向量的加法与减法

（1）当a，b 不共线时,
当a，b 不共线时，则| a b || a | | b |
（2）当a，b 共线时,
当a，b同向时，则| a b || a | | b |
当a，b 反向时，且| a || b |,则| a b || a | | b |
当a，b 反向时，且| a || b |,则| a b || b | | a |
(AB BC) CD AC CD AD .
(2)（MA BN）（AC CB）
(MA AC) (CB BN) MC CN MN .
(3)AB (BD CA) DC
(AB BD) (DC CA) AD DA 0 .
一般地，
A0 A1 A1 A2 An2 An1 An1 An A0 An A1 A2 A2 A3 An1 An An A1 0
方向相同
AC a b 方向相反
对于零向量与任一向量a，有 a 0 0 a a
练习1.如图,已知 a b 用向量加法的三角形
法则作出 a b
（1）
ab
（2）
b
b ab
b
a
a
（3）
ab b
a
b
（4）
ab a b
b
二、平行四边形法则
D
a a a a a a a a a a a+b
bb
b
A
b
b
bC
a
B
作法:(1)在平面取一点A
(2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行
四边形ABCD.即 AD＝BC＝a, AB=DC=b
（3）则以点A为起点的对角线 AC＝a+b
练习2.如图,已知 a b 用向量加法的平行四
边形法则作出 a b
（1）
b
ab
ba
（2）
b
a
ab
a
三、运算律
a
(1) 交换律 : a b b a b a b b
3.三个重要概念 1)平行向量 方向相同或相反的非零向量
规定：零向量与任一向量平行
共线向量 平行向量 任一组平行向量 均可平移到同一直线上
2)相等向量 长度相等且方向相同的向量.
3) 相反向量：长度相等且方向相反的向量.
数能进行运算，因为有了运算而使数的 威力无穷. 与数的运算类比 ,向量是否也能进 行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运 算中得到启发，引进了向量的运算.
下面我们就来学习向量的线性运算.
阅读教材回答问题：何为向量的加法运算？
一、向量的加法： (1)、定义：求两个向量和的运算叫向量的加法。
(2)、图示：
A
B
a a a a a a a a aa
b b b bO b
b
b
b
b
a+b
(3)、作法 1在平面内任取一点O
2作OA a, AB b 3则向量OB a b
向量的加法与减法(1)
复习回顾
1.向量的概念：有大小，有方向的量
2.向量的表示：
B
有向线段 A
黑体小写字母 a
记作AB
手写体 a
向量的长度：向量AB的大小即为向量AB的长度（或称模）.
记作：|AB|
特殊向量：
零向量 :长度为 0的向量. 记作 0 .
规定：零向量的方向是任意的
单位向量 : 长度等于 1 个单位长度的向量.
这种作法叫做三角形法则.
例1 已知向量a 、b（如图），求作向量a b. 作法：在平面内任取一点O , 作OA a, AB b,
则 OB ＝ a b .
.
O
A
a
b a
ba ba
ba
ba
b
a b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
B
特例：
abaaaaaab b b b
A
B
C
bbbbbaabaaaaa
CA
B
AC a b
如果 a 、b 互为相反的向量，那么
a b，b a ，a b 0 . 定义：求两个向量差的运算叫向量的减法.
向量减法的几何作法：
a b a (b)
即：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
图示：
O.
b b b b b b b b a aa
A
a
a a a Ba a
a-b
说明：连接两个向量的终点，且箭头指向被减的向量，
口诀： “首尾相接首尾相 连”.
思考：| a b | 与| a |,| b | 有什么关系呢？
（1）当a，b 不共线时,
当a，b 不共线时，则| a b || a | | b |
（2）当a，b 共线时,
当a，b同向时，则| a b || a | | b |
当a，b 反向时，且| a || b |,则| a b || a | | b |
a
(2) 结合律 : ( a b ) c a ( b c )
abc
c
ab
ab
abc
c
bc
ab
由于向量的加法满足交换律与结合律，因此，多个向 量的加法运算就可按照任意的次序与任意的组合来进行.
例2：化简：(1)AB CD BC ；
(2) (MA BN ) ( AC CB)；(3)AB (BD CA) DC . 解：(1)AB CD BC
当a，b 反向时，且| a || b |,则| a b || b | | a |
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结论: || a | | b ||| a b || a | | b |
向量的加法与减法(2)
向量的减法 相反向量：长度相等方向相反的向量.
a的相反向量,记作- a，a 与 a 互为相反向量.
于是 (a ) a , a (a ) 0 . 规定， 0 0 .
当a，b同向时，且| a || b |,则| a b || b | | a |
结论: || a | | b ||| a b || a | | b |
例．化简下列各式： (1) AB CA BC ；
结论: | a b || a | | b |
思考二：
| a b |与|
a |,| b | 有什么关系呢？
（1）当a，b 不共线时,
当a，b 不共线时，则| a | | b || a b |
（2）当a，b 共线时,
当a，b 反向时，则| a b || a | | b |
当a，b同向时，且| a || b |,则| a b || a | | b |
这样得到的向量就是这两个向量的差.
想一想：(1) 上图中，如果从 a 的终点到b 的终点作向量，
那么所得向量是什么？ O
a
A
b
ba
B
(2) 如图，a // b ，怎样作出 a b ?
B OB a b .
a
A b B
O
b
A
b
b
. OB a b
a
O
思考一：
| a b | 与| a |,| b | 有什么关系呢？