 在()y x ,连续.注意 函数()y x f ,在某点()y x ,可微，则()y x f ,在该点连续;但()y x f ,在某点()y x ,连续，函数在该点却不一定可微.例2 证明函数()y x f ,=22sin y x +在()0,0点连续，但在该点不可微. 证明 ()200,R y x ∈∀,有()()2202200sin sin ,,y x y x y x f y x f +-+=- =22sin2cos 2202222022y x y x y x y x +-++++≤22022y x y x +-+ ()()2020y y x x -+-≤则ε∀>0，εδ=∃ ，当()()2020y y x x -+-<δ时，有()()00,,y x f y x f -<ε 则f 在()00,y x 连续，即在()0,0点连续. 又因为()()xx x f x f x x ∆∆=∆-∆→∆→∆sin lim 0,00,lim00不存在()()y y y f y f y y ∆∆=∆-∆→∆→∆sin lim0,0,0lim 00不存在 所以f 在()0,0点不存在偏导数，即在该点不可微. 5 二元函数()y x f ,在点()00,y x 连续、偏导、可微的关系对于二元函数可微的充分性条件，一般的数学分析教材如华东师范大学编的《数学分析》是这样叙述的：[]1定理 若函数()y x f z ,=的偏导数在点()00,y x 的某邻域内存在，且x f 与y f 在点()00,y x 处连续，则函数f 在点()00,y x 可微.关于二元函数可微的充分性条件，如果完全放弃对两个偏导数的连续性要求，从另一个条件出发，仍可得到可微的充分条件的另一命题.定理5 若函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的邻域G 内()y x f x ,连续，()00,y x f y 存在，则函数f 在点()00,y x 可微.证明 对于邻域G 内任意一点()y y x x ∆+∆+00,，函数有全增量 z ∆=()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+=()()()()00000000,,,,y x f y y x f y y x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+由于一元函数()y y x f ∆+0,在点()y y x ∆+00,的邻域G 内满足微分中值定理条件，有()()()x y y x x f y y x f y y x x f x ∆∆+∆+=∆+-∆+∆+000000,,,θ（0<θ<1）已知()y x f x ,在点()000,y x P 连续，故有()x y y x x f x ∆∆+∆+00,θ=()x x y x f x ∆+∆α00,（0lim 0=→αρ，22y x ∆+∆=ρ）又由于()00,y x f y 存在，故一元函数()y x f ,0在0y 可导，于是有()()()y y y x f y x f y y x f y ∆+∆=-∆+β000000,,, （0lim 0=→βρ）从而有z ∆=()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+ =()()y x y y x f x y x f y x ∆+∆+∆+∆βα0000,,而 ρβραρβαy x yx ∆⋅+∆⋅≤∆+∆ 0→+≤βα （0→ρ）或 ()ροβα=∆+∆y x ，于是 ()()()ρο+∆+∆=∆y y x f x y x f z y x 0000,, 即函数f 在点()00,y x 可微.注意 这个条件是可微的充分条件并非必要条件，即()y x f z ,=在()00,y x 的邻域G 内()00,y x f y 存在但()y x f x ,不连续，但()y x f ,在点()00,y x 也可微.例3 设函数()y x f ,=()⎪⎩⎪⎨⎧++,0,1sin 2222y x y x 002222=+≠+y x y x ，讨论()y x f ,在原点 （1）()0,0y f 是否存在 （2）x f 是否连续 （3）是否可微.解 （1）由定义知()0,0y f =()()yf y f y ∆-∆→∆0,0,0lim=yy y y ∆∆∆→∆2201sinlim=0 所以()0,0y f 是否存在.（2）因为当022≠+y x 时，()y x f ,偏导数存在，故()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+=,0,1cos 11sin 2,222222y x y x y x x y x f x 002222=+≠+y x y x ， 而()y x f x y x ,lim 00→→不存在，故()y x f ,在原点不连续.（3）因为()22221siny x y x z ∆+∆∆+∆=∆，01sinlim lim2==-∆→→ρρρρρdzz所以()y x f ,在原点可微.对于二元函数()y x f ,在某点()00,y x 的连续性与偏导数存在，两者之间没有必然的联系，即()y x f ,在某点()00,y x 偏导数存在与否，与其在该点是否连续无关.例4 证明函数()y x f ,=22y x +（圆锥）在原点的连续性，但偏导数不存在.证明 因为()()()()()220,0,0,0,lim,limy x y x f y x y x +=→→=0 =()0,0f 所以()y x f ,在原点连续.又因为()()xf x f x f x x x ∆-∆=∆∆→∆→∆0,00,lim lim 00=x x x ∆∆→∆0lim=xx x ∆∆→∆0lim此极限不存在，因此()y x f ,在原点关于x 的偏导数不存在，同理可证，()y x f ,在原点关于y 的偏导数也不存在.例5 证明函数()y x f ,=⎪⎩⎪⎨⎧+,0,22y x xy002222=+≠+y x y x ，在原点存在偏导数但不连续.证明 由偏导数的定义有()()()xf x f f x x ∆-∆=→∆0,00,lim 0,00 =xx ∆-→∆00lim 0=0同理可证()0,0y f =0，即在原点关于x 与y 的偏导数存在. 又因为当动点()y x ,沿直线mx y =而趋于定点()0,0时，由于此时()()21,,m mmx x f y x f +==所以()()()()mx x f y x f x mxy y x ,lim ,lim 00,0,→=→==21mm+ 此结果说明动点沿不同斜率m 的直线趋于定点时，对应得极限值也不同，故在原点没有极限，从而不连续.以上两例说明()y x f ,在某点()00,y x 偏导数存,()y x f ,在点()00,y x 可以不连续；()y x f ,在某点()00,y x 连续，()y x f ,在点()00,y x 偏导数也可能不存在.即()y x f ,在某点()00,y x 偏导数存在与否，与其在该点是否连续无关.结束语本文以上的讨论说明了函数()y x f ,在某点()00,y x 的连续、偏导数及其在该点是否可微之间的关系，它们虽然没有直接的联系，但当偏导数存在且连续时，其可微性、连续性都存在了.[参考文献][1] 华东师范大学数学系. 数学分析（下）[M] . 北京: 高等教育出版社，2001: 100 – 112[2] 吉米多维奇. 数学分析习题集[M] . 北京: 人民教育出版社, 1958: 62-78[3]马振民. 数学分析的方法与技巧选讲[M]. 兰州: 兰州大学出版社, 1999: 36-54.[4] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京: 北京高等教育出版社, 1993: 86-97.[5]华东师范大学数学系. 数学分析[M] . 北京: 人民教育出版社, 1981:137-160.[6] 李超. 有关多元函数连续性的几个新结论[J]. 韶关学院学报（自然科学版）.2002，23（6）: 1-6.[7] 周良正，王爱国. 偏导数存在，函数连续及可微的关系[J]. 高等函授学报（自然科学版）.2005，19（5）: 1-4.[8] 何鹏，余文辉，雷敏敛. 二元函数连续、可偏导、可微等诸条件间关系的研究[J]. 南昌高专学报. 2005，61（6）: 1-2.[9] 黄梅英. 浅谈二元函数可微性[J]. 三名师专学报. 2000，17（1）: 1-5.[10] 龚俊新. 二元函数连续、偏导、可微之间的关系[J]. 湖北师范学院学报（自然科学版）.2000，20（3）: 1-3.Dual function continuity, partial derivative anddifferentiability discussionHAN Xiao-li（Department of Mathematics, Xi’an University of Arts and Science, Xi’an710065,China）Abstract：This article to the function of many variables differential calculus in continuously, between the partial derivative and the differentiable three concept's relations has made a more detailed elaboration, and has given the succinct comprehensive proof, simultaneously gives the corresponding counter-example to explain, explained with the example their independency with the general character which has under the controlled condition.Key words：dual function; continuously;partial derivative; differentiable致谢在论文完成之际，我要特别感谢我的指导老师胡洪萍老师，感谢她的热情关怀和悉心指导。
二元函数偏导数存在和可微的关系
二元函数偏导数存在和可微的关系
二元函数偏导数是指在二元函数中，求出某一变量对另一变量的偏导数。
它是求解多元函数极值问题的基础，也是求解多元函数的重要工具。
二元函数偏导数与可微性有着密切的关系。
可微性是指函数在某一点处是否可以导出，也就是说，函数是否可以在某一点处取得极值。
如果函数在某一点处可以取得极值，那么这个函数就是可微的，而如果函数在某一点处不可以取得极值，那么这个函数就是不可微的。
二元函数偏导数的存在，就是为了检验函数是否可微。
如果函数的偏导数在某一点处存在，那么这个函数就是可微的；如果函数的偏导数在某一点处不存在，那么这个函数就是不可微的。
因此，二元函数偏导数的存在，就是为了检验函数是否可微。
另外，二元函数偏导数的存在，还可以帮助我们求解多元函数的极值问题。
如果函数的偏导数在某一点处存在，那么这个点就是函数的极值点；如果函数的偏导数在某一点处不存在，那么这个点就不是函数的极值点。
因此，二元函数偏导数的存在，可以帮助我们求解多元函数的极值问题。
总之，二元函数偏导数与可微性有着密切的关系，它的存在可以帮助我们检验函数是否可微，也可以帮助我们求解多元函数的极值问题，是求解多元函数的重要工具。
二元函数连续、偏导数和全微分之间的关系
二元函数连续、偏导数和全微分之间的关系通过证明或反例说明二元函数连续、偏导数，全微分之间的关系。
标签：二元函数；连续；偏导数；全微分对于一元函数来讲，连续、导数和微分之间的关系比较简单：可导与可微是等价的，可导一定连续，但连续不一定可导。
但对于二元函数来讲，连续、偏导数和全微分之间的关系要相对复杂一些，本文通过证明或反例来说明三者之间的关系。
1 连续和偏导数之间的关系1.1 已知偏导数存在，但不一定连续例1 函数在点处的两个偏导数都存在：但是在点却不连续，事实上，令点沿趋向点，有：1.2 已知连续，但偏导数不一定存在例2 函数，显然：故在点处连续，而由：知不存在，所以在点处不是可偏导的。
2 偏导数和全微分之间的关系2.1 若可微，则偏导数一定存在证明：由于在点处可微，于是在点的某一邻域内有：其中。
特别地，当时，上式变为：在该式两端各除以，再令，则得：从而偏导数存在，且；同样可证存在，且。
2.2 已知偏导数存在，但不一定可微例3 函数在点处的两个偏导数都存在：但是在点却不可微，事实上：令沿趋向，则：这说明当时，并不是的高阶无穷小，所以在点处不可微。
3 连续和全微分之间的关系3.1 若可微，则一定连续证明：由于在點处可微，即有：其中。
于是，即有，从而，即在点处连续。
3.2 已知连续，但不一定可微在例2中，函数在点处连续，在点处不是可偏导的。
由偏导和可微之间的关系，知在点处不可微。
综上，二元函数连续、偏导数和全微分之间的关系：函数在一点的连续性和函数在该点的偏导数的存在性之间没有任何关系；函数在一点的偏导数存在是函数在该点可微的一个必要非充分条件，函数在一点可微是函数在该点的偏导数存在的一个充分非必要条件；函数在一点连续是函数在该点可微的一个必要非充分条件，函数在一点可微是函数在该点连续的一个充分非必要条件。
参考文献：[1]大连理工大学城市学院基础教学部.应用微积分（下册）[M].大连理工大学出版社，2013.[2]大连理工大学城市学院基础教学部.应用微积分同步辅导[M].大连理工大学出版社，2013.[3]同济大学数学教研室.高等数学（下册）[M].高等教育出版社，1998.作者简介：张宇红（1979-），女，辽宁锦州人，硕士研究生，教授，研究方向：数学。
二元函数连续性与函数导数的关联分析
二元函数连续性与函数导数的关联分析函数的连续性和导数是微积分中的两个重要概念，它们在数学和科学的研究中起着至关重要的作用。
本文将探讨二元函数连续性与函数导数之间的关联，并分析它们在实际问题中的应用。
一、二元函数的连续性连续性是指函数在某一点上的函数值与其邻域内函数值之间的关系。
对于一元函数，我们常用的连续性定义是：如果函数在某一点上的函数值趋近于该点的极限值，那么可以说函数在该点处连续。
这一定义在二元函数情况下也适用。
具体而言，设函数 f(x,y) 是定义在某区域 D 上的二元函数。
若对于D 中的任意一点 (a,b)，当 (x,y) 进入 D 中的任何一个邻域时，函数值f(x,y) 都趋近于点 (a,b) 处的极限值，那么可以说函数 f(x,y) 在点 (a,b)处连续。
二、函数导数的定义函数导数刻画了函数在某一点上的变化率。
在一元函数中，我们常用导数来描述变化率。
对于二元函数，函数导数也可以类比于一元函数中的导数概念，具体定义如下：如果二元函数 f(x,y) 在某一点 (a,b) 处的极限存在，并且关于 x 和 y的偏导数在该点上都存在，那么我们称之为函数 f(x,y) 在点 (a,b) 处可导，并且称该极限值为函数在该点上的导数。
三、二元函数连续性与导数的关联在一元函数中，连续性与可导性有着密切的联系。
事实上，在二元函数中，也存在着类似的关联。
定理1：如果二元函数 f(x,y) 在点 (a,b) 处可导，则 f(x,y) 在该点处连续。
这一定理告诉我们，如果一个二元函数在某一点处可导，则它在该点处也必定连续。
这可以通过导数的定义和极限的性质来证明。
然而，定理1并不意味着连续性能够推出可导性。
事实上，在二元函数中，连续性与可导性之间并没有一一对应的关系。
定理2：对于二元函数 f(x,y) ，在点 (a,b) 处连续并不意味着可导，即连续性并不能保证可导性。
这一定理告诉我们，连续性不一定能够推出可导性。
浅谈二元函数几个重要概念之间的关系
浅谈二元函数几个重要概念之间的关系发表时间：2018-05-14T17:07:13.010Z 来源：《教育学》2018年2月总第137期作者：孙海青[导读] 本文主要介绍二元函数极限、连续、偏导数存在及可微四者之间的关系。
天津电子信息职业技术学院300350摘要: 正确理解二元函数几个重要概念及其关系是学好高等数学的基础。
本文主要介绍二元函数极限、连续、偏导数存在及可微四者之间的关系。
关键词：极限连续偏导数数学概念是数学知识体系的核心部分，是数学推理论证的基础，也是学生学好高数的关键。
所以正确理解高数相关概念之间的关系对学生学好高数有很大的帮助。
本文主要介绍高数中二元函数中的一些容易混淆的概念之间的关系，即函数极限、连续、可偏导与可微四者之间的关系，旨在帮助学生认清这些概念的本质。
一、二元函数极限与连续的关系连续极限性质1：如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)连续，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)有极限，反之不成立。
根据二元函数连续性定义可归纳出连续的三个要素：1.函数f(x,y)在点(x0,y0)有定义。
2.当x→x0，y→y0时，lim f(x,y)=A存在。
3.极限值等于该点函数值，即 lim f(x,y)=A=f(x0,y0)。
因此二元函数在某点连续则极限一定存在，但极限存在不一定连续。
例1：f（x，y）=e sin ，函数在（0，0）没有定义不连续，但 lim e sin =0极限存在。
二、可偏导与连续的关系偏导数存在连续性质2：函数在某点可偏导不一定连续，反之函数在某点连续其偏导数也不一定存在。
例2：f（x，y）= x2+y2，显然 lim f（x，y）= lim x2+y2=0=f（0，0）在点（0，0）连续但 z`x（0，0）=lim=lim =lim =因此z`x（0，0）不存在，同理z`y（0，0）不存在，所以函数连续其偏导数不一定存在。
三、可微与连续的关系可微连续性质3：如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续，反之不成立。
讨论二元函数连续性_偏导存在性及可微性间的关系.
(A Cheng I nstitute of Harbin Nor mal University
Men Yanhong
(qingdao Feiyang Vocati onal and Techaial College
ABSTRACT
I n this paper,we discuss the relati ons of the continuity,the existence of partial derivati on and the differentiability of the dual functi on by the s pecific exa mp les .
高阶无穷小量,为此考察极限
li m ρ→0Δf-d f
ρ=
li m
ρ→0
ΔxΔy
Δx2+Δy2
当动点(x,y沿直线y=m x趋于(0,0时,则
li m (x,y→(0,0
xy x2+y2
=li m
(x,y→(0,0
y=m x
m
1+m2
=
m
1+m2
这一结果说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时,对应的极限值也不同,因此所讨论的极限不存在.故函数f在原点不可微.
一定连续
例2函数f (x,y =
x 2
+y 2
,xy =0
1,xy ≠0
在点
(0,0处f x (0,0,f y (0,0存在,但不连续.
证明 由偏导数定义:
f x (0,0=li m Δx →x f (0+Δx,0-f (0,0
Δx
=li m Δx →x
Δx =0,
二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的讨论
编号：Xxxxxxxx学校本科毕业论文二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的讨论院系：数学科学系姓名：XXXX学号：XXX专业：XXXX年级：2008级指导教师：XXX职称：讲师完成日期：2012年5月摘要二元函数微分学是高等数学的重点之一,理清其基本概念之间的相互关系对于认识二元函数的性质有重要的意义,只有这样才能弄清楚二元函数连续、偏导数及可微之间的关系,才能更好地加以利用.本论文将重点对它们之间的关系加以总结和探讨,并给以证明和应用举例.本论文正文主要介绍了二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的基本知识.对它们分别进行了总结证明和进一步讨论,还总结二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的简单关系,并举出的例子加以论证支撑.关键词：二元函数；连续；偏导数；可微AbstractBinary Function Differential Calculus is one of the priorities of the higher mathematics, to clarify the basic concepts of the relationship between the significance for understanding the nature of the binary function, the only way to figure out the binary function continuous partial derivatives and differentiability the relationship between, in order to better take advantage of this paper will focus on the relationships between them to be summarized and discussed, and give proof of application example.In this thesis, the text introduces binary function continuity, partial derivatives of the Existence and differentiability of basic knowledge. Them a summary of the proof and further discussion, and also summarizes the continuity of the binary function, the partial derivatives exist and micro of simple relations, citing the examples to demonstrate support.Key words：Dual function; Continuously; Partial derivative; Differentiable目录摘要IABSTRACT II引言21 二元函数的连续、偏导数及可微三个概念的定义31.1二元函数的连续性31.2二元函数的可微性31.3二元函数的偏导数42 二元函数三个概念的结论总结及证明52.1二元函数连续性的结论总结及证明52.2二元函数可微性的结论总结及证明72.3二元函数偏导数存在性的结论总结113 二元函数三个概念之间关系的总结123.1二元函数连续性与偏导数存在性的关系及例证123.1.1 二元函数连续,但偏导不一定存在的举例证明123.1.2 二元函数偏导存在,但不一定连续的举例证明123.2二元函数可微性与偏导数存在性的关系及例证133.2.1 可微与偏导存在关系的举例证明133.2.2 偏导连续与可微关系的举例证明154 二元函数连续性、偏导数存在性及可微性关系的概图22结束语 23参考文献 24致谢 25引言二元函数微分学是一元函数微分学的推广,因此它保留了一元函数微分学的许多性质.但由于自变量由一个增加到两个,从而产生了某些本质上的新的内容.如一元函数微分学中,函数在某点可导,则它在这点可微,反之亦然.但在二元函数微分学中,函数在某点偏导数存在,推不出它在这点可微.又如,一元函数微分学中,函数在某点可导,则它在这点必连续.但在二元函数微分学中,函数在某点的偏导数都存在,却推不出它在这点连续.同时二元函数微分学是高等数学教学中的一个重难点,它涉及的内容实际上是微积分学内容在二元函数中的体现,其中有关二元函数的连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系是学生在学习中容易发生概念模糊和难以把握的一个重要知识点.当前,二元函数的连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系研究方面已经取得了一定的成果,但是,在国内的许多教材中只是对它们三者的定义作了说明,而对它们之间的关系很少提及或没有提到,在一般的教材中对于该部分内容的介绍比较粗略浅显,在一些学术性论文中也只是对二元函数的连续性、偏导数存在性及可微性的个别关系做了具体的说明,因此在让学生学习这方面的知识时能达到对这方面知识可以做到全面的掌握让是当前教学中的一大难题.本文具体就二元函数的连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系通过实例作深入的探讨,就二元函数连续性、偏导数及可微性在教材相关内容的基础上进行进一步的探讨、研究,对教材内容做一些适当的补充和扩展,为后继课程的学习奠定基础.然后总结有关二元函数微分学中这关于二元函数连续性、偏导数存在性及可微性这三个概念之间的关系,并对二元函数具体的实例详细加以证明,建立他们之间的关系图.这样对有效理解和掌握多元函数微积分学知识将起到重要作用.1 二元函数的连续、偏导数及可微性概念二元函数的连续、偏导数及可微的概念都是用极限定义的,不同的概念对应不同的极限.考虑函数()y x f ,在点),(00y x 的情形,它们分别为： 1.1 二元函数的连续性定义1 设f 为定义在点集2D R ⊂上的二元函数,0P D ∈(它或者是D 的聚点,或者是D 的孤立点).对于任给的正数ε,总存在相应的正数δ,只要0(;)P U P D δ∈ ,就有 0()(),f P f P ε-<则称f 关于集合D 在点0P 连续,在不致误解的情况下,也称f 在点0P 连续.若f 在D 上任何点都关于集合D 连续,则称f 为D 上的连续函数. 由上述定义知道：若0P 是D 的孤立点,则0P 必定是f 关于D 的连续点；若0P 是D 的聚点,则f 关于D 在0P 连续等价于()()00lim P f P f DP P P =∈→1.2 二元函数的可微性与一元函数一样,在二元函数微分学中,主要讨论二元函数的可微性及其应用,我们首先建立二元函数可微性概念.定义 2 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义,对于()0P U 中的点()()y y x x y x P ∆+∆+=00,,,若函数f 在点0P 处的全增量z ∆可表示为:()()()ρο+∆+∆=-∆+∆+=∆y B x A y x f y y x x f z ,,00,其中A ,B 是仅与点0P 有关的常数,22y x ∆+∆=ρ,()ρο是较ρ高阶的无穷小量,则称函数f 在点0P 处可微,并称上式中关于x ∆,y ∆的线性函数A xB y ∆+∆为函数f 在点0P 的全微分,记作y B x A y x df dz P ∆+∆==),(|000 .由上可知dz 是z ∆的线性主部,特别当x ∆,y ∆充分小时,全微分dz 可作为全增量z ∆的近似值,即()())()(,,0000y y B x x A y x f y x f -+-+≈在使用上,有时也把()()()ρο+∆+∆=-∆+∆+=∆y B x A y x f y y x x f z ,,00写成如下形式y x y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆βα,这里()()()()0lim lim 0,0,0,0,==→∆∆→∆∆βαy x y x1.3 二元函数的偏导数由一元函数微分学知道：若()x f 在点0x 可微,则函数增量()()()x x A x f x x f ∆++∆=-∆+ο00,其中()0x f A '=.同样,若二元函数f 在点),(00y x 可微,则f 在),(00y x 处的全增量可由()()()ρο+∆+∆=-∆+∆+=∆y B x A y x f y y x x f z 0000,,表示.现在讨论其中A 、B 的值与函数f 的关系.为此,在式子y x y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆βα中令)0(0≠∆=∆x y ,这时得到z ∆关于x 的偏增量z x ∆,且有x x A z x ∆+∆=∆α或者α+=∆∆A xzx 现让0→∆x ,由上式得A 的一个极限表示式()()xy x f y x x f x z A x x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆000000,,lim lim,容易看出,上式右边的极限正是关于x 的一元函数()0,y x f 在0x x =处的导数.类似地,令)0(0≠∆=∆y x , 由yx y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆βα又得到()()yy x f y y x f yz B y y x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆00000,,l i mlim ,它是关于y 的一元函数()y x f ,0在0y y =处的导数.综上所述,可知函数()y x f z ,=在点),(00y x 处对x 的偏导数,实际上就是把y 固定在0y 看成常数后,一元函数()0,y x f z =在点0x 处的导数,同样,把x 固定在0x ,让y 有增量y ∆,如果极限存在,那么此极限称为函数()y x f z ,=在),(00y x 点处对y 的偏导数.记作()00,y x f y .因此,二元函数当固定其中一个自变量时,它对另一个自变量的导数称为偏导数,可定义如下：定义3 设函数()y x f z ,=,(,)x y D ∈.若00(,)x y D ∈,且()0,y x f 在0x 的某一邻域内有定义,则当极限()()()xy x f y x x f x y x f x x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆00000000,,lim ,lim存在时,称这个极限为函数f 在点()00,y x 关于x 的偏导数,记作()00,y x f x 或),(00|y x x f∂∂ 注意 1 这里符号x ∂∂,y ∂∂专用于偏导数算符,与一元函数的导数符号dxd 相仿,但又有差别.注意 2 在上述定义中,f 在点()00,y x 存在关于x （或y ）的偏导数,f 至少在{}δ<-=00,|),(x x y y y x （或{}δ<-=00,|),(y y x x y x ）上必须有定义.若函数()y x f z ,=在区域D 上每一点()y x ,都存在对x （或对y ）的偏导数,则得到函数()y x f z ,=在区域D 上对x （或对y ）的偏导数（也简称偏导数）,记作()y x f x ,或x y x f ∂∂),(（()y x f y ,或yy x f ∂∂),(）,也可简单地写作x f ,x z 或x f ∂∂（y f ,y z 或yf∂∂）. 2 二元函数三个概念的进一步研究2.1 二元函数连续性的进一步研究一元函数若在某点存在左导数和右导数,则这个一元函数必在这点连续,但对于二元函数()y x f ,来说,即使它在某点()000,y x P 既存在关于x 的偏导数()00,y x f x ,又存在关于y 的偏导数()00,y x f y ,()y x f ,也未必在点()000,y x P 连续.不过,我们却有如下定理：定理1 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义,若()y x f ,0作为y 的一元函数在点y =0y 连续,()y x f x ,在()0P U 内有界,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.证明 任取()y y x x ∆+∆+00,∈()0P U , 则()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+()()()()00000000,,,,f x x y y f x y y f x y y f x y =+∆+∆-+∆++∆- (1) 由于()y x f x ,在()0P U 存在,故对于取定的y y ∆+0, ()y y x f ∆+0,作为x 的一元函数在以0x 和0x +x ∆为端点的闭区间上可导,从而据一元函数微分学中的拉格朗日中值定理,存在θ∈(0 ,1) ,使()()()x y y x x f y y x f y y x x f x ∆∆+∆+=∆+-∆+∆+000000,,,θ将它代入(1) 式, 得()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+()()()000000,,,x f x x y y x f x y y f x y θ=+∆+∆∆++∆- (2)由于()∈∆+∆+y y x x 00,θ()0P U ,故()y y x x f x ∆+∆+00,θ有界,因而当()()0,0,→∆∆y x 时, 有00(,)0f x x y y x +∆+∆⋅∆→.又据定理的条件知,()y x f ,0在y =0y 连续,故当()()0,0,→∆∆y x 时, 又有0000(,)(,)0f x y y f x y +∆-→.所以, 由(2) 知, 有[]000000lim (,)(,)0x y f x x y y f x y ∆→∆→+∆+∆-=.这说明()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论 1 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义,若()y x f ,0作为y 的一元函数在点0y y =连续,()y x f x ,在点()000,y x P 连续,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.证明 由于()y x f x ,在点()000,y x P 连续,故()y x f x ,必在点()000,y x P 的某邻域内有界,因而据定理1 ,()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论 2 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义. 若()y x f x ,在()0P U 有界, ()00,y x f y 存在,则()y x f , 在点()000,y x P 连续.证明 由于()00,y x f y 存在,故()y x f ,0作为y 的一元函数在点y =0y 连续,从而据定理1可得 ,()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论 3 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义,若()y x f x ,在点()000,y x P 连续, ()00,y x f y 存在,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.证明 由于()y x f x ,在点()000,y x P 连续,故()y x f x ,必在点()000,y x P 的某邻域内有界. 又由于()00,y x f y 存在,故()y x f ,0作为y 的一元函数在点0y y =连续,因而据定理1可得出 ,()y x f ,在点()000,y x P 连续.同理可证如下的定理2及其推论.定理 2 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 有定义,()y x f y ,在()0P U 内有界,()0,y x f 作为x 的一元函数在点x =0x 连续,则()y x f ,在()000,y x P连续.推论 1 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域内()0P U 有定义, ()y x f y ,在点()000,y x P 连续, ()0,y x f 作为x 的一元函数在点0x x =连续,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论 2 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域内()0P U 有定义,()y x f y ,在()0P U 内有界, ()00,y x f x 存在,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论 3 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 有定义, ()y x f y , 在点()000,y x P 连续, ()00,y x f x 存在,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.2.2 二元函数可微性的进一步研究众所周知,一元函数中,可微性与可导是一回事,但在二元函数中情况就不同了.定理 3 函数(,)f x y 在点00(,)P x y 可微的充分必要条件是(,)f x y 在点00(,)P x y 的俩个偏导数都存在,且对0ε∀>,0δ∃>,当0000(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y ε--+≤00()x x y y -+-.证明 必要性 已知函数(,)f x y 在点00(,)P x y 可微,故00(,)x f x y 与00(,)y f x y 存在,且00000000(,)(,)(,)()(,)()()x y z f x y f x y f x y x x f x y y y ορ∆=-=-+-+, 其中00()()x x y y ρ=-+-. 即0000(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y --+[]000000(,)()(,)(,)x f x y x x f x y f x y =---+ []00000000(,)(,)()(,)(,)()y y f x y f x y y y f x y f x y ορ+---+于是,当00(,)(,)x y x y ≠时,有000000(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y x x y y --+-+-000000(,)(,)(,)x f x y f x y f x y x x x x ρ--⋅--≤000000(,)(,)(,)()y f x y f x y f x y y y y y ορρρ--⋅--++000000(,)(,)(,)x f x y f x y f x y x x -≤--000000(,)(,)()(,)0(0)y f x y f x y f x y y y ορρρ-+-+→→-从而当0ρ→（即00(,)(,)x y x y →）时,000000(,)(,)(,)(,)0f x y f x y f x y f x y x x y y --+→-+-即0ε∀>,0δ∃>,当0x x δ-<与0y y δ-<且00(,)(,)x y x y ≠时,有000000(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y x x y y ε--+<-+-所以,0ε∀>,0δ∃>,当0x x δ-<与0y y δ-<且00(,)(,)x y x y ≠时,有0000(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y ε--+≤ 00()x x y y -+-.充分性 已知函数(,)f x y 在点00(,)P x y 两个偏导数存在,0ε∀>,0δ∃>,当0x x δ-<与0y y δ-<且00(,)(,)x y x y ≠时,有000000(,)(,)(,)(,)()f x y f x y f x y f x y x x y y ε--+≤-+-令00()()x x y y ρ=-+-,则当0ρ→时,有0000(,)(,)(,)(,)0f x y f x y f x y f x y ρ--+→于是当00(,)(,)x y x y ≠时,有000000(,)()(,)()x y y z f x y x x f x y f y y ∆--+-[]000000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)()f x y f x y f x y f x y f x y f x y x x x x ⎡⎤---++-⎢⎥-⎣⎦0000000(,)(,)(,)()y f x y f x y f x y y y y y ⎡⎤-+--⎢⎥-⎣⎦从而有000000(,)()(,)()x y y z f x y x x f x y f y y ρ∆--+-=0000(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y ρ--++0000000(,)(,)(,)()x f x y f x y x x f x y x x ρ⎡⎤---+⎢⎥-⎣⎦ 0000000(,)(,)(,)()0(0)x f x y f x y y y f x y x x ρρ⎡⎤---→→⎢⎥-⎣⎦ 所以,函数(,)f x y 在点00(,)P x y 可微.证毕.定理 4 若函数()y x f z ,=在()00,y x 点处,()y x f x ,连续()00,y x f y 存在（或()00,y x f x 存在,()y x f y ,连续）,则函数()y x f z ,=在()00,y x 处可微.由此定理的条件仍有对一个偏导数（二元）连续性的要求.因而用来判断函数的可微性仍有较大的局限性.例如：对于函数2221sin (,)0,x x y f x y ⎧⎪+=⎨⎪⎩002222=+≠+y x y x , ())0(1cos )(21sin 2,2222222322≠+++-+=y x yx y x x y x x y x f x 有 ())0(1cos )(2,22222222≠+++-=y x yx y x y x y x f y ())0(1cos 21sin20,22≠-=x xx x x x f x 从而())0(21cos 21,2≠-=x xx x x f y 由于)0,(lim 0x f x x →和),(lim 0x x f y x →都不存在,因而),(y x f x 和),(y x f y 在点)0,0(都不连续.关于),(y x f 在点)0,0(的可微性,无论是根据教材中所介绍的定理,还是根据上述定理都不能给出肯定的结论.本文给出另一个可微的充分条件,它完全放弃对两个偏导数（二元）连续性的要求,因而对某些函数可微性的判定有独到的作用.为了叙述方便,引入如下概念.定义 如果对于函数),(y x f z =存在0>η,使得当η<∆y 时,),(00y y x f x ∆+存在,且当0→∆x 时,变量000000(,)(,)(,)(0),(,)0(0),x f x x y y f x y y f x y y x x y xx α+∆+∆-+∆⎧-+∆∆≠⎪∆∆=∆⎨⎪∆=⎩ 关于y ∆一直趋向于0,即对任意的0>ε,存在0>δ,当δ<∆<x 0时,对任意y ∆（y η∆<）都有(,)x y αε∆∆<成立,我们就称函数(,)z f x y =在点00(,)x y 关于y 对x 一致可导.类似地可定义),(y x f z =在点),(00y x 关于x 对y 一致可导.定理 5 若函数),(y x f z =在点),(00y x 有：),(00y x f y 存在,),(y x f 关于y 对x 一致可导,且),(y x f o x 在0y 连续,则),(y x f z =在点),(00y x 可微.证明: 因),(00y x f y 及),(00y y x f x ∆+)(η<∆y 存在,故有),(),(),(000000y x f y y x x f y x y -∆+∆+=∆),(),(),(),(00000000y x f y y x f y y x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+=[][]y y y x f x y x y y x f y x ∆∆++∆∆∆+∆+=)(),(),(),(0000βαy y y y x f x y x x y y x f y x ∆∆+∆+∆∆∆+∆∆+=)(),(),(),(0000βα（3）其中),(y x ∆∆α如前述定义,而0)(→∆y β（)0,0→∆→∆y x ）, 于是有0)(lim22=∆+∆∆⋅∆→∆→∆yx yy y x β （4）又因为),(0y x f x 在0y 连续,故有),(),(lim 000000y x f y y x f x y x x =∆+→∆→∆ （5）再由),(y x ∆∆α所具备的性质知,对任意0>ε,存在)(0ηδδ<>,当δδ<∆<∆y x ,且022≠∆+∆y x 时,有εα<∆∆),(y x 此即0),(lim 00=∆∆→∆→∆y x y x α从而0),(lim220=∆+∆∆∆∆→∆→∆yx xy x y x α （6）综合（3）——（6）式即得[]0),(),(),(lim2200000000=∆+∆∆+∆-∆→∆→∆y x yy x f x y x f y x f y x y x可见),(y x f 于),(00y x 可微.显然,调换定理条件中x f 和y f 的位置,结论仍然成立.指出,尽管定理5已完全放弃对两个偏导数的（二元）连续性要求,但它所给出的条件仍然不是可微的必要条件.因此,如何用两个偏导数所应具备的性质来等价地刻画二元函数的可微性,就需要进一步的探讨,这对以后仍是大我们还要有裨益的.1. 若果f 在点),(00y x 处不连续或偏导数不存在,则f 在点),(00y x 处不可微.2. 若果f 在点),(00y x 处连续,存在),(00y x f x 、),(00y x f y ,则f 在点),(00y x 处可微的充分必要条件是满足下列等价的任一式： （1） ),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆220000(),(),(y x y y x f x y x f y x ∆+∆+∆+∆=ε其中0→ε（当0,0→∆→∆y x ）（2） ),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆y x y y x f x y x f y x ∆=∆+∆+∆=210000),(),(εε 其中120,0εε→→（当0,0→∆→∆y x 时）推论 4 若二元函数(,)z f x y =在00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y ,00(,)y f x y 均存在,且00(,)xy f x y 或者00(,)yx f x y 存在,则函数(,)f x y 在00(,)x y 处可微.证明 不妨设00(,)xy f x y 存在（00(,)yx f x y 存在的情形可作类似证明）.因为000000(,)(,)(,)limx x xy y y f x y f x y f x y y y →-=-所以000lim (,)(,)x x y y f x y f x y →=,即0(,)x f x y 在0y y =处连续.根据定理3可知函数(,)f x y 在00(,)x y 处连续. 2.3 二元函数偏导数存在性进一步研究二元函数()y x f ,在点),(0o y x 的两个偏导数有明显的几何意义：设)),(,,(00000y x f y x M 为曲面),(y x f z =上的一点,过0M 作平面0y y =,截此曲面得一曲线,此曲线在平面0y y =上的方程为),(0y x f z =,则导数0|),(0x x y x f dxd→, 即偏导数),(00y x f x ,就是这曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴的斜率.同样,偏导数),(00y x f y 的几何意义是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴的斜率.我们已经知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续.但对于二元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.这是因为各偏导数存在只能保证点P 沿着平行于坐标轴的方向趋于0P 时,函数值)(p f 趋于)(0p f ,但不能保证点P 按任何方式趋于0P 时,函数值)(p f 都趋于)(0p f .3 二元函数三个概念之间关系的总结3.1 二元函数连续性与偏导数存在性的关系及例证对一元函数来说,可导必连续.但对二元函数来说,即使x f ,y f 存在但f 也不一定连续.事实上,对于二元函数来说,函数在一点处的偏导数存在和函数在该点处连续是没有必然联系的.下面加以说明这个问题. 3.1.1 二元函数连续,但偏导不一定存在的举例证明例 1 讨论函数()22,y x y x g +=在点()0,0处的连续性和偏导数是否存在？ 解： 由()()()()()220,0,0,0,lim,lim y x y x g y x y x +=→→0=(0,0)g =可知函数()22,y x y x g +=在点()0,0连续. 而由偏导数定义：0(0,0)(0,0)(00)limx x g x g f x∆→+∆-=∆2001,0lim lim 1,0x x x x x x x x ∆→∆→∆>∆⎧∆===⎨-∆<∆∆⎩该极限()0,0x g 不存在,同理可证()0,0y g 也不存在. 所以函数),(y x g 在()0,0点的偏导数不存在. 由此说明,二元函数在一点连续,偏导数未必存在. 3.1.2 二元函数偏导存在,但不一定连续的举例证明例 2 函数()22,,1,x y f x y ⎧+=⎨⎩ 00≠=xy xy 在点()0,0处()0,0x f ,()0,0y f存在,但不连续.证明 由偏导数定义：()()()xf x f f x x ∆-∆+=→∆0,00,0lim 0,00 0lim x x ∆→=∆0= 同理可求得 ()0,00y f = 因为()()()()()()()22,0,0,0,0lim,lim00,01x y x y f x y x y f →→=+=≠=故函数()22,,1,x y f x y ⎧+=⎨⎩00≠=xy xy 在点()0,0处不连续.综上可见,对于二元函数()y x f ,在某点()00,y x 的连续性与偏导数存在,两者之间没有必然的联系,即()y x f ,在某点()00,y x 偏导数存在与否,与其在该点是否连续无关.但如果假定函数的各个偏导数有界,即有下面命题：命题 1 如果二元函数f 在点00(,)P x y 的某邻域()U P 内的偏导数x f ,y f 有界,则f 在()U P 内连续.证明 由x f ,y f 在()U P 内有界,设此邻域为1(,)U P δ,存在0M >,使x f M <,y f M < ,在1(,)U P δ内成立,由于12(,)(,)(,)(,)x y Z f x x y y f x y f x x y y x f x y y y M x M yθθ∆=+∆+∆-=+∆+∆∆++∆∆≤∆+∆（其中120,1θθ≤≤）.所以对任意的正数ε,存在1,2(1)M εδδ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭,当,x y δδ∆<∆<时,有(,)(,)f x x y y f x y ε+∆+∆-<,故f 在(,)U P δ内连续.3.2 二元函数可微性与偏导数存在性的关系及例证 3.2.1 可微与偏导存在关系的举例证明定理 6 （可微的必要条件）若二元函数()y x f z ,=在其定义域内一点()000,y x P 处可微,则f 在该点关于每个自变量的偏导数都存在,且()()()000000|,,,x x d x y f x y dx f x y dy =+ ,()00,y x f A x =,()00,y x f B y =. 证明 由于()y x f ,在点),(000y x P 可微,则())(),(,0000ρο+∆+∆=-∆+∆+=∆y B x A y x f y y x x f z其中,y x ∆∆,为自变量y x ,的该变量,B A ,仅与点),(000y x P 有关,而与y x ∆∆,无关,22y x ∆+∆=ρ.若令0y y =即0=∆y ,于是x ∆=ρ,故)(x x A z ∆+∆=∆ο可见xx A x z∆∆+=∆∆)(ο,Axx A x zy x f x y x x =∆∆+=∂∂=→∆))((lim |),(0),(0000ο,即()A y x f x =00,,类似可证()B y x f y =00,.可见,对于二元函数,偏导数的存在是函数),(y x f z =可微分的必要条件.但是偏导数的存在不是函数可微分的充分条件.事实上,当一个二元函数),(y x f z =在点),(y x 处的偏导数yzx z ∂∂∂∂,都存在时,尽管形式上可以写成式子y y zx x z ∆∂∂+∆∂∂,但是它与z ∆之间可以不是22y x ∆+∆=ρ的高阶无穷小,因而由定义,此时函数),(y x f z =在点),(y x 处是不可微的.注 1：定理5的逆命题不成立.即二元函数()y x f ,在点()000,y x P 处的偏导数即使存在也不一定可微.下面用例3说明函数在一点的偏导数存在,但函数在该点却不可微.例 3 证明函数()22,,0,xy x y f x y ⎧⎪+=⎨⎪⎩002222=+≠+y x y x 在原点两个偏导数存在,但不可微.证明 由偏导数的定义：()()()xf x f f x x ∆-∆+=→∆0,00,0lim0,00=000lim0x x∆→-=∆同理可证()0,00y f =,即在原点关于x 与y 的偏导数存在. 下面利用可微的定义来证明其不可微 用反证法：若函数f 在原点可微,则())(()()00,00,00,00,0y f df f x y f f dx f dy ⎡⎤⎡⎤∆-=+∆+∆--+⎣⎦⎣⎦ 22x y x y∆∆=∆+∆应是较22y x ∆+∆=ρ的高阶无穷小量,为此考察极限2200limlimy x yx dff ∆+∆∆∆=-∆→→ρρρ当动点()y x ,沿直线mx y =趋于()0,0时, 则()()()()220,0,220,0,11lim limm mm m y x xy y x mx y y x +=+=+→=→ 这一结果说明动点沿不同斜率m 的直线趋于原点时,对应的极限值也不同,因此所讨论的极限不存在.故函数f 在原点不可微. 3.2.2 偏导连续与可微关系的举例证明定理 7 （可微的充分条件） 若二元函数()y x f z ,=的偏导在点()000,y x P 的某邻域内存在且x f 与y f 在点()000,y x P 处连续,则函数()y x f ,在点()000,y x P 可微.可微的充分条件可以改进： 如果函数()y x f z ,=满足以下条件： 1. (,)x f x y 在点00(,)x y 处存在；2. (,)y f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内存在；3. (,)y f x y 在点00(,)x y 处连续； 则(,)f x y 在点00(,)x y 处可微.证明 由于00(,)x f x y 存在,即有：0000000(,)(,)lim (,)x x f x x y f x y f x y x ∆→+∆-=∆ 即：0000(,)(,)(,)x f x x y f x y f x y xα+∆-=+∆（其中0lim 0x α∆→=）则000000(,)(,)(,)x f x x y f x y f x y x x α+∆-=⋅∆+⋅∆由于(,)x f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内存在,不妨设(,)y f x y 在ω={01(,)|x y x x ψ-<且02y y ψ-<}内存在设0()(,)g y f x x y =+∆并规定1x ψ∆<则()g y 在20|2y y y ψ⎧⎫-≤⎨⎬⎩⎭上每一点都存在,从而()g y 在20|2y y y ψ⎧⎫-≤⎨⎬⎩⎭上每一点都连续,规定：22y ψ∆≤则根据中值定理存在1y ,使得：001()()()g y y g y g y y +∆-=∆（其中10y y y -≤∆）即：000001(,)(,)(,)y f x x y y f x x y f x x y y +∆+∆-+∆=+∆⋅∆当220x y ∆+∆→且0y ∆→ 从而有00x x x +∆→,10y y →又由于0100(,)(,)y y f x x y f x y +∆=在点00(,)x y 处连续0100(,)(,)y y f x x y f x y β+∆=+其中220lim 0x y β∆+∆→=则000000(,)(,)(,)y f x x y y f x x y f x y y y β+∆+∆-+∆=⋅∆+⋅∆综上所述有：0000(,)(,)f x x y y f x y +∆+∆-[][]00000000(,)(,)(,)(,)f x x y y f x y f x x y y f x y =+∆+∆-++∆+∆- 0000(,)(,)x y f x y x x f x y y y αβ=∆+⋅∆+∆+⋅∆又由于2222lim0x y x yx yαβ∆+∆→⋅∆+⋅∆=∆+∆故(,)f x y 在点00(,)x y 点可微.证毕.教材中关于二元函数的微分一般只是分别给出了必要条件和充分条件,对可微的充要条件涉及比较少.偏导数的存在是函数可微的必要条件而不是充分条件,但是,如果在假设函数的各个偏导数连续,则函数是可微的.但此条件给的太强,于是我们总结了判别二元函数在某点可微的一个充分条件,可对此定理的条件进行减弱,得出：定理 8 若函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的邻域G 内()y x f x ,连续,()00,y x f y存在,则函数f 在点()00,y x 可微.证明 全增量()),(,0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆[][]),(),(),(),(00000000y x f y y x f y y x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+=这里第一个括号是当y y y ∆+=0时函数关于x 的增量,而第二个括号则是当0x x =时函数关于y 的增量,对于它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理,得()y y y x f x y y x x f z y x ∆∆++∆∆+∆+=∆),(,200010θθ )1,0(21<<θθ 由于()y x f x ,,()00,y x f y 在点()00,y x 连续,因而有()αθ+=∆+∆+),(,00010y x f y y x x f x x ,()βθ+=∆+),(,00200y x f y y x f y y , 其中当)0),((→∆∆y x 时,0,0→→βα.所以()()y x y y x f x y y x f z y x ∆+∆+∆+∆=∆βα0000,, 令22y x ∆+∆=ρ,则当0→ρ时,ερρβραρβα⋅=∆+∆=∆+∆)(yxy x 是关于ρ的高阶无穷小.事实上,由于βαρβραε+≤∆+∆=yx而当0→ρ时0→ε,即)(ροερβα=⋅=∆+∆y x .这就证明了),(y x f z =在点),(00y x 是可微的.例 4 求证21sin ,0(,)0,0x e y y y f x y y ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点(0,0)可微.证明 因为0(,)(,)(,)lim x f f x x y f x y x y x x∆→∂+∆-=∂∆22011sin sin limx x x x e y e y y yx+∆∆→-=∆201sin (1)limx xx e y e yx∆∆→-=∆21sin(0)x e y y y=≠0(,)(,)limy f f x y y x y x y∆→∂+∆=∂∆ 22011()sin sin limx x y e y y e y y y yy∆→+∆-+∆=∆11112sincos (2sin cos )x x x e y e e y y y y y=-=-.(0)y ≠ 00(,0)(,0)00(,0)lim lim 0x x f f x x f x x x xx ∆→∆→∂+∆--===∂∆∆同理(0,)0fy y∂=∂ 即21sin ,0(,)0,0x e y y f y x y x y ⎧≠∂⎪=⎨∂⎪=⎩ 11(2sin cos ),0(,)0,0xe y yf y y x y x y ⎧-≠∂⎪=⎨∂⎪=⎩于是(0,0)(0,0)0x y f f == 又2001lim sin0x x y e y y∆→X →=, 所以(,)x f x y 在点(0,0)连续. 但0011lim (2sincos )x x y e y y y∆→X →-不存在,即(,)y f x y 在(0,0)点不连续. 又定理8可知(,)f x y 在点(0,0)可微.显然,与传统的判别方法相比,这个充分条件更加减弱了判别条件,进一步阐明了二元函数偏导数与可微性的关系,使适用范围扩大,适用性加强.注意 这个条件是可微的充分条件并非必要条件,即()y x f z ,=在()00,y x 的邻域G 内()00,y x f y 存在但()y x f x ,不连续,但()y x f ,在点()00,y x 也可微.下面我们用例5说明函数在一点可微,但它的偏导数在该点却不连续. 例 5 求函数()()22221sin ,,0,x y x y f x y ⎧+⎪+=⎨⎪⎩ 002222=+≠+y x y x ,在原点()0,0处,（1）()0,0y f 是否存在 （2）x f 是否连续（3）是否可微.解 （1） 由定义知()()()0,0,00,0limx y f y f f y∆→∆-=∆221sinlim 0y y y y∆→∆∆==∆所以()0,0y f 存在.（2） 因为当022≠+y x 时,()y x f ,偏导数存在,故()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+=,0,1cos 11sin 2,222222y x y x y x x y x f x 002222=+≠+y x y x , 而()y x f x y x ,lim 00→→不存在,故()y x f ,在原点不连续.（3）法 1：因()()200,00,01(0,0)limlim sin 0x x x f x f f x x x→→-=== ()()2000,0,01(0,0)limlim sin 0y y y f y f f y y y→→-=== 则()()0,00,00x y df f dx f dy =+=()22221,(0,0)()sinf f x y f x y x y∆=-=++ 221sinρρ=（()22,:0x y x y ∀+≠）从而2221sin1limlimlim sin0f dfρρρρρρρρρ→→→∆-===即函数(),f x y 在点()0,0可微.法 2：(0,0)0x f =,(0,0)0y f =,(0,)(0,0)(0,0)lim00x x xy y f y f f y →-==-即(0,0)x f ,(0,0)y f 存在,且(0,0)xy f 存在.根据推论4可知题设所给函数(,)f x y 在(0,0)处可微.3.3 二元函数连续性与可微性的关系及例证类似于一元函数的连续性与可导性间的关系,即二元函数(),f x y 在点()000,P x y 可微,则必连续.反之不然.定理 9 若二元函数()y x f ,在其定义域内一点()y x ,可微,则f 在该点必然连续.证明 事实上()ρο+B∆+A∆=∆y x z ,0lim 0=∆→z ρ,()()[]()y x f z y x f y y x x f y x ,,lim ,lim 0=∆+=∆+∆+→→∆→∆ρ故f 在()y x ,连续.注意 函数()y x f ,在某点()y x ,可微,则()y x f ,在该点连续;但()y x f ,在某点()y x ,连续,函数在该点却不一定可微.例 6 证明函数(),||f x y xy =在点()0,0连续,但它在点()0,0不可微.证明 （1） 因为()()000lim ,lim ||00,0x x y y f x y xy f →→→→===,故函数(),||f x y xy =在点()0,0连续.（2） 因为(0,0)(0,0)||||f f x y f x y ∆=+∆+∆-=∆∆()()0,00,00x y df f dx f dy =+=所以 2200||||limlim()()x y x y f dfx y ρρ→∆→∆→∆∆∆-=∆+∆当动点(),x y 沿直线y x =趋于()0,0时,有2200||||1lim02()()x y x y x y ∆→∆→∆∆=≠∆+∆ 即0lim0f dfρρ→∆-≠,故(),f x y 在原点()0,0不可微.例 7 函数y x y x f +=),(在点)0,0(处连续,但在)0,0(点不可微. 解： 因为()()()()())0,0(0)(lim ,lim0,0,0,0,f y x y x f y x y x ==+=→→所以y x y x f +==),(在点)0,0(处连续. 又因为xx x f x f f x x x ∆∆=∆-∆+=→∆→∆00l i m )0,0()0(l i m)0,0(,此极限不存在；同理)0,0(y f 的极限也不存在.因此不能把)(ρο+∆+∆=∆y B x A z 的形式.4 二元函数连续性、偏导数存在性及可微性关系的概图如果函数(),z f x y ∆=在点(,)x y 可微分,则函数在该点必连续,反之不一定成立.如果函数(),z f x y ∆=在点(,)x y 可微分,则函数在该点的偏导数必存在,反之一定成立.如果函数(),z f x y ∆=在点(,)x y 连续,则偏导不一定存在. 如果函数(),z f x y ∆=在点(,)x y 偏导存在,则不一定连续.如果函数(),z f x y ∆=在点(,)x y 偏导连续,则函数在该点必可微,反之不一定成立.综上所述二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的关系如下图所示.偏导连续可微连续偏导存在结束语本文对二元函数连续性、偏导数存在性及可微性之间关系的讨论,根据分析可以看出二元函数连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系比一元函数连续、导数存在及可微之间的关系要复杂的多,究其原因主要在于二元函数极限比一元函数极限对自变量的要求更高、更复杂.如0lim ()x x f x →只要求在x 从0x 的左右俩侧趋向于0x 时,()f x 趋于同一值.而对()()()00,,lim,x y x y f x y →要求点(),x y 以任何方式趋向于点()00,x y 时,(),f x y 都趋向于同一极限,任何方式包含了x 与y 的不同关系以及趋向时的不同路径,从而导致二元函数产生了二重极限与累次极限的区别,正是由于二元函数极限的这种复杂性导致了二元函数诸多关系的复杂性.依据本文的分析得出它们三者之间的关系,不但对学习是一种积极的推动作用,有助于使学生对这方面的知识不会产生干扰,能较好地辨别它们之间的本质区别,使得原有知识更加牢固,也同时抓住了函数的本质.这方面的知识繁多,证明的方法难易悬殊,使用技巧各异,而且同一问题也可用多种不同方法来解决. 二元函数连续性、偏导数存在性及可微性之间关系的知识是人类智慧最伟大的成就之一,是数学上的伟大创造,它现在广泛影响着生产技术和科学的发展,如今已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具.以上我从比较初等的方法入手,进而对二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的若干概念、定理、性质等内容这一方面的内容作了浅显的论述,将初等数学和高等数学的有关内容衔接起来,从而在整体上更好地理解有关这方面的知识.至于解决具体问题时个人可依据知识的储备、问题的要求来进行方法的选择.本文列举了二元函数连续性、偏导数存在性及可微性这方面的知识和证明方法,根据证明方法、举例、适用范围进行了归纳总结,力求有理论依据、有例题参考、有实用价值．从定义出发证明是最“原始”的做法,不易被人想到,但它在证明中确有其优势.证明的方法应该还有很多,对于其它新的方法有待于进一步探索与研究.为此,我们有必要学习好、掌握好二元函数连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系这方面的知识,配以先进的管理观念和现代化的通信、网络、计算机技术,尽可能的把这些知识灵活运用推广,满足其他行业对这些知识的需要,创造更好的经济效益和社会效益.参考文献[1] 华东师范大学数学系. 数学分析（下）[M] . 北京: 高等教育出版社,2001: 100 –112[2] 吉米多维奇. 数学分析习题集[M] . 北京: 人民教育出版社, 1958: 62-78[3]马振民. 数学分析的方法与技巧选讲[M]. 兰州: 兰州大学出版社, 1999: 36-54.[4] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京: 北京高等教育出版社, 1993: 86-97.[5] 华东师范大学数学系. 数学分析[M] . 北京: 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浅谈二元函数的连续性、可导性与可微性
浅谈二元函数的连续性、可导性与可微性杨松华;陆宜清【期刊名称】《南阳师范学院学报》【年(卷),期】2012(011)012【摘要】The continuity, differentiability and differentiability of the function in higher mathematics are major and difficult content. This paper uses binary function continuous, differentiable, differentiable concepts and knowledge, the continuity of the binary function, conductivity, can differentiability discussed with the continuity of the function of one variable, differentiability, differentiable difference and connection.%函数的连续性、可导性、可微性是高等数学中的重点、难点内容．运用二元函数连续、可导、可微的概念及相关知识，对二元函数的连续性、可导性、可微性进行了讨论，给出了与一元函数的连续性、可导性、可微性的区别与联系．【总页数】4页(P87-90)【作者】杨松华;陆宜清【作者单位】郑州大学数学系,河南郑州450001;郑州牧业工程高等专科学校信息工程系,河南郑州450011【正文语种】中文【中图分类】O174.1;G642【相关文献】1.二元函数f（x,y）的一致可导与一致可微性 [J], 黄小平2.二元函数可导、可微与连续性的关系 [J], 毛海勤3.讨论二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系 [J], 张鸿;门艳红4.二元函数可导性与可微性的探讨 [J], 王仲梅;孟献青5.浅谈二元函数的可微性 [J], 黄梅英因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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f x (0,0=li m
Δx →x
f (0+Δx,0-f (0,0
Δx
=
li m Δx →x Δx 2
Δx =1,Δx >0,-1,Δx <0.故f x (0,0不存在.同理可证f y (0,0也不存在.
1.2函数f (x,y在点P 0(x 0,y 0偏导存在,但不
f (x,y =li m
x →0y →0
|xy |=
0=f (0,0,故函数f (x,y =|xy |在点(0,0
连续;
(2因为Δf =f (0+Δx,0+Δy -f (0,0=|Δx ||Δy |
d f =f ′x (0,0d x +f ′
y (0,0d y =0
所以li m
ρ→0Δf -d f
ρ=li m Δx →0Δy →0
一定连续
例2函数f (x,y =
x 2
+y 2
,xy =0
1,xy ≠0
在点
(0,0处f x (0,0,f y (0,0存在,但不连续.
证明 由偏导数定义:
f x (0,0=li m Δx →x f (0+Δx,0-f (0,0
Δx
=li m Δx →x
Δx =0,
同理可求得f y (0,0=0.
因为li m
第23卷哈尔滨师范大学自然科学学报
Vol .23,No .22007
第2期
NAT URAL SC I E NCES JOURNAL OF HARB I N NOR MAL UN I V ERSI TY
讨论二元函数连续性、偏导存在性
及可微性间的关系
张 鸿
(哈尔滨师范大学阿城学院
门艳红
(青岛飞洋职业技术学院
x→0
(2x sin 1
2x2
-
1
x
cos
1
2x2
不存在,则f x(x,y在(0,0点间
断.同理可证f
y
(x,y在(0,0点间断.
(2因f x(0,0=li m
x→0
f(x,0-f(0,0
x
=li m
x→0
x sin
1
x2
=0,
f y(0,0=li m
x→0
f(0,y-f(0,0
y
=li m
y→0
y sin
1二元函数连续性与偏导存在性间
的关系
1.1函数f (x,y在点P 0(x 0,y 0连续,但偏
导不一定存在.
例1证明函数f (x,y =x 2
+y 2
在点(0,
0连续偏导存在.
证明 Байду номын сангаас为li m (
x,y →(0,0
f (x,y =
li m (x,y →(
0,0
x 2
+y
2
=0=f (0,0
故函数f (x,y =x 2+y 2
【摘要】 通过具体实例对二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系进行
讨论.
关键词:连续性;偏导存在性;可微性
收稿日期:2006-11-08
0引言
多元函数是一元函数的推广,因此它保留着一元函数的许多性质,但也有某些差异,这些差异
主要是由于多元函数的“多元”(即自变量由一个增加到多个而产生的.对于多元函数我们着重讨论二元函数,在掌握了二元函数的有关理论与研究方法之后,再将它推广到一般的多元函数中去.本文将通过具体实例来讨论二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系.
(
x,y →(
0,0
f (x,y =
li m
(x,y →(
0,0
(x 2+y 2
=0≠f (0,0=1
故函数f (x,y =
x 2
+y 2
,xy =0
1,xy ≠0
在点(0,0处
不连续.
综上可见,二元的连续性与偏导存在性间不存在必然的联系.
2二元函数的可微性与偏导存在性间的关系
2.1可微与偏导存在
定理1(可微的必要条件 若二元函数f(x, y在其定义域内一点P0(x0,y0处可微,则f在该点关于每个自变量的偏导都存在,且d f|
Δx→x f(0+Δx,0-f(0,0
Δx
=li m
Δx→x 0-0
Δx=
0,
同理可求得f
y
(0,0=0.
下面利用可微的定义来证明其不可微,用反证法.若函数f在原点可微,则Δf-d f=[f(0+
Δx,0+Δy-f(0,0]-[f
x (0,0d x+f
y
(0,
0d y]=
ΔxΔy
Δx2+Δy2
,应是较ρ=Δx2+Δy2的
高阶无穷小量,为此考察极限
li m ρ→0Δf-d f
ρ=
li m
ρ→0
ΔxΔy
Δx2+Δy2
当动点(x,y沿直线y=m x趋于(0,0时,则
li m (x,y→(0,0
xy x2+y2
=li m
(x,y→(0,0
y=m x
m
1+m2
=
m
1+m2
这一结果说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时,对应的极限值也不同,因此所讨论的极限不存在.故函数f在原点不可微.
3二元函数的连续性与可微性间的
关系
类似于一元函数的连续性与可导性间的关
系,即二元函数f(x,y在点P
(x
,y0可微,则必
连续.反之不然.
例5证明函数f(x,y=|xy|在点(0, 0连续,但它在点(0,0不可微.
33
第2期 讨论二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系
证明(1因为li m x →0y →0
(x0,y0
= f x(x0,y0d x+f y(x0,y0d y.
注1:定理1的逆命题不成立,即二元函数f(x,y在点P0(x0,y0处的偏导即使存在,也不一定可微.
例3
f(x,y=
xy
x2+y2
,x2+y2≠0, 0,x2+y2=0
在原点两个偏导存在,但不可微.
证明 由偏导数定义:
f x(0,0=li m
1
y2
=0
则d f=f
x
(0,0d x+f
y
(0,0d y=0,
Δf=f(x,y-f(0,0=(x2+y2sin1
x2+y2 =ρ2sin
1
ρ2
(Π(x,y:x2+y2≠0
从而
li m
ρ→0
Δf-d f
ρ=
li m
ρ→0
ρ2sin1
ρ2
ρ=
li m
ρ→0
ρsin1
ρ2
=0,即函数f(x,y在点(0,0可微.
2.2偏导连续与可微
定理2(可微的充分条件 若二元函数z=f(x,y的偏导在点P0(x0,y0的某邻域内存在,
且f
x
与f
y
在点P
(x
,y0处连续,则函数f(x,y
在点P
(x
,y0可微.
注2:偏导连续是函数可微的充分而非必要条件.
例4证明函数
f(x,y=
(x2+y2sin
1
x2+y2
,x2+y2≠0
0,x2+y2=0
在点(0,0处可微,但f
x
(x,y,f
y
(x,y在(0,0点却间断.
证明Π(x,y:x2+y2≠0,有
f x(x,y=2x sin
1
x2+y2
-
2x
x2+y2
cos
1
x2+y2
f y(x,y=2y sin
1
x2+y2
-
2y
x2+y2
cos
1
x2+y2
(1当y=x时,极限li m
x→0
f x(x,x=li m