一维小波分析去噪方法研究

摘 要
小波分析理论是从上世纪70年代发展至今的一种新兴信号处理理论，因为它在时间和频率上都具有良好的局部性，所以非常适合进行时频分析的相关工作。小波分析理论具有时频局部分析的特点，已成为抑制信号噪声的重要工具。使用小波分析降低噪声是实践中小波分析的重要示例。小波分析去噪的关键在于选择和使用阈值的方法，在了解了小波阈值去噪的原理后，我们可以通过MATLAB软件，来验证小波阈值去噪理论的实际效果，由此证明该理论的可行性。本文主要介绍了随机噪声的种类、小波变换的原理，以及基于小波分析的去噪方法，其中小波阈值去噪法是一种相对而言能够简单实现并效果明显的小波去噪方法。
关键词：小波分析；阈值去噪；MATLAB
Abstract
Wavelet analysis theory is a new signal processing theory developed from the 1970s. Because it has good locality in time and frequency, it is very suitable for the related work of time-frequency analysis. Wavelet analysis theory has the characteristics of time-frequency local analysis, and has become an important tool to suppress signal noise. Using wavelet analysis to denoise is an important embodiment of the application of wavelet analysis in practice. The key of wavelet analysis denoising is to choose and use threshold method. After understanding the principle of wavelet threshold denoising, we can verify the practical effect of wavelet threshold denoising theory through MATLAB software, thus proving the feasibility of the theory. This paper mainly introduces the types of random noise, the principle of wavelet transform, and the denoising method based on wavelet analysis, in which wavelet threshold denoising method is a relatively simple and effective wavelet denoising method.
Keywords: wavelet transform; denoising; MATLAB
第一章 绪论
1.1研究背景和意义
信号和图像与我们的生活息息相关，也是人类获取信息的重要方式，但是，在我们通过信号、图像获取信息的过程中会受到各种各样的噪声干扰，所以，寻求一种能够抑制甚至消除噪声的方法就显得至关重要，其结果直接影响到我们获得信息的准确性。得益于电子技术和计算机技术的蓬勃发展，信号处理技术也从上世纪70年代至今取得了巨大的进步。由于小波分析在其时域和频域都具有优秀的局部化特性，因此在傅里叶分析之后被称为又一伟大的理论，同时，小波分析还享有“数学显微镜”的称号。总的来说，小波分析在信号处理，数字图像处理等专业领域得到了广泛的应用，因此，小波分析是减少和消除噪声的一种重要方法。
1.2 小波分析的产生与发展
Morlet是最早将小波分析应用于信号处理的研究人员之一。1974年，Morlet首次提出了小波变换

的概念，并建立了一个反演公式。在19世纪80年代，数学家Y. Meyer首次构造了小波基，并与S. Mallat建立了构造小波基的方法。1992年，Mallat提出了利用小波变换模极大值原理来进行信号去噪的方法，即根据在小波的信号和噪声的不同传播特性各尺度的变换，除去模极大噪声，保留对应模极大信号，再使用小波模极大重建因子的其余部分，并然后恢复信号，这是小波去噪中最经典的方法。 1994年，Xu等人提出了用于基于信号和噪声在相邻的小波系数的尺度滤波之间的相关性的空间相关性去除噪声的方法，这种方法虽然可以比较简单地实现，但是不够精准。随后，在20世纪90年代，Donoho和Johnstone提出了小波阈值收缩的方法。简而言之，阈值降噪是首先对信号进行分解，然后对分解后的系数进行阈值化处理，最后对其进行重构以获得信号降噪。在之后的几十年中，各个国家的学者也在此方面做出了极大的贡献，总之，小波分析去噪研究的活跃度非常高。
通过近几十年各国学者对小波分析的研究，它已经在当前应用数学和信号处理中取得了可观的发展，小波分析不仅建立了重要的形式数学系统，而且具有更强的理论依据。与傅立叶变换相比，小波变换具有良好的时域频域局部性特点，因此可以更有效地提取信号信息。缩放，变换和其他计算功能可用于对功能或信号执行详细的多尺度分析，这可以解决傅立叶变换无法处理的许多问题。小波变换已经连接了许多领域，例如物理，信号信息处理，图像处理，地震勘探等。数学家认为，小波分析是数学的一个新分支，是功能分析，傅立叶分析，样条分析和数值分析共同研究的结果。信号和信息处理专家认为，小波分析是研究时标分析和多分辨率分析的一项新技术。它为信号分析，图像识别，计算机视觉，地震勘探以及大气和海浪分析做出了重要贡献。
1.3实验研究目的
第一，介绍几种经典的随机噪声，并阐述几种常用的去噪算法，比较几种常用算法的优缺点。第二，介绍小波变换的基本理论,对小波变换的原理进行分析，并说明小波变换适合信号处理的原因，作为后面讨论的理论基础。第三，在基于小波变化的降噪方法研究的基础上，对小波降噪进行了概述，并简要介绍了小波变换降噪的类型。 最后，简单介绍MATLAB中常用的去噪函数及代码，并进行小波阈值去噪仿真，证明理论的正确性。
第二章随机噪声的介绍及压制方法
2.1随机噪声的定义
随机噪声是由于时间上随机生成的大量起伏骚扰，在给定时间内无法预测其值的噪声。人们常会使用添加随机噪声的方法来进行信号复原、图像复原的工

作。
2.2典型的随机噪声
高斯噪声：如果噪声的概率密度函数遵循高斯分布（即正态分布），则称为高斯噪声。如果噪声的功率谱密度均匀分布，但幅度分布遵循高斯分布，则称为高斯白噪声。高斯白噪声的二阶矩是不相关的，而第一阶矩是常数，表示连续信号的时间相关性。高斯白噪声有两种，一种是热噪声，另一种是散粒噪声。
椒盐噪声：椒盐噪声是一种经常能在图像中见到的噪声，它又称为脉冲噪声。它能够随机的产生黑色或白色的像素点，可能在较亮的区域产生黑色色素点，也可能在较暗的区域产生白色像素点，或是两者皆有。顾名思义，椒盐噪声也分为两种，一种叫做盐噪声，另一种叫做胡椒噪声，盐噪声属于高灰度噪声，胡椒噪声属于低灰度噪声。一般情况下，这两种噪声会同时出现在图像上，使图像上产生黑色和白色像素点。椒盐噪声的成因可能是强烈的干扰影响了图像信号、也可能是类比数位转换器或位元传输错误等。
2.3常用的去噪算法
目前有四种较为常用的图像去噪算法：①中值滤波算法，它采用了排序统计的理论，是一种非线性信号处理技术，能够明显地减少噪声，此算法能够将目标像素的周围8个像素排序居中的值来代替原像素，此算法具有能够消除孤立噪声点的优点，可以使周围像素值接近真实值。②均值滤波算法，它采用了邻域平均法，是一种典型的线性滤波算法，此算法能够用目标像素周围的8个像素的平均值来代替原像素值，此算法具有能够快速平滑图像的优点，但是它只能在一定程度上减弱噪声，不能完全去除噪声。③维纳滤波算法，它采用了一种使原始图像和其恢复图像之间的均方误差最小的复原方法，能够根据局部方差来调整滤波器效果，是一种自适应滤波器。④小波滤波算法，它继承了快速傅里叶变换思想，并在此基础上做出了发展，是一种自适应的时域和频域同时局部化的多分辨率分析方法。将绝对值较小的小波系数置为零，保留或收缩绝对值较大的系数，然后得到估计小波系数，并进行信号重构以去噪。
第三章 小波变换基本理论
3.1 小波变换
令（，为它的傅里叶变换。当满足下面的条件时：
则就是一个基本函数，令
式中，a和b均为常数，且a大于0。通过改变a与b的值，即可得到一组函数。则小波变换后的x（t）为：

小波变换就是先找到一组分析宽度正在变化的基函数，然后用这组基函数对x(t)进行分析，基本要求是要适应使用不同的分辨率对不同频率范围的信号进行分析。
令为x(t)的傅里叶变换，为的傅里叶变换，则的傅里叶变换为

由帕塞瓦尔定理可

得

这个公式就是小波变换的频率表达式当减小时，时域宽度随着的减小而减小，频域宽度随着的减小而增大，而且b的窗口中心向增大方向移动。这说明连续小波的局部在高频时具有高分辨率，在低频时具有低分辨率。这就是小波变换优于傅里叶变换的原因。也就是说，小波变换的特性是具有更好的时频窗口。
3.1.1 连续小波变换
设是二次积分函数，即，当的傅立叶变换满足以下条件时：
则为一个基本小波或小波母函数，则上式为小波函数的可容许性条件。
将小波母函数进行尺度伸缩和位移，即可得小波基函数：
其中a和b分别称为伸缩因子和平移因子。
连续小波变换定义为：设函数f(t)能够二次积分，表示的复共轭，则f(t)的连续小波变换为：
连续小波变换有一个缺点，即有很大的系数冗余量，但是从另一方面来讲，在去除噪声的时候我们可以利用连续小波变换的冗余性，所以，连续小波变换的冗余性又成为了不可替代的优势。
连续小波变换是具有以下属性的线性变换：
（1）叠加性：设，，是任意常数，x(t)的连续小波变换为，y(t)的连续小波变换为，，则z(t)的连续小波变换为：
（2）时移不变性：若x(t)的连续小波变换为，则的连续小波变换为。x(t)的时移对应于WT的b移。
（3）尺度变换：若x(t)的连续小波变换为，，则的连续小波变换为。此属性表明，当信号在时域中拉伸到特定倍数时，其小波变换也在a和b轴上拉伸到相同倍数，并且不会改变形状。
（4）内积定理：设，它们的CWT分别为和，则有：
式中。
仅当存在逆变换时，所有变换才具有实际意义。当逆变换存在时，所使用的小波满足容许条件。也就是说，根据信号的小波变换系数可以准确地恢复原始信号，并且满足连续小波变换的逆变换公式： 
其中。
3.1.2 离散小波变换
在我们处理数字图像的过程中，需要对连续的小波进行离散化处理，在计算机中实现，常使用二进制离散处理，这种经过了离散化处理的小波称为离散小波变换，简称为DWT，实际上，对连续小波变换的尺度、位移按照二次幂进行离散化就是离散小波变换，也可以称之为二进制小波变换。
在离散小波变换中，为了衡量函数族是否构成正交性，我们定义了冗余度这一概念，如果信号损失了一部分后仍可以传输相同数量的信息，则称该信号为冗余，冗余的程度称为冗余度。由于连续小波变换存在冗余，因此我们需要知道在重构信号的过程中，要针对a和b进行哪一种离散化，这样才能消除变换中的冗余，在实际操过过程中，可以令，这时
常简写为：。
变换形式为：
为了能重构信号，要求是的Riesz基。

将函数称为一个R函数，如果在下述意义上是一个Risez基：的线性张成在中是稠密的，并且存在正常数A与B，，使
对所有二重双无限平方可和序列成立，即对于的成立。
假定是一个R函数，那么存在的一个唯一的Riesz基，它在意义
上与对偶。这时，每个有如式的唯一级数表示：
特别地，若构成的规范正交基时，有
重构公式为：

第四章 基于小波分析的去噪方法
4.1小波去噪综述
小波去噪的基本方法主要有以下几种：①利用小波变换模极大去噪。②根据各尺度下的小波系数相关性进行去噪。③采用非线性小波变换阈值法去噪、平移不变量小波去噪，阈值方法是本文介绍的主要方法，因为它具有获得原始信号的最佳估计值，快速的计算速度和广泛的适应性的优点。
4.2 小波阈值去噪法
小波阈值去噪的基本原理是：首先使用Mallat算法处理信号，然后对处理后的信号执行小波变换以选择生成的小波系数。小波分解后，信号的小波系数较大，噪声的小波系数较小，因此可以选择合适的阈值以使小波系数大于阈值，并将小于阈值的小波系数设置为零来达到去噪的目的。
在数学角度，可以用函数逼近问题来解释小波去噪，即我们可以通过伸缩和位移将小波母函数展成一个函数空间，然后设立一个测量准则，根据这个准则寻找图像的逼近，这样就可以区分图像和噪声。这个问题可以表述为：
（opt代表最优解）
，为原图像，为噪声图像

因此，为了获得最佳的原始图像恢复效果，我们需要通过小波噪声去除方法找到从实际图像空间到小波函数空间的最佳映射。在信号方面，小波去噪实际上是一个滤波问题。小波去噪可以在某种程度上被认为是低通滤波，但是经过去噪后，小波降噪在图像处理方面要优于传统的低通滤波，因为低通滤波无法保留图像的特性， 所以在图像处理方面，小波去噪方法优于传统的低通滤波。下图为其等效框图：
图4-1 小波去噪的等效框图
小波阈值去噪的基本思路是：
（1）首先用小波变换处理含有噪声的信号f（k），这样做可以得到一组小波系数。
（2）对小波系数进行阈值处理，即可得到估计系数，此时要尽量减小与的差值。
（3）根据进行小波重构，可以得到估计信号f（k），即去除噪声后的信号。
因此，通常的去噪办法是：设立一个合适的阈值，将小波函数中低于的估计系数值置为零，再将高于的估计系数保留或进行收缩，这样可以得到估计小波系数，它可理解为基本由信号s(k)引起的，然后对进行重构，就可以重构原始信号。
估计小波系数的方法如下，取：
定