高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结

圆锥曲线

1.圆锥曲线的两定义：

第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于2

1F F ，

当常数等于

2

1F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于

21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，

且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如方程

8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时2

2

22b

x a y +＝1（0a b >>）。方程

22Ax By C

+=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。

若R y x ∈,，且62322

=+y x

，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___）

（2）双曲线：焦点在x 轴上：2

2

22b y a x - =1，焦点在y 轴上：2

2

22b

x a y -＝1（0,0a

b >>）

。方程22

Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。

如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e

的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：

226x y -=）

（3）抛物线：开口向右时

22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时

22(0)x py p =->。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆：由x 2

,

y

2

分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程

1212

2=-+-m

y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：)23,1()1,( --∞）

（2）双曲线：由x

2

,

y

2

项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2

22a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。

4.圆锥曲线的几何性质：

（1）椭圆（以122

22=+b

y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：

两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c

=±

； ⑤离心率：c

e

a

=

，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 如（1）若椭圆1522=+m

y x 的离心率510

=

e ，则m 的值是__（答：3或325）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：22）

（2）双曲线（以22

22

1x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的

长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2

a x c =±； ⑤离心率：c

e a =，双曲线⇔1e >，

等轴双曲线⇔e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b

y x a

=±。

（3）抛物线（以

22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2

p

，其中p 的几何意义是：焦点到准线

的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2

p

x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物

线⇔1e =。

如设R a a

∈≠,0，则抛物线24ax y =的焦点坐标为________（答：)161

,

0(a

）

； 5、点00(,)P x y 和椭圆122

22=+b

y a x （0a b >>）的关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭

圆上⇔220220b

y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200

221x y a b +<

6．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交：0

∆>⇔直线与椭圆相交； 0∆>⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0∆>，当直线与双曲线的

渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0∆>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0∆>⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0∆>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0∆>也仅是

直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

（2）相切：0

∆=⇔直线与椭圆相切；0∆=⇔直线与双曲线相切；0∆=⇔直线与抛物线相切；

（3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；0∆<⇔直线与双曲线相离；0∆<⇔直线与抛物线相离。

提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与

双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线2222b

y a x -＝1外一点

00(,)P x y 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线

和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。

7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题： 20tan

||2

S b c y θ

==，当0||y b =即P 为短轴端点

时，m ax S 的最大值为bc ；对于双曲线2

tan

2θ

b S

=

。 如 （1）短轴长为

5，

练习：点P 是双曲线上112

2

2

=-y x 上一点，21,F F 为双曲线的两个焦点，且21PF PF =24，求21F PF ∆的周长。

8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB 为焦点弦， M 为准线与x 轴的交点，则∠AMF ＝∠BMF ；（3）设AB 为焦点弦，A 、B 在准线上的射影分别为A 1，B 1，若P 为A 1B 1的中点，则PA ⊥PB ；（4）若AO 的延长线交准线于C ，则BC 平行于x 轴，反之，若过B 点平行于x 轴的直线交准线于C 点，则A ，O ，C 三点共线。

9、弦长公式：若直线

y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB

12

x -，若

12

,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则

AB

＝

2121

1y y k

-+

，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB

12

y y -。特别

地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

10、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆122

22=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0

2

02y a x b ；

弦所在直线的方程： 垂直平分线的方程：

在双曲线22

221x y a b -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0

2

02y a x b ；在抛物线

22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点