工程力学(天津大学)第11章标准答案

第十一章 梁弯曲时的变形

习 题

11−1 用积分法求下列简支梁A 、B 截面的转角和跨中截面C 点的挠度。

解：（a ）取坐标系如图所示。弯矩方程为：x l M M e

= 挠曲线近似微分方程为：x l

M y EI e

-='' 积分一次和两次分别得：C x l

M y EI e +-

='2

2，

（a ） D Cx x l

M EIy e ++-

=3

6 (b) 边界条件为：x =0时，y =0，x =l 时，y =0， 代入（a ）、(b)式，得：0,6

==

D l M C e

梁的转角和挠度方程式分别为：

)62(12l M x l M EI y e e +-=

'，)6

6(13lx M x l M EI y e e +-= 所以：EI

l M y l EI M θEI l M θe C e B e A 16,3,62

=

-==

（b ）取坐标系如图所示。

AC 段弯矩方程为：)2

0(11

l

x x l

M

M e ≤≤=

BC

段弯矩方程为：

)2

(22l x l

M x l M M e e

≤≤-=

两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为：

(a)

(b)

习题11−1图

x

AC 段：11x l

M y EI e

-='' 12

112C x l

M y EI e +-='， （a ） 1113

116D x C x l

M EIy e ++-

= (b) BC 段：e e

M x l

M y EI +-=''22 22

222C M x l

M y EI e e ++-='， （c ） 22223

226D x C x M x l

M EIy e e +++-

= (d) 边界条件为：x 1=0时，y 1=0，x 2=l 时，y 2=0， 变形连续条件为：21

21212

y y y y l

x x '='==

=，时，

代入（a ）、(b)式、（c ）、(d)式,得：,8

D 0,2411,24

22121l M

D l M C l M C e e e

==-

==

， 梁的转角和挠度方程式分别为：AC 段：

)242(121l M x l M EI y e e +-=

'，)24

6(1

1311lx M x l M EI y e e +-= BC 段：

)24112(12222l M x M x l M EI y e e e -+-='，)8241126(12222322l M lx M x M x l M EI y e e e e +-+-=

所以：0,24,24===C e

B e A y l EI

M θEI l M θ

11−2 用积分法求下列悬臂梁自由端截面的转角和挠度。

解：（a ）取坐标系如图所示。弯矩方程为：

2

2

x q M -

= 习题11−2图

B A （a ）

B

挠曲线近似微分方程为：22

x q y EI ='' 积分一次和两次分别得：C x q y EI +=

'3

6

， （a ） D Cx x q EIy ++=

4

24

(b) 边界条件为：x =l 时，y =0，y'=0，

代入（a ）、(b)式，得：438

1,

6

ql D l q

C =-=

梁的转角和挠度方程式分别为：

)66(133l q x q EI y -=

'，)8

1624(1434ql x l q x q EI y +-= 所以：EI

ql y EI

ql θA A 8,

64

3

=

-=

（b ）取坐标系如图所示。弯矩方程为：

e M M = 挠曲线近似微分方程为：e M y EI -=''

积分一次和两次分别得：C x M y EI e +-=' （a ）

D Cx x M EIy e ++-

=2

2

(b) 边界条件为：x =l 时，y =0，y'=0， 代入（a ）、(b)式，得：221

,l M D l M C e e -==

梁的转角和挠度方程式分别为：

)(1

l M x M EI

y e e +-=

')2

1

2(122l M lx M x M EI y e e e -+-=

所以：EI

l M y EI

l

M θe A e A 2,

2

-

==

11−3 一悬臂梁在BC 段受均布荷载作用，如图所示，试用积分法求梁自由端截面C 的转角和挠度。

q

A C

习题11−3

图

q