同济版大一高数第十一章习题课44页PPT

计 L f(x, y)ds
f[,]
2 2dt
算
()
LPdxQdy
[P(,)Q(,)]dt
(与方向有关)
4
与路径无关的四个等价命题
条 在 单 连 通 开 区 域 D 上 P (x,y)Q ,(x,y)具 有 连 续 件 的 一 阶 偏 导 数 ,则 以 下 四 个 命 题 成 立 .
等
(1) 在D内 ,PQ y x
x
y
z
PQ R
(Px
Q y
R)dv z
14
（三）场论初步
梯度
graduu iu juk x y z
通量 散度
Pdy Q dzd zR dxdxdy
diA vPQR x y z
环流量 PdQ x d R y dz
旋度 rA o ( tR Q )i ( P R ) j ( Q P )k y z z x x y
习题课
第十一章
线面积分的计算
一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法
1
一、主要内容 （一）曲线积分与曲面积分 （二）各种积分之间的联系 （三）场论初步
2
（一）曲线积分与曲面积分
对弧长的 曲线积分
对面积的 曲面积分
曲
曲
线 积
定联计 义系算
定联计 面 义系算 积
分
分
对坐标的
对坐标的
曲线积分
曲面积分
定积分
Stokes公式
曲面积分
计算
Guass公式
计Baidu Nhomakorabea 重积分
7
积分概念的联系
n
f(M )dl i0im 1f(M ) i,f(M )点函
定积分
当R1上区[a间 ,b]时,
f(M)d bf(x)d.x
a
二重积分
当R2上区D 域时,
f(M)df(x,y)d.
D
8
曲线积分 当R2上平面L曲 时,线
联 系
PdydQz dzdRxdx dy(P c oQ sco s R co)dsS
计 f(x,y,z)ds
R(x, y,z)dxdy
算
f[x,y,z(x,y)]1zx 2z2 ydxdy R[x,y,z(x,y)d ] xdy
D xy
Dxy
与侧无关
与侧有关
6
（二）各种积分之间的联系
曲线积分
计算
f(M)dL f(x,y)ds.
当R3上空间曲 时,线
f(M)d f(x,y,z)ds.
三重积分
当R3上区域 时,
f(M)df(x,y,z)dV
曲面积分 当R3上曲 面时,
f(M)df(x,y,z)dS. 9
计算上的联系
f(x,y)db[y2(x)f(x,y)d]d y,(xd面元 ) 素
L
a
10
f(x,y,z)dsf[x,y,z(x,y)] 1zx2 zy2dxdy
Dxy
(ds面元素(曲))
R (x,y,z)dxd fy [x,y,z(x,y)d ] xdy
D xy
(dxd面 y 元(素 投影 ))
其中 L P d Q x d L (P y co Q sco )dss
PdydQ z dzdxRdxdy
3
曲线积分
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
定
n
P(x,y)d xQ(x,y)dy
义
Lf(x,y)d sl i0m i1f(i,i)si
Ln
l i0im 1[P (i, i) xi Q (i, i) yi]
联 系
L P Q d L x ( d P cy o Q c s) o ds s
(PcosQcos Rcos)ds
11
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
b
af(x )d x F (b ) F (a ) (F (x ) f(x ))
牛顿--莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
D( Q x P y)dxd LP yd Q x d(沿 y格L 的 林公式)正 向
12
3.三重积分与曲面积分的联系
Ñ LA rds r(rotA rn r)dxdy D
L(A n )d sd A id vxdy
D
推广
A(M)为空间向量场
推广
Ñ u A rd u u S r(rotA rn r)dS
(A n )d sdA id vv
Pdx Qdy Rdz
dydz dzdx dxdy
PdydzQdzdx Rdxdy
( P x Q y R z)d v P d Q yd d R zzd dx x
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
R Q
P R
Q P
(yz)dyd(zzx)dzdx (xy)dxd
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
13
Green公式,Guass公式,Stokes公式之间 的关系
LPdQ x d y D( Q x P y)dx或dyLQd P xd y D( P x Q y)dxdy A(M)为平面向量场
价 (2) CPd Q x d0,闭 y 曲 C D 线
命 (3) 在 D内LPdQ x d与 y 路径无
题 (4 )在 D 内U 存 (x ,y )使 d 在 u P d Q xd
5
曲面积分
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
定
义
n
n
f(x,y,z)d sl i0m i1f(i,i,i)si R (x,y,z)dxd l i0y im 1R (i, i, i)( Si)xy
15
一、曲线积分的计算法
1. 基本方法 曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 )
转化
定积分
用参数方程
(1) 统一积分变量 用直角坐标方程
用极坐标方程
第一类: 下小上大 (2) 确定积分上下限 第二类: 下始上终
练习题: P184 题 3 (1), (3), (6) 16
2. 基本技巧 (1) 利用对称性及形心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件; (3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用两类曲线积分的联系公式 . (5) 利用斯托克斯公式 ;
17
例1 计算
其中L为圆周
提示: 利用极坐标 ,
dsr2r2dad
原式 = L axds
说明: 若用参数方程计算, 则
y
r
t
o
ax
18
例2. 计算
其中 为曲线
z
解: 利用轮换对称性 , 有
x2dsy2dsz2ds
D
a y1(x)
f(x,y,z)d Vbdy x 2(x)dzy 2(x,y)f(x,y,z)d,(d z体 V )元
a y 1(x) z1(x,y)
f(x,y)d sbf[x,y(x)]1y2d,(d x线 s (元 曲 ))
L
a
f(x,y)d xbf[x,y(x)d ],(d x线 x (元 投 ))素 影