2.3等差数列的前n项和(第二课时)

A.63
B.45
C.36
D.27
4.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且 a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=(
A
)
A.85
B.145
C.110
D.90
5.已知等差数列25,21,19, …的前n项
和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.
6.已知在等差数列{an}中,a10=23,
S10 30 由 ,解得A和B, 从而解得S30 S 20 100
例1.在等差数列an 中，S10 30, S 20 100 , 求S30
Sn 方法四：设S n An Bn, 则 An B 一次函数 n 1 10 A B 3 A 由已知得 ,解得 5, 20 A B 5 B 1 Sn 1 S30 从而 n 1, 7, S30 210 n 5 30
例1.在等差数列an 中，S10 30, S 20 100 , 求S30
方法一：S10，S 20 - S10 , S30 - S 20成等差数列，知S30 210
方法二（方程思想）：由等差数列的前n项和公式得 10 9 10 a1 2 d 30 , 解得a1和d , 从而解得S30 20 19 20 a1 d 100 2 方法三（方程思想）：设S n An2 Bn,
∴当n=7时,Sn取最大值49.
∴ d=－2
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法2 由S3=S11得 d=－2<0
则Sn的图象如图所示 又S3=S11 所以图象的对称轴为
∴当n=7时,Sn取最大值49.
Sn
3 11 n 7 2
n 3 7 11
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法4 由S3=S11得
a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∴a7+a8=0 又d=－2<0,a1=13>0 ∴a7>0,a8<0
∴当n=7时,Sn取最大值49.
练习:1.已知数列{an}的通项为an=26-2n, 要使此数列的前n项和最大,则n的值为 ( C)
A.12 B.13 C.12或13 D.14
2.设数列{an}的通项公式为an=2n-7,则 |a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|= 153 .
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若 S3=9,S6பைடு நூலகம்36,则a7+a8+a9=( B )
a25=-22 ,Sn为其前n项和.
（1）问该数列从第几项开始为负？
（2）求S10
（3）求使 Sn<0的最小的正整数n.
(4) 求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值
1.根据前n项和，求通项公式.
n1 a1 an S n S n 1 n 2
2、结合二次函数图象和性质求 的最值.
2
例2.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法1 由S3=S11得
1 1 3 13 3 2 d 11 13 11 10 d 2 2
1 Sn 13n n( n 1) ( 2) 2 2 2 n 14n ( n 7) 49
d 2 d Sn n (a1 )n 2 2
d d 令 A , B a1 2 2
则 Sn=An2+Bn
n(n 1)d S n na1 2
当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数
巩固练习
1、一个等差数列前4项的和是24，前5项的和
与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通
第二课时
复习回顾 1.等差数列的前n项和公式: 倒序相加法
公式1: 公式2:
2.数列an 的前n项和S n与an的关系： S1，n 1； an Sn Sn-1，n>1.
n（a1 an ) Sn 2 n（n 1) Sn na1 d 2
3.等差数列前n项和公式的函数特征：
求等差数列前n项的最大(小)的方法
d 2 d 方法1:由Sn n (a1 )n利用二次函 2 2 数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.
方法2:利用an的符号①当a1>0,d<0时,数列 前面有若干项为正,此时所有正项的和为 Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得. ②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负, 此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值 由an ≤0且an+1 ≥ 0求得.
项公式。
解： S 24， 4 4a1 6d 24， (5a1 10d ) (2a1 d ) 27 S5 S2 27 a1 3， an 3 2( n 1) 2n 1. d 2
2、已知等差数列an 中，a6 20, 求S11 .
a1 a2 a3 34
an 2 an 1 an 146
S n 390
整体思想
na1 an S n 390 2
（a1 an ) n Sn 2 （n 1) n Sn na1 d 2
na1 an 方法一：利用等差数列的性质和公式S n 2 a9 17 a1 a17 S17 b9 17 b1 b17 T17
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法3 由S3=S11得 d=－2
∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15 15 an 0 n 2 由 得 an 1 0 n 13 2 ∴当n=7时,Sn取最大值49.
d 2 d S n n (a1 )n 2 2
1 思考：求数列 1. 的前n项和 nn 1 1 1 1 Sn 1 2 2 3 nn 1
2.等差数列an 中，a1 3, d 2, 1 1 1 S n为前n项和，求 S1 S 2 Sn
解: a6 20 a1 a11 2a6
11(a1 a11 ) S11 11a6 220. 2
整体思想
（a1 an ) n Sn 2 （n 1) n Sn na1 d 2
3.若一个等差数列前3项和为34，最后三 项和为146，且所有项的和为390，则这个 数列共有 13 项。 __ 3a1 an 180
4.已知两个等差数列{an},{bn}，它们的前 S n 2n 3 a9 ,求 . n项和分别是Sn,Tn，若 Tn 3n 1 b9
方法二：S n与Tn的表达式？
Tn k n3n 1 S n k n2n 3
（a1 an ) n Sn 2 （n 1) n Sn na1 d 2