工程力学(天津大学)第12章答案
第十二章 用能量法计算弹性位移
习 题
12?1 两根杆拉伸刚度均为EA ，长度相同，承受荷载如图所示，分布荷载集度q =F/l ，试求这两根杆的应变能，并作比较。
解：EA
l F V 221=，EA l F dx EA l )qx (dx EA l F V l l N
6222
02022===?? 213V V =
12?2 试求图示受扭圆轴内所积蓄的应变能，杆长为l ，直径为d ，材料的
剪变模量为G 。
解：4
3
2042
02321622Gd
l m dx d πG
l )mx (dx GI l T V l l
P ===?? 12?3 试计算下列梁内所积蓄的应变能，略去剪力的影响。
习题12?2图
解：（a ）先求支座反力： ql F ,ql F RB RA 8
3
81==
以A 为坐标原点，x 1以向右为正，AC 段的弯矩方程为：1
18x ql
M = 以B 为坐标原点，x 2以向左为正，BC 段的弯矩方程为：2
2
222
183qx x ql M -= 梁的变形能为：
EI
l q dx EI )qx qlx (dx EI )qlx (
dx EI
M
dx EI M V l l l l 15360172218328225202
2220
210
22
21
=
-+=+=????
(b) 以B 为坐标原点，x 以向左为正，AB 段的弯矩方程为：3
06x l
q M =
梁的变形能为：EI
l q dx EI )l x q (dx EI M V l l 504262520023
002=
==?? (c) 以B 为坐标原点，x 以向左为正，AB 段的弯矩方程为：Fx M )x (M +=
梁的变形能为：EI
l F EI MFl EI l M dx EI )Fx M (dx EI M V l l
622223
2220202+
+=+==?? (d) 先求支座反力： ,ql F RA 8
３
=
以A 为坐标原点，x 1以向右为正，AB 段的弯矩方程为：21112
1
83qx x ql M -= （0≤x 1≤l ）
以C 为坐标原点，x 2以向左为正，BC 段的弯矩方程为：2
2221qx M -=
（0≤x 2≤l /2） 梁的变形能为：
EI
l q dx EI )qx (dx EI )qx qlx (dx EI
M
dx EI M V l l
l l
128032212218322522202
2210221120
22
2
1
=-+-=+=???? 12?4 试求图示结构中的弹性变形能。
习题12?4图
习题12?5图
解：由0=∑A M 得：023=?-l F l F NCD ，所以F F NCD 23
=
则CD 杆的变形能为：EA
l
F )l (EA F V NCD CD 4332222=
= 由0=∑Y 得：2
F
F RA -
=(方向向下) 以A 为坐标原点，x 1以向右为正，AD 段的弯矩方程为：1
12x F M -
= 以B 为坐标原点，x 2以向左为正，BD 段的弯矩方程为：22Fx M -= 则梁AB 的变形能为：
EI
l F dx EI )Fx (dx EI )Fx (dx EI
M
dx EI M V l
l
l l
AB 162221223222
022102120
22
2
1
=-+-=+=???? 所以整个结构的变形能为：l F l F V V V AB
CD 33
22+
=+=
12?5 图示桁架各杆弹性模量均为E ，截面面积均为A ，试求在图示荷载作用下桁架的弹性变形能，并求C 点水平位移。
解：由结点平衡，求得各杆件的轴力如下：
02
22222===-==
NCD NBD NAD NBC NAC F ,F
F ,F F ,F F ,F F 则结构的变形能为： EA
l F .)(EA l F ]l )F (l )F [(EA EA l F V N 2222
2
95704122221222212=+=??+?==
∑由：
V ΔF CH =21,得：EA
Fl
.ΔCH 9141=
12?6 用卡氏定理求图示梁C 点的挠度。梁的弯曲刚度为EI 。
解：（a ）AC 段弯矩方程为：Fx )x (M 2
1=
梁的变形能为：EI
l F dx EI )x F (dx EI M V l l
9622223202
2===??
题12?6图
q
(a)
所以EI
Fl F V ΔCV
483
=
??= (b) 在C 点加一向下的力F ，求得支座反力为：,ql F F ,ql F F RB RA 8
32812+=+=
以A 为原点，x 1以向右为正，AC 段的弯矩方程为：118
1
2x )ql F (M += 以B 为原点，x 2以向左为正，BC 段的弯矩方程为：2
2
222
1832qx x )ql F (M -+= 梁的变形能为：22022120
2122dx EI
M
dx EI M V l
l
??
=＋ 3
3222
021*******
02112012
3128322312812283228122222)l
(EI )
ql F ()l (EI )ql F (dx x EI x )ql F (dx x EI x )ql F (dx F
M EI M dx F M EI M F V l l l
l ??++??+=?++?+=???+???=??????
令F =0，则EI
ql F V ΔF CV 76854
0=
??== 12?7 用卡氏定理求图示梁C 截面的转角和挠度。EI 为常数。
解：（１）求C 截面的转角。在C 截面处加一顺时针力偶M ，求出支座反力：
,ql l M F ,l M ql F RB RA 8
983+==－
以A 为原点，x 1以向右为正，AB 段的弯矩方程为：21112183qx x )l M ql (M --=
以C 为原点，x 2以向左为正，BC 段的弯矩方程为：22
21qx M M -
-= 梁的变形能为：2
022
102122dx EI M dx EI M V l
l
??=＋
习题12?7图
3
43220221102112
220211012
3122412318312121832222)l (EI q l EI M l EIl q l EIl )l M ql (dx )(EI
)qx M (dx )l x (EI qx x )l M ql (dx M
M EI M dx M M EI M M V l l l
l ??+?+?+??--=-?--+-?--=???+???=??????
令M =0，则EI
ql M V
φM C 4840=
??== （2）求C 点的挠度。在C 点处加一向下的力F ，求出支座反力：
,F ql F ,F ql F RB RA 2
221+==
－ 以A 为原点，x 1以向右为正，AB 段的弯矩方程为：211121283qx x )F ql (M --=
以C 为原点，x 2以向左为正，BC 段的弯矩方程为：2
2
2221qx Fx M -
-= 梁的变形能为：2
2
022
102122dx EI M dx EI M V l
l
??=＋
4
34322202221102112220211011111283212212832222)l (q )l (F l q l )F ql (dx )x (EI
)qx Fx (dx )x (EI qx x )F ql (dx F
M EI M dx F M EI M F V l l l
l ??+??+?+??--
=-?--+-?--=???+???=??????
令F =0，则EI
ql F V
ΔF CV 1284
0=
??== 12?8 用卡氏定理求图示刚架A 点的水平位移和B 截面的转角。
解：（１）求A 点的水平位移。求出支座反力：
习题12?8图
F H F ql F D RB =+=
，2
1
以A 为原点，x 1以向左为正，AC 段的弯矩方程为(以内侧受拉为正)：
21112
121qx x )F ql (M -+=
以D 为原点，x 2以向上为正，CD 段的弯矩方程为(以内侧受拉为正)：22Fx M =
梁的变形能为：2
02
2
102124dx EI M dx EI M V l l
??=＋
EI
ql EI Fl l EI F l EI q l EI )F ql
(dx x EI
Fx dx x EI qx x )F ql (dx M M dx M M V Αl l l l AH 48234143122221222433432
20211021122021101+=?+?-??+=?+?-+=??+??=?=
???? （2）求B 截面的转角。在B 截面处加一逆时针的力偶M ，求出支座反力：
F H ,l
M
ql F F ,l M ql F F D RB RB =++-=+
=－21 以B 为原点，x 1以向上为正，AB 段的弯矩方程为(以内侧受拉为正)：M M =1 以
C 为原点，x 2以向右为正，AC
段的弯矩方程为：
2
2
2211qx x )M F ql (Fl M -+-+= 以D 为原点，x 3以向上为正，CD 段的弯矩方程为：33Fx M =
梁的变形能为：2023202
2102
1242dx EI
M dx EI M dx EI M V l l l
???+=＋
432303*********
30322
0211014
14312221202221224222l EIl q l EIl l M F ql l EI F EI Ml dx EI
Fx dx )l x (EI x q x )l M
F ql (Fl dx EI M dx M
M EI M dx M M EI M dx M M EI M M V l l l l l l ??-?+
-+??+=?+?-+-++=???+???+???=????????
令M =0，则EI
Fl EI ql M V φM B 124823
0+
=??==
12?9 用卡氏定理求图示梁C 截面的转角和竖向位移。EI 为常数。
解：(1) 求C 截面的转角：在C 截面处加一顺时针的力偶M C ，
以C 为原点，x 1以向左为正，BC 段的弯矩方程为(以下侧受拉为正)：
2112
1
qx M M C －－=
以B 为原点，x 2以向左为正，AB 段的弯矩方程为：)x l
(
ql M M M C 222
+---= 梁的变形能为：2
022
102122dx EI M dx EI M V l l
??=＋
22
320210212
2021101212312121212222l EI ql l EI ql M M l EI q EI l M dx )()x l (ql M M dx )(qx M dx M M EI M dx M M EI M M V C C l C l
C C l C l C ??+?+++??+=-?+---+---=???+???=?????? 令M C =0，则EI
Ml EI ql M V φC M C
C +=??=
=6730
（2）求C 点的竖向位移。在C 点处加一向下的力F ，
以C 为原点，x 1以向左为正，BC 段的弯矩方程为(以下侧受拉为正)：
211121
qx Fx M －-=
以
B
为原点，x 2以向左为正，AB
段的弯矩方程为：
)x l (F )x l
(
ql M M 2222
+-+--= 梁的变形能为：2
022
102122dx EI M dx EI M V l l
??=＋
)l l l l (EI F )l l l l (EI q EI Ml EI Ml l EI q l EI F dx )x l (EI
)x l (F )x l
(ql M dx )x (EI qx Fx dx F
M EI M dx F M EI M F V l
l l l 3
23322224322022101211220211013
1223121232412312212222+?+++?+??-++?+??=--?+-+--+-?--=???+???=??????
C
令F =0，则EI
Ml EI ql F
V
ΔF C 2324412
40
+
=??=
=
12?10 用莫尔积分法求下列梁的C ,θC ?。EI 为常数。
解：(ａ) １）求C 点的竖向位移。在C 点处加一向下的单位力F =1作为虚拟状态。列出各段在荷载及单位力作用下的弯矩方程：
AB 段：以A 为原点，x 1以向右为正，1112
1
81x M ,qlx M P -=-=
BC 段：以C 为原点，x 2以向左为正，222
22
1x M ,qx M P -=-=
)(ql )l (EI q l EI ql dx EI qx dx EI qlx dx EI )x (qx dx EI )x (qlx dx EI M M Δl
l l l P C ↓=??+?=+=--+--==????∑?11241231162162121814432203210212
2
02221011
2）求C 截面的转角。在C 截面处加一顺时针方向的单位力偶M =1作为虚拟状态。列出各段在荷载及单位力偶作用下的弯矩方程： AB 段：以A 为原点，x 1以向右为正，1111
81x l
M ,qlx M P -=-=
BC 段：以C 为原点，x 2以向左为正，12
122
2-=-=M ,qx M P
EI
ql )l (EI q l EI q dx EI qx dx EI qx dx EI )(qx dx EI )x l (qlx dx EI M M θl l l l P C 162312318281211813332202210212
0221011=
??+?=+=--+--==????∑?
（b ）１）１）求C 点的竖向位移。在C 点处加一向下的单位力F =1作为虚拟状态。列出各段在荷载及单位力作用下的弯矩方程：
AB 段：以A 为原点，x 1以向右为正，11121
21x M ,Fx M P -=-=
BC 段：以C 为原点，x 2以向左为正，222x M ,Fx M P -=-=
)(EI
Fl )l (EI F l EI F dx EI Fx dx EI Fx dx )x (Fx dx )x (Fx dx M
M Δl l l
l
P C ↓=??+?=+=--+--==????∑?
8231314421
213332202210212
2
02210
11
2）求C 截面的转角。在C 截面处加一顺时针方向的单位力偶M =1作为虚拟状态。列出各段在荷载及单位力偶作用下的弯矩方程： AB 段：以A 为原点，x 1以向右为正，1111
21x l M ,Fx M P -=-=
BC 段：以C 为原点，x 2以向左为正，122-=-=M ,Fx M P
EI Fl )l (EI F l EIl F dx EI Fx dx EIl Fx dx EI
)(Fx dx EI )x l (Fx dx EI M
M θl l l
l
P C 247221312211
21223220210212
0210
11=
??+?=+=--+--==????∑?
12?11 用莫尔积分法求图示变截面梁A 截面的转角。EI 为常数。
解：在A 截面处加一顺时针方向的单位力偶M =1作为虚拟状态。列出各段在荷载及单位力偶作用下的弯矩方程： AB 段：以A 为原点，x 1以向右为正，)a x (x a M ,Fx M P ≤≤-==11
11041
1 BC 段：以A 为原点，x 2以向右为正，)a x a (a
x M ,Fa M P 34122
2≤≤-== CD 段：以D 为原点，x 3以向左为正，)a x (a
x M ,Fx M P ≤≤=
=33
2304
EI
Fa a aEI F a EI F a EI Fa a aEI F a EI F dx
aEI Fx dx EI Fx dx EI Fa dx aEI Fx dx EI Fx dx EI
)x a (Fx dx EI )x a (Fa dx EI )x a (Fx dx EI M M θa a a a a a a a a a a
P A 23
2323
023********
11013
0332321011314821822314214824412411411=?+??-?+??-?=+-+-=+-+-==????????∑?
12?12 用莫尔积分法求图示悬臂梁自由端截面的转角和挠度。EI 为常数。
解：（１）求自由端截面的转角。在C 截面处加一顺时针方向的单位力偶M =1作为虚拟状态。列出各段在荷载及单位力偶作用下的弯矩方程： AB 段：以B 为原点，x 1以向左为正，1212
1
－=-
=M ,x q M P BC 段：以C 为原点，x 2以向左为正，102-==M ,M P
EI
ql )l (EI q dx EI qx dx EI )(dx EI )(x q dx EI M M θl
l
l
P C 48231221012331021220120
2
1=
??==-?+--
==???∑?
（2）求自由端的竖向位移。在C 截面处加一向下的单位力F =1作为虚拟状态。列出各段在荷载及单位力作用下的弯矩方程： AB 段：以B 为原点，x 1以向左为正，)x l
(M ,x q M P 11212
2+=-
=－ BC 段：以C 为原点，x 2以向左为正，220x M ,M P -==
EI
ql )l (EI q )l (EI ql dx EI qx dx EI qlx dx EI )x (dx EI )x l
(x q dx EI M M Δl l l
l
P C 38472412231424022443103110212
0210
121=
??+??=+=-?+---
==????∑?
习题12?12图
12?13 用莫尔积分法求图示外伸梁：（1）B 截面的转角，挠度；（2）C 截面的转角，挠度。EI 为常数。
解：(1) a) 求B 截面的转角。先求梁在荷载作用下的支座反力：
ql F ,ql F RB RA 8
583==
在B 截面处加一顺时针方向的单位力偶M =1作为虚拟状态。列出各段在荷载及单位力偶作用下的弯矩方程： AB 段：以A 为原点，x 1以向右为正，
)l
x (x l M ,qx x ql M P 2012183111211≤≤=-=－ BD
段：以A 为原点，x 2以向右为正，
)l x l (x l M ,qx x ql M P ≤≤+-=-=
2222222
112183 CD 段：以C 为原点，x 3以向左为正，0
8
22
=-=M ,ql M P
EI
ql ])l (l [EI q ])l (l [EIl q ]
)l (l [ql ])l (l [q )l (q )l (q dx
EI qx dx EIl qx dx EI qlx dx EI qx dx EIl qx dx EI qx dx EI
)l x )(qx x ql (dx EI )l x )(qx x ql (
dx EI
M
M θl l l l l l l l l
l l l
l
P B 192231224121313113228383283121832183333442233432222
22322222222103110
21222
22120
1211-=-??--??+-??+-??-??+??-=-++-+-=+--+--==????????∑?
b) 求B 点的挠度。
在B 点处加一向下的单位力F =1作为虚拟状态。列出各段在荷载及单位力作用下的弯矩方程：
AB 段：以A 为原点，x 1以向右为正，)l
x (x M ,qx x ql M P 20212183111211≤≤=-= BD
段
：
以
A
为
原
点，x 2以向右为正，
)l x l
(l x M ,qx x ql M P ≤≤+-=-=
2222222
21212183 习题12?13图
CD 段：以C 为原点，x 3以向左为正，0
822
=-=M ,ql M P
EI
ql ])l (l [EI ql ])l (l [EI q ])l (l [EI ql ])l (l [EI ql )l (EI q )l (EI ql dx EI qlx dx EI qx dx EI x ql dx EI qlx dx EI qx dx EI qlx dx
EI
)l x )(qx x ql (dx EI )x )(qx x ql (
dx EI
M
M Δl l l l l l l l l
l l l
l
P B 192231424142211632311632414231163441631634163222183221834334422233
432
222
22322222222212031120
21222
2210
1211=-??--??+-??+-??-??-??=-++--=+--+-==??????
??∑?(2) a) 求C 截面的转角。
在C 截面处加一顺时针方向的单位力偶M =1作为虚拟状态。列出各段在荷载及单位力偶作用下的弯矩方程： AD 段：以A 为原点，x 1以向右为正，)l x (x l
M ,qx x ql M P ≤≤=-=
11121101
2183－ CD 段：以C 为原点，x 3以向左为正，122
-=-=M ,ql M P
EI
ql l EI ql l EIl q l EI q dx EI ql dx EIl qx dx EI qx dx ))(ql (dx )l x )(qx x ql (dx M M θl
l l l l P C 16284123183828318218332
432202103110212
2
021012
11=
?
+??+??-=++-=--+--==?????∑?
b) 求C 点的挠度。
在C 点处加一向下的单位力F =1作为虚拟状态。列出各段在荷载及单位力作用下的弯矩方程：
AD 段：以A 为原点，x 1以向右为正，)l x (x M ,qx x ql M P ≤≤-=-=
11121104
1
2183 CD 段：以C 为原点，x 2以向左为正，)l
x (x M ,ql M P 2
08
22
22
≤
≤-=-=
EI
ql )l (EI ql l EI q l EI ql dx
x ql dx qx dx qlx dx EI )x )(ql (dx EI )x )(qx x ql (dx EI M M Δl
l l l l P C 64221841831323384218342
2
432
2
022*********
0221012
11=
??+??+??-=++-=--+--==?????∑? 12?14 用莫尔积分法求图示悬臂梁自由端截面的竖向位移。
解：（ａ）在C 点处加一向下的单位力F =1作为虚拟状态。列出各段在荷载及单位力作用下的弯矩方程：
CB 段：以C 为原点，x 1以向左为正，)l
x (x M ,qx M P 202111121≤≤=-=－
AB 段：以B 为原点，x 2以向左为正，)l x (x l M ),l x (ql M P 2
021422222≤≤+=+=
EI
ql )l (EI ql l EI ql )l (EI ql )l (EI ql )l (EI q dx
x ql dx ql dx qlx dx x ql dx qx dx EI
)x l
)(l x (ql dx EI )x )(qx (dx EI M M Δl l
l l l l l P C 38441221821162312221424122422142
23322
42
202222032202222022120312
02210121=
??+?+??+??+??=++++=+++--==???????∑?（b ）在C 点处加一向下的单位力F =1作为虚拟状态。列出各段在荷载及单位力作用下的弯矩方程：
CB 段：以C 为原点，x 1以向左为正，)l
x (x M ,Fx M P 2
01111≤≤=-=－ AB 段：以B 为原点，x 2以向左为正，)l x (x l M ),l x (F M P 2
02
1
22222≤
≤+=+
=
习题12?15图
EI
Fl )l (EI Fl l EI Fl )l (EI F )l (EI Fl )l (EI F dx
EI Flx dx EI Fl dx EI Fx dx EI Flx dx EI Fx dx EI
)x l
)(l x (F dx EI )x )(Fx (dx EI M M Δl l l l l l l P C 163221421823122214231482422232
2323202202
202220210212
20
22120
11=
??+?+??+??+??=++++=++
+--==???????∑?
12?15 试求图示桁架节点C 的水平位移，设各杆EA 为同一常数。 解：在C 点处加一向右的单位力F =1作为虚拟状
态。求出各杆件在荷载及单位力作用下的轴力：
2100020==-=====-=-==BD AC CD BC AB BDP ACP CDP BCP ABP N ;N ;N ;N ;N N ;F N ;F N ;F N ;N Fl )(EA
l F l )(F [EA
EA l N N Δi P C 2211
22211
+=+??+?-?-==∑
12?16 试求图示刚架C 点的水平位移和转角。（EI =常数）
解：（ａ）在C 点处加一向右的单位力F =1作为虚拟状态。列出各段在荷载及单位力作用下的弯矩方程（外侧受拉为正）：
CB 段：以C 为原点，x 1以向左为正，02112
1
==
M ,qx M P AB 段：以
B 为原点，x 2以向下为正，2
22
2
x M ,ql M P =
=
习题12?16图
)(EI
ql l EI ql dx EI
x ql dx EI qx dx EI
M
M Δl
l P C →=??=?+?==??∑?
421220214222
02
210
2
1 （b ）在C 点处加一顺时针方向的单位力偶M =1作为虚拟状态。列出各段在荷
载及单位力作用下的弯矩方程（外侧受拉为正）： CB 段：以C 为原点，x 1以向左为正，12112
1
==
M ,qx M P
AB 段：以B 为原点，x 2以向下为正，1
2
22
==M ,ql M P
EI ql EI ql l EI q dx EI
ql dx EI qx dx EI M M Δl l P C 3223121212133
32
02102
1=+??=?+?==??∑? 12?17 试用图乘法求上述12?13~12?17题。
题12-13解：
画出荷载作用下的弯矩图(习题12－13解答图（a ）。 1)求B 截面的转角：
在B 截面处加一单位力偶，并作单位弯矩图(习题12－13解答图（b ）。
EI
ql )ql l ql l ql l ql l (φB 19221858232218582321112113
2
22
2-
=????+????-?
??-????= 2)求B 点的挠度。
在B 点处加一单位力，并作单位弯矩图(习题12－13解答图（c ）。
EI
ql )
l
ql l ql l l l ql l (EI ΔB 1924858232212
422143216221142
2
2=
?????+?
??-????=－ 3)求C 截面的转角：
在C 截面处加一单位力偶，并作单位弯矩图(习题12－13解答图（d ）。
EI
ql )
ql
l ql l ql l (EI φC 168211
2
1832132821132
2
2
=
??+????-????= 4)求C 点的挠度(习题12－13解答图（e ）。 在C 点处加一单位力，并作单位弯矩图：
EI
ql )
l
ql l l
ql l l ql l (EI ΔC 64221832232821142
2
2
=
??+?
???-????= 题12-14解：
习题12-14(a)解答图
3(a) M P 图
(a) 画出荷载作用下的弯矩图(习题12－14(a)解答图（a ）。
在C 截面处加一单位力，并作单位弯矩图(习题12－14(a)解答图（b ）)。
EI
ql )
l
ql l l ql l l ql l (EI ΔC 384415313
282212438231142
2
2=
???+?
??+????=
(b) 画出荷载作用下的弯矩图（习题12-14（b ）解答图（a ））。
在C 截面处加一单位力，并作单位弯矩图（习题12-14（b ）解答图（b ））。
EI Fl )l Fl l l
Fl l (EI )l Fl l (EI ΔC 1636522132222121232222113=
???+???+????=
题12-16解：
画出荷
载作
习题12-14（b ）解答图
(a) M P 图 (b) M 图
C
用下的弯矩图（习题12－16解答图（a ））
1)求C 点的水平位移：在C 点处加一单位力，并作单位弯矩图（习题12－16解答图（b ））。
EI
ql )
l ql l (EI ΔC 42
1
214
2
=???= 2) 求C 截面的转角：在C 截面处加一单位力偶，并作单位弯矩图习题12－16解答图（c ））。
EI
ql )
ql l ql l (φC 3211
1113
22
=???+??= 12?18 用图乘法求B 截面的转角及C 点的竖向位移。（EI =常数）
解：（a ）求B 截面的转角。作出荷载作用下的弯矩图(习题12－18（a ）解答图（a ）)。
在B 截面处加一单位力偶，作出弯矩图(习题12－18（a ）解答图（b ）)。
EI
ql )ql l ql l (θB 31122122113
22=
???-????=
求C 点的竖向位移：在C 点处加以单位力，作出弯矩图(习题12－18（a ）解答图（c ）)。
ql )
l ql l ql l l (EI ΔC 2
85213222222114
22
-
=?????+???-=
（b ）求B 截面的转角。作出荷载作用下的弯矩图(习题12－18（b ）解答图（a ）)。 在B 截面处加一单位力偶，作出弯矩图(习题12－18（b ）解答图（b ）)。
EI
ql )
ql l ql l (EI θB 242
1
813213242113
22
=
???-????= 求C 点的竖向位移：在C 点处加以单位力，作出弯矩图(习题12－18（b ）解答图（c ）)。
B
c
）M 图
l /2 习题12-18（a ）解答图
EI
ql )
l
ql l l
ql l l ql l (ΔC 24232422111221142
22
=
????+?
???-????=
12?19 用图乘法计算图示结构C 点的水平位移。（EI =常数）
解：作出荷载作用下的弯矩图：在C 点处加一单位力，作出弯矩图：
EI )(EI ΔC 33200340044211=???=
习题12-18（b ）解答图
(a) M P 图
(c) M 图
天津大学818结构力学考研参考书资料
天津大学818结构力学考研参考书资料、导师天津大学考研出题比较灵活，虽然容易让人捉磨不透，但是多学多做总是有技巧可循的。做题做的多了，也能够摸清什么公式出现的次数比较多，哪些不是重点。考研的小伙伴们切记要做天大往年专业课的真题，越是最近年份的越好。天大最近几年的试题，题量不大，考生是一定可以完成的，但分值很重，大题只要不出错都是送分的，小题需要好好琢磨，是拿高分的关键。 实际上，天津大学的专业课难度并不大，更考查基础知识是否扎实。怪题偏题很少。所以就是重点把基础打好。 关于参考书，大多数人会选择于玲玲编写的《结构力学》。参考书是这本，外加真题训练才算是复习。我本人更倾向于《天津大学818结构力学历年考研真题》解析适用于对于历年考研真题解答过程不清楚或对答案没有把握的同学，适合跨校、跨专业、在职考生使用，有以下特点： 全面解析（详解真题解题过程，全面分析真题考察知识点，由真题反向回升掌握核心内容） 总结规律（总结出题规律，洞悉出题趋势，举一反三，迅速提升） 技巧点拨（学习答题技巧，突破关键瓶颈，迅速掌握得分要领，增添必胜信心） 考点预测（100%对准目标专业科目出题动向，准确性预测，少走弯路）天津考研网主编的《2017年天津大学818结构力学考研红宝书-全程版》 （一）、根据近几年考题的考点、考分分布情况及历年试题解析(重点) ，包括对专业课试题横向、纵向解析，天津考研网总结其特点、内容、题型、知识点分布等富有启示性的重要信息，做到对命题大胆预测。 （二）、结合真题解析，做到见题如见人，即能够基本理清老师与题目的对应关系，真正把握其命题思路。 还有就是很多人都关注的导师问题。 钢结构：陈志华，丁阳，韩庆华，尹越等
工程力学(天津大学)第3章答案
习 题 3-1 如图（a ）所示，已知F 1=150N ，F 2=200N ，F 3=300N ，N 200='=F F 。求力系向O 点简化的结果，并求力系合力的大小及其与原点O 的距离d 。 解：（1）将力系向O 点简化 N 6.4375 2300 10 1 200 2 1 150 521012 13 21R -=---=---=∑='F F F F F x x N 6.1615 1300 10 3 200 2 1150 511032 13 21R -=+--=+--=∑='F F F F F y y ()()N F F F y x 5.4666.1616.4372 22R 2R R =-+-='+'=' 设主矢与x 轴所夹锐角为θ，则有 61206 .4376 .161arctan arctan R R '?=--=''=x y F F θ 因为0R <'x F ，0R <'y F ，所以主矢F ＇R 在第三象限。 将力系向O 点简化的结果如 m N 44.2108 .02002.05 1 300 1.02 1 150 08.02.0511.02 1)(3 1 ?=?-?+?=?-?+?==∑F F F M M O O F 1 O 1 'F F 1 200mm F 3 F F 2 y x 1 100mm 80mm 3 1 2(a) 习题3 -1图 (b) (c) M O F ′R θ x y O d F R x y O
图（b ）。 (2)因为主矢和主矩都不为零，所以此力系可以简化为一个合力如图（c ），合力的大小 mm 96.4504596.05 .46644 .21N 5.466R R R ==== ='=m F M d F F o 3-2重力坝的横截面形状如图（a ）所示。为了计算的方便，取坝的长度（垂直于图面）l =1m 。 已知混凝土的密度为×103 kg/m 3，水的密度为1×103 kg/m 3，试求坝体的重力W 1，W 2和水压力P 的合力F R ，并计算F R 的作用线与x 轴交点的坐标x 。 解：（1）求坝体的重力W 1，W 2和水压力P 的大小 kN N dy y dy y q P m N y dy y dy y q 5.9922105.99222 45108.9)45(108.9)()45(108.9)45(8.91011)(32 3 453 4533=?=??=?-?=?=-?=-?????=?? （2）将坝体的重力W 1，W 2和水压力P 向O 点简化，则 kN 5.9922R ==∑='P F F x x kN 3057621168940821R -=--=--=∑='W W F F y y ()kN 7.32145305765.99222 22R 2R R =-+='+'='y x F F F kN N W kN N W 2116810211688.9104.2136)545(2 1 94081094088.9104.218)545(332331=?=?????+= =?=?????+=习题3-2 图 O M O F ′R x y (a) (b) (c) 5m 36m P 15m W 1 W 212m 4m 8m y x 45m O O x y F R x
工程力学第12章 动载荷与疲劳强度简述答案
工程力学（静力学与材料力学）习题详细解答（教师用书） (第12 章) 范钦珊唐静静 2006-12-18
σ 2 第 12 章 动载荷与疲劳强度简述 12－1 图示的 No.20a 普通热轧槽钢以等减速度下降，若在 0.2s 时间内速度由 1.8m/s 降至 0.6m/s ，已知 l =6m ，b =1m 。试求槽钢中最大的弯曲正应力。 q 习题 12－1 图 B A B M C 解：No.20a 槽钢的线密度 ρ = 22.63 kg/m 习题 12－1 解图 加速度 a = 0.6 ?1.8 = ?6 m/s 2 0.2 由自重引起的均布载荷集度： q 1 = ρg (↓) 由惯性力引起的均布载荷集度： q 2 = ρa (↓) (加速度↑) 总的均布载荷集度： q = q 1 + q 2 = ρ( g + a ) 弯矩： M C = M max = ?q × 4 × 2 + q × 8 ×3 = q × 4 = 4ρ( g + a ) 2 =4×22.63(9.8+6)=1430 N ·m 槽钢横截面上的最大正应力 d max = M C W min = 1430 24.2 ×10?6 = 59.1 MPa 12－2 钢制圆轴 AB 上装有一开孔的匀质圆盘如图 所示。圆盘厚度为 δ ，孔直径 D =300mm 。圆盘和轴一起 以匀角速度ω 转动。若已知： δ =30mm ，a =1000mm ， e =300mm ；轴直径 d =120mm ，ω =40rad/s ；圆盘材料密 度 ρ = 7.8 ×103 kg m 3 。试求由于开孔引起的轴内最大弯曲 正应力（提示：可以将圆盘上的孔作为一负质量（-m ）， 计算由这一负质量引起的惯性力）。 解：因开孔引起的惯性力： 习题 12－2 图 F I = me ω = ρ × π × D 4 2 ×δ ×e ω2
工程力学试卷及答案
绝密★启用前 学院试卷纸 20 - 20 学年第 一 学期 课程 名称 工程力学 试卷 类别 A □ B ■ C □ 印 数 考试 班级 命题 教师 题 号 一 二 三 四 五 六 总成绩 核分人 得 分 阅卷教师 考试 方式 考试■ 考查□； 闭卷■ 开卷□ 一、单项选择题 （本大题共5 小题，每小题2分，共10分） 1、若作用在A 点的两个大小不等的力1F 和2F ，沿同一直线但方向相反。则其合力可以表示 【 C 】 A 、12F F -u u r u u r B 、21F F -u u r u u r C 、12F F +u u r u u r 2、空间力对点之矩是【 B 】 A 、代数量 B 、矢量 C 、标量 3、一重W 的物体置于倾角为α的斜面上，若摩擦因数为f ，且tg α 天津大学结构力学考研真题资料含答案及详细讲解天津大学结构力学考研真题作用十分重大，能从中琢磨考研老师出题思路，然后给自己的考研复习一个定位。所以，特别是后期的考研复习阶段，尤其需要真题资料，所以不能太急往下做。每一套真题都很宝贵。专业课方面，天津大学结构力学考研真题资料是很重要的，但是总听见一些考生们被假资料所累，被错误的信息引导，影响了复习质量，实在是得不偿失了。为了帮助大家更好的使用天津大学结构力学考研真题资料，且明辨真伪，下面天津考研网小编就仔细和大家说说。 天津大学结构力学考研真题资料什么时候做？ 建议：考前1~2个月，可以做几遍，最近年份的真题建议在临近考试前做一下，不为检测考多少分，只为找找感觉。注意总结，真题是最好的资源，在真题中往深挖掘，反思，这样才能有所提高，《天津大学818结构力学考研真题复习宝典》对考研真题进行了详细讲解并做深度分析，总结出题规律，进行必要的答题技巧点拨，同时在关键时刻做考点预测。 天津大学818结构力学考研真题试卷的卷面分析： 以下内容摘录自《天津大学818结构力学考研红宝书》： 天大的结构题型分为判断题，填空题以及解答题。满分150分，其中判断题6个，每个5分；选择题6个，每个5分；解答题3个，每个30分。 其中判断题主要是对概念的理解，基本上无关计算；选择题一般是简单的计算题；而3个解答题则分别考察力法，位移法以及动力学知识。 结构力学的卷面构成相对简单，常见题型包括填空、判断和分析计算题。考察内容多为基础知识及各知识点的灵活运用。 这里以2010年结构力学考试中的一道分析计算题为例，分析答题思路和要点： 图示连续梁，EI为常数。支座B是弹性抗转支座，抗转刚度为，支座C处弹簧刚度为。试用位移法求解此梁，并绘制弯矩图。（本大题30分） 3-10 求图示多跨梁支座A 、C 处的约束力。已知M =8kN ·m ，q =4kN/m ，l =2m 。 解：（1）取梁BC 为研究对象。其受力如图(b)所示。列平衡方程 （2）取整体为研究对象。其受力如图(c)所示。列平衡方程 3-11 组合梁 AC 及CD 用铰链C 连接而成，受力情况如图(a)所示。设F =50kN ， q =25kN/m ，力偶矩M =50kN ·m 。求各支座的约束力。 F B kN 1842494902 332, 0=??===? ?-?=∑ql F l l q l F M C C B kN 62431830 3, 0=??+-=+-==?-+=∑ql F F l q F F F C A C A y m kN 32245.10241885.1040 5.334, 022?=??+??-=+?-==??-?+-=∑ql l F M M l l q l F M M M C A C A A 解：（1）取梁CD 为研究对象。其受力如图(c)所示。列平衡方程 （2）取梁AC 为研究对象。其受力如图(b)所示，其中F ′C =F C =25kN 。列平衡方程 F C (b) (c) ′C kN 254 50 252420124, 0=+?=+= =-??-?=∑M q F M q F M D D C kN 254 50256460324, 0=-?=-= =-??+?-=∑M q F M q F M C C D ) kN(252 25225250222021212, 0↓-=?-?-='--= =?'-??-?+?-=∑C A C A B F q F F F q F F M kN 1502 25425650246043212, 0=?+?+='++==?'-??-?-?=∑C B C B A F q F F F q F F M 习题12-3图 习题12-2图 习题12-4图 第12章 杆类构件的静载强度设计 12－1 关于弯曲问题中根据][max σσ≤进行强度计算时怎样判断危险点，有如下论述，试分析哪一种论述正确。 （A ）画弯矩图确定M max 作用面。 （B ）综合考虑弯矩的大小与截面形状； （C ）综合考虑弯矩的大小、截面形状和尺寸以及材料性能； （D ）综合考虑梁长、载荷、截面尺寸等。 正确答案是 C 。 12－2 悬臂梁受力如图所示，若截面可能有图示四种形式，中空部分的面积A 都相等，试分析哪一种形式截面梁的强度最高。 正确答案是 A 。 12－3 铸铁T 字形截面悬臂梁，受力如图所示，其中力F P 作用线沿铅垂方向。若保证各种情况下都无扭转发生，即只产生弯曲，试判断图示四种放置方式中哪一种使梁有最高的强度。 正确答案是 B 。 12－4 图示四梁中q 、l 、W 、][σ均相同。试判断下面关于其强度高低的结论中哪一个是正确的。 （A ）强度：图a ＞图b ＞图c ＞图d ； （B ）强度：图b ＞图d ＞图a ＞图c ； （C ）强度：图d ＞图b ＞图a ＞图c ； （D ）强度：图b ＞图a ＞图d ＞图c 。 正确答案是 B 。 解： 2amax 81ql M = 2 bmax 401ql M = 2 cmax 21 ql M = 2 dmax 1007 ql M = 12－5 图示四梁中F P 、l 、W 、][σ均相同，不考虑轴力影响。试判断关于它们强度高低的下述结论中哪一个是正确的。 （A ）强度：图a ＝图b ＝图c ＝图d ； （B ）强度：图a ＞图b ＞图d ＞图c ； （C ）强度：图b ＞图a ＞图c ＞图d ； （D ）强度：图b ＞图a ＞图d ＞图c 。 l q P F = 2012/2013学年第1 学期考试试卷( A )卷 课程名称工程力学适用专业/年级本卷共 6 页，考试方式闭卷笔试考试时间 120 分钟 一、判断题（共10分，每题1分） 1.实际挤压应力在挤压面上是均匀分布的。( ) 2.纯弯曲梁的横截面上只有正应力。( ) 3. 横截面面积相等，实心轴的承载能力大于空心轴。 ( ) 4. 力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零。 ( ) 5. 梁发生弯曲变形，挠度越大的截面，其转角也越大。 ( ) 6. 在集中力偶作用处，梁的剪力图和弯矩图均要跳跃。 ( ) 7. 当低碳钢试件的试验应力 p σσ<时，试件将产生局部颈缩。 ( ) 8. 圆轴扭转时其切应力的最大值仅可能出现在横截面的外边缘。 ( ) 9. 作用力与反作用力不是一对平衡力。 ( ) 10. 临界应力越小的受压杆，其稳定性越好。 ( ) 二、单项选择题（共20分，每题2分） 1. 下右图中杆AB 的变形类型是 。 A ．弯曲变形 B ．拉（压）弯组合变形 C ．弯扭组合变形 D ．拉（压）扭组合变形 2. 下图矩形截面梁受F 和Me 作用，Me =Fl 。则以下结论中错误的是 。 A ．0A σ= B ．0B σ= C ．0 D σ= D ．0 E σ= 3. 力偶对物体的运动效应为 。 A ．只能使物体平动 B ．只能使物体转动 A B F C ．既能使物体平动又能使物体转动 D ．它与力对物体的运动效应有时相同，有时不同 4. 关于低碳钢材料在拉伸试验过程中，所能承受的最大应力是 。 A ．比例极限p σ B ．屈服极限s σ C ．强度极限b σ D ．许用应力[σ] 5．在平板和受拉螺栓之间垫上一个垫圈，可以提高 能力。 A ．螺栓的抗拉伸 B ．螺栓的抗剪切 C ．螺栓的抗挤压 D ．平板的抗挤压 6. 若实心圆轴①和空心圆轴②的材料、横截面积、长度和所受扭矩均相同，则两轴的最大扭转角之间的关系为 。 A ．φ1<φ2 B ．φ1=φ2 C ．φ1>φ2 D ．无法比较 7. 低碳钢试件扭转破坏形式是 。 A ．沿横截面拉断 B ．沿横截面剪断 用 图 乘 法 可 求 得 各 种 结 构 在 荷 载 作 用 下 的 位 移 。( ) 在 非 荷 载 因 素 ( 支 座 移 动 ， 温 度 变 化 , 材 料 收 缩 等 ) 作 用 下 ， 静 定 结 构 不 产 生 内 力 ， 但 会 有 位 移 ， 且 位 移 只 与 杆 件 相 对 刚 度 有 关 。( ) 在 荷 载 作 用 下 ， 刚 架 和 梁 的 位 移 主 要 由 于 各 杆 的 弯 曲 变 形 引 起 。 ( ) 变 形 体 虚 功 原 理 仅 适 用 于 弹 性 问 题 ， 不 适 用 于 非 弹 性 问 题 。( ) 若 刚 架 中 各 杆 均 无 内 力 ， 则 整 个 刚 架 不 存 在 位 移 。( ) 变 形 体 虚 功 原 理 也 适 用 于 塑 性 材 料 结 构 与 刚 体 体 系 。( ) 弹 性 体 系 虚 功 的 特 点 是 ： ( 1 ) 在 作 功 过 程 中 ， 力 的 数 值 保 持 不 变 ； ( 2 ) 作 功 的 力 与 相 应 的 位 移 无 因 果 关 系 ， 位 移 由 其 他 力 系 或 其 它 因 素 所 产 生 。（ ） 变 形 体 虚位移原理的虚 功 方 程 中 包 含 了 力 系 与 位 移 ( 及 变 形 ) 两 套 物 理 量 ， 其 中 ： A . 力 系 必 须 是 虚 拟 的 , 位 移 是 实 际 的 ； B . 位 移 必 须 是 虚 拟 的 , 力 系 是 实 际 的 ； C . 力 系 与 位 移 都 必 须 是 虚 拟 的 ； D . 力 系 与 位 移 两 者都是实际的 。 ( ) 图 示 梁 上 ， 先 加 P 1 ， A 、B 两 点 挠 度 分 别 为 ?1 、?2 , 再 加 P 2 ， 挠 度 分 别 增 加 '?1 和 '?2 ， 则 P 1 做 的 总 功 为 ： A . P 112?； B . P 1112(')??+； C . P 111(')??+； D . P P 11112??+'。 ( ) 1 2 功 的 互 等 定 理 ： A . 适 用 于 任 意 变 形 体 结 构 ； B . 适 用 于任 意 线 弹 性 体 结 构 ； C . 仅适 用 于线 弹 性 静 定 结 构 ； D . 仅适 用 于 线 弹 性 超 静 定 结 构 。 ( ) 用 图 乘 法 求 位 移 的 必 要 条 件 之 一 是 ： A . 单 位 荷 载 下 的 弯 矩 图 为 一 直 线 ； B . 结 构 可 分 为 等 截 面 直 杆 段 ； C . 所 有 杆 件 E I 为 常 数 且相同； D . 结 构 必 须 是 静 定 的 。 （ ） 图 示 为 刚 架 的 虚 设 力 系 ， 按 此 力 系 及 位 移 计 算 公 式 可 求 出 杆 A C 的 转 角 。 ( ) C 1P 图 示 梁 的 跨 中 挠 度 为 零 。 ( ) 图 示 梁 A B 在 所 示 荷 载 作 用 下 的 M 图 面 积 为 ql 3 3 。 ( ) l A l /2 图 示 刚 架 A 点 的 水 平 位 移 ?AH Pa =3 2 ( 方 向 向 左 ) 。 ( ) a 将 刚 架 中 某 杆 E I 增 大 ， 则 刚 架 中 某 点 水 平 位 移 有 时 反 而 增 大 。 ( ) 图 示 桁 架 中 腹 杆 截 面 的 大 小 对 C 点 的 竖 向 位 移 有 影 响 。 ( ) 图 示 桁 架 结 点 C 水 平 位 移 不 等 于 零 。 ( ) 桁 架 及 荷 载 如 图 ， B 点 将 产 生 向 左 的 水 平 位 移 。 ( ) 第十二章 压杆的稳定性 12-1 图示细长压杆，两端为球形铰支，弹性模量200E GPa =，对下面三种截面用欧拉公式计算其临界压力。（1）圆截面，25, 1.0d mm l m ==；（2）矩形截面，240h b mm ==， 1.0;l m =（3）16号工字钢， 2.0l m =。 解：结构为两端铰支，则有22 1,0,lj EI P l πμ== (1)圆截面杆，4 34 932(0.025),2001037.61037.664 (1.0)64 lj d I P kN ππ?== ??=?=? (2)矩形截面杆， 323123493 2 2020401040,20010531053121212(1.0) lj bh I mm P N kN π-???==?=??=?=? (3)16号工字查型钢表知 284 932 113010200 1130,1046110461(2.0) lj I cm P N kN π-???== ?=?= 题12-1图 题12-2图 12-2 图示为下端固定，上端自由并在自由端受轴向力作用的等直压杆。杆长为l ，在临界力lj p 作用下杆失稳时有可能在xy 平面内维持微弯曲状态下的平衡。杆横截面积对z 轴的惯性矩为I ，试推导其临界压力lj p 的欧拉公式，并求出压杆的挠曲线方程。 解：()()M x v ρδ=-，结合 ()EIv M x ''=设2 k EI ρ = ，则有微分方程： 2 2 V k v k δ''+= 通解为sin cos v A kx B kx δ=++ 边界条件：0,0,x v ==则0B δ+=，解出B δ=- 0,0x v '==（转角为零），0A k ?=，解出0A = 解得挠曲线方程为：(1cos )v kx δ=- 因为v 在x l =处为δ，则cos 0kl δ?=，由于0δ≠，可得：cos 0,2 kl kl π == （最小值） 而2 k EI ρ = ，得22 (2)lj EI P l π= 注：由cos 0kl =，本有02 kl n π π=+ >，计算可见0n =（2 kl π = 时），对应的P 值 是最小的，这一点与临界力的力学背景是相符的。 12-3 某钢材，230,274p s MPa MPa σσ==，200E GPa =，338 1.22lj σλ=-，试计算p λ和s λ值，并绘制临界应力总图（0150λ≤≤）。 解：92.6,52.5,s P s a b σλλ-=== =式中338, 1.22a b == s σσs p 50 题12-3图 12-4图示压杆的横截面为矩形，80,40,h mm b mm ==杆长2l m =，材料为优质碳钢， 210E GPa =。两端约束示意图为：在正视图（a ）的平面内相当于铰支；在俯视图（b ） 的平面内为弹性固定，并采用0.6μ=。试求此杆的临界应力lj P 。 《工程力学Ⅱ》期末考试试卷 （ A 卷） （本试卷共4 页） 2分，共12分） 1、强度计算问题有三种：强度校核， ，确定许用载荷。 2、刚度是指构件抵抗 的能力。 3、由等值、反向、作用线不重合的二平行力所组成的特殊力系称为 ，它对物体只产生转动效应。 4、确定杆件内力的基本方法是： 。 5、若钢梁和铝梁的尺寸、约束、截面、受力均相同，则它们的内力 。 6、矩形截面梁的横截面高度增加到原来的两倍，最大正应力是原来的 倍。 二、单项选择题（每小题5分，共15分） 、实心圆轴直径为d,所受扭矩为T ，轴内最大剪应力多大？（ ） A. 16T/πd 3 B. 32T/πd 3 C. 8T/πd 3 D. 64T/πd 3 2、两根拉杆的材料、横截面积和受力均相同，而一杆的长度为另一杆长度的两倍。下面的答案哪个正确？（ ） A. 两杆的轴向变形都相同 B. 长杆的正应变较短杆的大 C. 长杆的轴向变形较短杆的大 D. 长杆的正应力较短杆的大 3、梁的弯曲正应力（ ）。 A 、与弯矩成正比 B 、与极惯性矩成反比 C 、与扭矩成正比 D 、与轴力正比 三、判断题（每小题3分，共15分） 1、平面一般力系向一点简化，可得到主失和主矩。（ ） 2、力偶在坐标轴上的投影不一定等于零。（ ） 3、材料的弹性模量E 和泊松比μ都是表征材料弹性的常量。（ ） 4、杆件变形的基本形式是：轴向拉伸、压缩、扭转、弯曲（ ） 学院、系 专业班级 学 号 姓名 ·········· ··· ·· · · · ··· · · · · ·· · ··密· ···· ·· ·· ·· · · · · · · · · ··· · · · ··· ···· 封 · ···· · · · ·······················线········5、外伸梁、简支梁、悬臂梁是静定梁。（ ） 四、计算题（本题满分20分） 矩形截面木梁如图所示，已知P=10kN ，a =1.2m ，木材的许用应力 [ ]=10MPa 。设梁横截面的高宽比为h/b =2，试：（1）画梁的弯矩图； (2)选择梁的截面尺寸b 和h 。 五、计算题（本题满分20分） 传动轴AB 传递的功率为Nk=7.5kw, 轴的转速n=360r/min.轴的直径D=3cm,d=2cm. 试：(1)计算外力偶矩 及扭矩； (2)计算AC 段和BC 段轴横截面外边缘处剪应力； (3)求CB 段横截面内边缘处的剪应力。 得分 阅卷人 得分 阅卷 人 3-10求图示多跨梁支座 A 、C 处的约束力。已知 M =8 kN - m q = 4kN/m , l =2m (b) 习题3 - 10图 解：（1）取梁BC 为研究对象。其受力如图（b ）所示。列平衡方程 M B o, F c 21 q 31 色 0 2 9ql 9 4 2 F C 18kN 4 4 （2）取整体为研究对象。其受力如图 （c ）所示。列平衡方程 F y 0, F A F C q 3l 0 F A F C 3ql 18 3 4 2 6kN M A 0, M A M F C 4l q 3l 3.5l 0 M A M F C 4l 10.5ql 2 8 18 4 2 10.5 4 22 32kN m 3- 11组合梁 AC 及CD 用铰链C 连接而成，受力情况如图（a ）所示。设 F =50kN , q = 25kN/m ，力偶矩 M = 50kN - m 求各支座的约束力。 U UnJl. 1 r C F C 1 ------ 1 —2l _— 亠 (c) (a ) q F A I I F C I~I I ■* ------ 21 ------- ----------- 2L -------- l 亠 2 2 2 2 F wiuiMab " " "B'l" " " " L 「B C D F D 习题3- 11图 解：(1)取梁 CD 为研究对 象。 其受力如图 (c)所示。列平衡方程 M C 0, F D F D 2q M 2 25 50 25kN M D 0, F C F C 6q 4 2 5 50 25kN (2)取梁AC 为研究对象。 其受力如图 (b)所示，其中 F ' c =F c =25kN 。列平衡方程 M B 0, 2 1 F C 2 F A F 2q 2F C 50 2 25 2 25 25kN() M A 0, F B 3 F C 4 0 F B 6q 4F C 50 6 25 4 25 150kN 《工程力学A （Ⅱ）》试卷（答题时间100分钟） 班级 姓名 班级序号 一、单项选择题（共10道小题，每小题4分，共40分） 1．关于下列结论的正确性： ①同一截面上正应力 σ 与切应力 τ 必相互垂直。 ②同一截面上各点的正应力 σ 必定大小相等，方向相同。 ③同一截面上各点的切应力 τ 必相互平行。 现有四种答案： A ．1对； B ．1、2对； C ．1、3对； D ． 2、3对。 正确答案是： 。 2．铸铁拉伸试验破坏由什么应力造成？破坏断面在什么方向？以下结论哪一个是正确的？ A ．切应力造成，破坏断面在与轴线夹角45o方向； B ．切应力造成，破坏断面在横截面； C ．正应力造成，破坏断面在与轴线夹角45o方向； D ．正应力造成，破坏断面在横截面。 正确答案是： 。 3．截面上内力的大小： A ．与截面的尺寸和形状有关； B ．与截面的尺寸有关，但与截面的形状无关； C ．与截面的尺寸和形状无关； Ｄ．与截面的尺寸无关，但与截面的形状有关。 正确答案是： 。 4．一内外径之比为D d /=α的空心圆轴，当两端承受扭转力偶时，横截面上的最大切应力为τ，则内圆周处的切应力为 A ．τ B ．ατ Ｃ．τα)1(3- Ｄ．τα)1(4- 正确答案是： 。 9．图示矩形截面拉杆，中间开有深度为 2 h 的缺口，与不开口的拉杆相比，开口处最 A．2倍； B．4倍； C．8倍； D．16倍。 正确答案是：。 10.两根细长压杆的横截面面积相同，截面形状分别为圆形和正方形，则圆形截面压 试用叠加法求图示悬臂梁自由端截面B 的转角和挠度，梁弯曲刚度EI 为常量。 2F a a A B C Fa 四、计算题（本题满分10分） 已知材料的弹性模量 GPa E 200=，泊松比25.0=ν，单元体的应力情况如图所示，试求该点的三个主应力、最大切应力及沿最大主应力方向的主应变值。 MPa 第十四章 组合变形 习 题 14?1 截面为20a 工字钢的简支梁，受力如图所示，外力F 通过截面的形心，且与y 轴成φ角。已知：F =10kN ，l =4m ，φ=15°，[σ]=160MPa ，试校核该梁的强度。 解：kN.m 104104 1 41=??== Fl M kN.m;58821510kN.m;65991510.sin φsin M M .cos φcos M M y z =?===?==οο 查附表得：3 3 cm 531cm 237.W ;W y z == 122.9MPa Pa 10912210 5311058821023710569966 3 63=?=??+??=+=--....W M W M σy y z z max []σσmax <，强度满足要求。 14?2 矩形截面木檩条，受力如图所示。已知：l =4m ，q =2kN/m ，E =9GPa ，[σ]=12MPa ， 4326'=οα，b =110mm ，h =200mm ，200 1][=l f 。试验算檩条的强度和刚度。 z 解：kN.m 4428 1 8122=??== ql M kN.m;789143264kN.m;578343264.sin φsin M M .cos φcos M M y z ='?==='?==οοm ...W ;m ...W y z 424210033411022061 10333722011061--?=??=?=??= MPa 329Pa 1032910 033410789110333710578364 343......W M W M σy y z z max =?=??+??=+=-- []σσmax <，强度满足要求。 m ...sin EI φsin ql f m ...cos EI φcos ql f y y z z 33 943433 943410931411022012 1 1093844326410253845100349220110121 1093844326410253845--?=?????'????==?=?????' ????= =οο mm ..f f f y z 4517104517322=?=+= - 200 1 2291< =l f ，所以挠度满足要求。 14?3 一矩形截面悬臂梁，如图所示，在自由端有一集中力F 作用，作用点通过截面的形心，与y 轴成φ角。已知：F =2kN ，l =2m ，φ=15°，[σ]=10MPa ，E =9GPa ，h/b =1.5，容许挠度为l /125，试选择梁的截面尺寸，并作刚度校核。 解： =M kN.m;0351154kN.m;8643154.sin φsin M M .cos φcos M M y z =?===?==οο []62 3 2310106 110035*********?=≤?+?=+=σhb .bh .W M W M σy y z z max 将h/b=1.5代入上式得：mm b 113≥;则mm h 170≥。 取b=110mm;h=170mm z eBook 工程力学 （静力学与材料力学） 习题详细解答 （教师用书） (第2章) 范钦珊 唐静静 2006-12-18 习题2－2图 第2章 力系的简化 2－1 由作用线处于同一平面内的两个力F 和2F 所组成平行力系如图所示。二力作用线之间的距离为d 。试问：这一力系向哪一点简化，所得结果只有合力，而没有合力偶；确定这一合力的大小和方向；说明这一合力矢量属于哪一类矢量。 解：由习题2－1解图，假设力系向C 点简化所得结果只有合力，而没有合力偶，于是，有 ∑=0)(F C M ，02)(=?++?x F x d F ， d x =∴，F F F F =?=∴2R ， 方向如图示。合力矢量属于滑动矢量。 2－2 已知一平面力系对A (3，0)，B (0，4)和C (－4.5，2)三点的主矩分别为：M A 、M B 和M C 。若已知：M A ＝20 kN·m 、M B ＝0和M C ＝－10kN·m ，求：这一力系最后简化所得合力的大小、方向和作用线。 解：由已知M B = 0知合力F R 过B 点； 由M A = 20kN ·m ，M C = -10kN ·m 知F R 位于A 、C 间，且 CD AG 2=（习题2－2解图） 在图中设 OF = d ， 则 θcot 4=d CD AG d 2)sin 3(==+θ （1） θθsin )2 5.4(sin d CE CD ?== （2） 即 θθsin )2 5.4(2sin )3(d d ? =+ d d ?=+93 3=d 习题2－1图 习题2－1解图 R ∴ F 点的坐标为（-3, 0） 合力方向如图所示，作用线过B 、F 点； 3 4tan = θ 8.45 4 6sin 6=× ==θAG 8.4R R ×=×=F AG F M A kN 6 258.420R == F 即 )kN 310,25(R =F 作用线方程：43 4 += x y 讨论：本题由于已知数值的特殊性，实际G 点与E 点重合。 2－3三个小拖船拖着一条大船，如图所示。每根拖缆的拉力为5kN 。试求：(1)作用于大船上的合力的大小和方向。(2)当A 船与大船轴线x 的夹角θ为何值时，合力沿大船轴线方向。 解：（1）由题意知 kN 5T T T ===C B A F F F 。 由习题2－3解图，作用于大船上的合力在x 、y 轴上的投影的大小分别为： kN 19.1)45sin 10sin (sin40kN 5kN 12.3)cos45cos10(cos40kN 5R R =??==++?=D D D D D D y x F F 所以，作用于大船上的合力大小为： kN 4.2119.112.3222R 2R R =+=+=y x F F F 合力与x 轴的夹角为： D 53.53 .1219 .1arctan arctan R R ===x y F F α （2）当要使合力沿大船轴线方向，即合力R F 沿轴线x ，则0R =y F 0)45sin 10sin (sin kN 5R =??=D D θy F 88.0sin =θ， T T A F B F C T F y R F 习题2－3解图 习题2－3图 《工程力学》试卷及答案 班级 姓名 得分 一、填空题 （每空1分，共22分） 1、力的三要素是力的 大小 、 方向 、 作用点 。用符号表示力的单位是 （N ）或（KN ）。 2、力偶的三要素是力偶矩的大小、 转向 和 作用面方位 。用符号表示力偶矩的单位为（N·m ）或（KN·m ）。 3、常见的约束类型有 柔性 约束、 光滑接触面 约束、 光滑铰链 约束和固定端约束。 4、作用于一个刚体上的二力，使刚体保持平衡状态的充要条件是两个力大小相等、 方向相反 、 作用线相同 。 5、平面汇交力系平衡的充要条件是该力系的合力等于___零______。 6、平面任意力系的平衡条件为 , 0=∑ix F 0=∑iy F 和___∑M 0（F ）=0。 7、当平面任意力系有合力时，合力对作用面内任意点的矩，等于力系中各力对同一点之矩的代数和。 8、空间力系根据力的作用线不同可分为空间汇交力系、空间平行力系和空间任意力系。 9、力在空间坐标轴上的投影有两种运算方法，即直接投影法和二次投影 法。 10、工程中二力杆需满足三个条件，即自重不计、两端均用铰链连接和不受其他力的作用。 二、判断题：（对的画“√”，错的画“×”） （每题2分，共20分） 1、力的可传性定理，只适用于刚体。（√ ） 2、两物体间相互作用的力总是同时存在，并且两力等值、反向共线，作用在同一个物体上。（ × ） 3、力的大小等于零或力的作用线通过矩心时，力矩等于零 （ √ ） 4、力偶无合力，且力偶只能用力偶来等效。（ √ ） 5、共线力系是平面汇交力系的特殊情况，但汇交点不能确定。（ √ ） 6、二力杆的约束力不沿杆件两端铰链中心的连线，指向固定。（ × ） 7、平面汇交力系的合力一定等于各分力的矢量和。（ √ ） 8、力使物体运动状态发生变化的效应称力的外效应。（ √ ） 9、力的三要素中只要有一个要素不改变，力对物体的作用效应就不变。（ × ） 10、同一平面内作用线汇交于一点的三个力一定平衡。 （× ） 三、选择题（每题2分，共20分） % 1、平衡是指物体相对于地球保持 B 或作匀速直线运动状态。 A ．运动 B ．静止 C ．加速运动 2、力的平行四边形公理说明，共点二力的合力等于两个分力的 C 和。 A ．标量 B ．代数 C ．矢量 3、静力学研究对象主要是 C 。 A ．受力物体 B ．施力物体 C ．平衡物体 4、某刚体上在同一平面内作用了汇交于一点且互不平行的三个力，则刚体 C 状态。 A ．一定处于平衡 B ．一定不平衡 C ．不一定处于平衡 5、光滑面约束的约束反力总是沿接触面的 C 方向。 ( A ．任意 B ．铅重 C ．公法线 6、物体系受力图上一定不能画出 B 。 A ．系统外力 B ．系统内力 C ．主动力和被动力 7、在力投影中，若力平行于X 轴，则F x = A ；若力垂直于X 轴，则F x =0。 A ．±F B ．0 C ．不确定 8、用力拧紧螺母，其拧紧的程度不仅与力的大小有关，而且与螺母中心到力的作用线 C 有关。 A ．倾斜距离 B ．平行距离 C ．垂直距离 9、平面一般力系向已知中心点简化后得到 C 和一个力偶。 A ．一个力矩 B ．一力臂 C ．一个力 10、一力作平行移动后，新点的附加力偶矩一定 B 。 ) A ．存在且与平移距离无关 B ．存在且与平移距离有关 C ．不存在 三、简答题（每题5分，共15分） 1、1、试述主动力与约束反力的区别。 答：主动力：促使物体运动（或具有运动趋势）的力； 工程力学(天津大学)第4章答案 4-1 如图所示，铅垂轴上固结一水平圆盘，圆盘半径为R ，OB =h 。在圆盘的边缘上C 、D 两点分别作用力F 1和F 2，F 2平行于yBz 面，ED 平行于y 轴，α、β均为已知。试分别写出力F 1及F 2对各坐标轴之矩。 解： ) cos cos sin (cos sin cos )(2222βαβα ββ-=?+?-=R F R F h F M x F α βα βsin sin sin sin )(222R F R F M y =?=F α βα βsin cos sin cos )(222R F R F M z =?=F 4-2 匀质矩形平板重G =20kN ，用过其重心铅垂线上D 点的三根绳索悬在水平位置。设DO =60cm ，AB =60cm ，BE =80cm ，C 点为EF 的中心。求各绳所受的拉力。 E x y F F A B h O C α β 习题 z D 0 )(0 )()(1111==-=F F F z y x M M h F M 解：取矩形平板为研究对象，其上受一汇交于D 点的空间汇交力系作用，连接DH 、DI 、DJ ，如图b 所示。列平衡方程 习题 ( ( 由（1）（2）（3）式联立解得 4-3图示空间构架由三根无重直杆组成，在D 端用球铰链连接，A 、B 和C 端则用球铰链固定在水平地面上。如果挂在D 端的物重P =10kN ，试求铰链A 、B 和C 的约束力。 kN 02.12kN 51.6===C B A F F F () () () 302052 106061106061106000 205210406110406110400, 01, ,0, 0=-++=-++==-+=-+==∴===-=∑∑∑C B A C B A z C B A C B A x B A B A y F F F G DC DO F DB DO F DA DO F F F F F DO CO F BD BJ F AD AI F F F F BD AD BH AH BD BH F AD AH F F 工程力学（工程静力学与材料力学）习题与解答 第12章 强度理论 12－1 对于建立材料在一般应力状态下的失效判据与设计准则，试选择如下合适的论述。 （A ）逐一进行试验，确定极限应力； （B ）无需进行试验，只需关于失效原因的假说； （C ）需要进行某些试验，无需关于失效原因的假说； （D ）假设失效的共同原因，根据简单试验结果。 知识点：建立强度理论的主要思路 难度：一般 解答： 正确答案是 D 。 12－2 对于图示的应力状态（y x σσ>）若为脆性材料，试分析失效可能发生在： （A ）平行于x 轴的平面； （B ）平行于z 轴的平面； （C ）平行于Oyz 坐标面的平面； （D ）平行于Oxy 坐标面的平面。 知识点：脆性材料、脆性断裂、断裂原因 难度：难 解答： 正确答案是 C 。 12－3 对于图示的应力状态，若x y σσ=，且为韧性材料，试根据最大切应力准则，失效可能发生在： （A ）平行于y 轴、其法线与x 轴的夹角为45°的平面，或平行于x 轴、其法线与y 轴的夹角为45°的平面内； （B ）仅为平行于y 轴、法线与z 轴的夹角为45°的平面； （C ）仅为平行于z 轴、其法线与x 轴的夹角为45°的平面； （D ）仅为平行于x 轴、其法线与y 轴的夹角为45°的平面。 知识点：韧性材料、塑性屈服、屈服原因 难度：难 解答： 正确答案是 A 。 12－4 铸铁处于图示应力状态下，试分析最容易失效的是： （A ）仅图c ； （B ）图a 和图b ； （C ）图a 、b 和图c ； （D ）图a 、b 、c 和图d 。 知识点：脆性材料、脆性断裂、断裂准则 难度：一般 解答： 正确答案是 C 。 12－5低碳钢处于图示应力状态下，若根据最大切应力准则， 试分析最容易失效的是： （A ）仅图d ； （B ）仅图c ； （C ）图c 和图d ； （D ）图a 、b 和图d 。 知识点：韧性材料、塑性屈服、屈服准则 难度：一般 习题12-2、12-3图 习题12-4、12-5图天津大学结构力学考研真题资料含答案及详细讲解
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