中考数学—锐角三角函数的综合压轴题专题复习含答案
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一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.已知在平面直角坐标系中,点()()()3,0,3,0,3,8A B C --,以线段BC 为直径作圆,圆心为E ,直线AC 交E 于点D ,连接OD . (1)求证:直线OD 是E 的切线;
(2)点F 为x 轴上任意一动点,连接CF 交E 于点G ,连接BG : ①当1an 7t ACF ∠=时,求所有F 点的坐标 (直接写出); ②求BG CF
的最大值. 【答案】(1)见解析;(2)①143,031F ⎛⎫
⎪⎝⎭,2(5,0)F ;② BG CF 的最大值为12. 【解析】
【分析】
(1)连接DE ,证明∠EDO=90°即可;
(2)①分“F 位于AB 上”和“F 位于BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可; ②作GM BC ⊥于点M ,证明1~ANF ABC ∆∆,得
12
BG CF ≤,从而得解. 【详解】
(1)证明:连接DE ,则:
∵BC 为直径
∴90BDC ∠=︒
∴90BDA ∠=︒
∵OA OB =
∴OD OB OA ==
∴OBD ODB ∠=∠
∵
EB ED =
∴EBD EDB ∠=∠
∴EBD OBD EDB ODB ∠+∠=∠+∠
即:EBO EDO ∠=∠
∵CB x ⊥轴
∴90EBO ∠=︒
∴90EDO ∠=︒
∴直线OD 为E 的切线.
(2)①如图1,当F 位于AB 上时:
∵1~ANF ABC ∆∆ ∴11NF AF AN AB BC AC == ∴设3AN x =,则114,5NF x AF x == ∴103CN CA AN x =-=-
∴141tan 1037F N x ACF CN x ∠===-,解得:1031x = ∴150531
AF x == 1504333131
OF =-= 即143,031F ⎛⎫
⎪⎝⎭
如图2,当F 位于BA 的延长线上时:
∵2~AMF ABC ∆∆
∴设3AM x =,则224,5MF x AF x ==
∴103CM CA AM x =+=+
∴241tan 1037F M x ACF CM x ∠=
==+ 解得:25
x =
∴252AF x ==
2325OF =+=
即2(5,0)F
②如图,作GM BC ⊥于点M ,
∵BC 是直径
∴90CGB CBF ∠=∠=︒
∴~CBF CGB ∆∆ ∴8BG MG MG CF BC == ∵MG ≤半径4= ∴
41882
BG MG CF =≤= ∴BG CF 的最大值为12.
【点睛】
本题考查了圆的综合题:熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形;相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长;理解坐标与图形性质;会运用分类讨论的思想解决数学问题.
2.如图,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°,向前走6m到达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.
(1)求∠BPQ的度数;
(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1m).备用数据:,
【答案】(1)∠BPQ=30°;
(2)该电线杆PQ的高度约为9m.
【解析】
试题分析:(1)延长PQ交直线AB于点E,根据直角三角形两锐角互余求得即可;
(2)设PE=x米,在直角△APE和直角△BPE中,根据三角函数利用x表示出AE和BE,根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值,再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长,则PQ的长度即可求解.
试题解析:延长PQ交直线AB于点E,
(1)∠BPQ=90°-60°=30°;
(2)设PE=x米.
在直角△APE中,∠A=45°,
则AE=PE=x米;
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中,BE=
3
3
PE=
3
3
x米,
∵AB=AE-BE=6米,
则3
,
解得:3
则BE=(3)米.
在直角△BEQ中,QE=
3
3
BE=
3
3
(33+3)=(3+3)米.
∴PQ=PE-QE=9+33-(3+3)=6+23≈9(米).
答:电线杆PQ的高度约9米.
考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
3.小红将笔记本电脑水平放置在桌子上,显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时,感觉最舒适(如图1),侧面示意图为图2;使用时为了散热,她在底板下面垫入散热架ACO'后,电脑转到AO'B'位置(如图3),侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm,O'C⊥OA于点C,O'C=12cm.
(1)求∠CAO'的度数.
(2)显示屏的顶部B'比原来升高了多少?
(3)如图4,垫入散热架后,要使显示屏O'B'与水平线的夹角仍保持120°,则显示屏O'B'应绕点O'按顺时针方向旋转多少度?
【答案】(1)∠CAO′=30°;(2)(36﹣12)cm;(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.
【解析】
试题分析:(1)通过解直角三角形即可得到结果;
(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D,通过解直角三角形求得
BD=OBsin∠BOD=24×=12,由C、O′、B′三点共线可得结果;
(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°,求得∠EO′B′=∠FO′A=30°,既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.
试题解析:(1)∵O′C⊥OA于C,OA=OB=24cm,
∴sin∠CAO′=,
∴∠CAO′=30°;
(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D,∵sin∠BOD=,∴BD=OBsin∠BOD,