系统可靠性原理习题及答案
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∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 由图可知,系统的最小割集为 mcs={{������1 , ������2 , ������3 },{������4 , ������5 }} 则系统的逻辑表达式为:S=1-S=1-(������1 ������2 ������3 + ������4 ������5 ) 则系统的可靠度为 Rs=P(S)=1-P(S) (5)故障树法,设系统完好之事件为 S,将系统图简化成如下故障树图: 系统逻辑表达式为 S=1-S=1-(������1 ������2 ������3 + ������4 ������5 ) 则系统的可靠度为 Rs=P(S)=1-P(S) (6)结构函数法,设对基本单元的结构函数为 f123,f45, 对系统的结构函数为 f, 则由原系统图可知: f123(x)=x1⋁x2⋁x3 f45(x)=x4⋁x5 f(x)=f123⋀f45 =(x1⋁x2⋁x3)⋀ (x4⋁x5) =x1x4+ x1x5+ x2x4+ x2x5+ x3x4+ x3x5 系统可靠度 Rs=E[f(x)]
7、某保护系统的状态转移图如图所示。图中, “0”表示设备完好, “1”表示通 过检验查明为失效待用状态, “2”——故障修理状态, “3”——预防维修状态, 求系统稳态可用度,故障频率,MTBF 和 MTTR。λ1=0.001 /h,λ2=1/h,λ3=0.0001 /h,μ=0.1/h。
解:由图可写出系统的转移率矩阵的转置阵为: −������1 − ������3 0 ������ ������1 −������2 0 ������������ = 0 ������2 −������ ������3 0 0 ������������ ������ = 0 及 P0=uλ2/(uλ1+λ1λ2+2uλ2)=1000/2011 P1=uλ1/(uλ1+λ1λ2+2uλ2)=1/2011 P2=λ1λ2/(uλ1+λ1λ2+2uλ2)=10/2011 P3=uλ2/(uλ1+λ1λ2+2uλ2)=1000/2011 稳态可用度 As(∞)=P0+P3=2000/2011
6
������ =
������ =1
������������ ,������表示最小路
=X1X4+ X1X5+ X2X4+ X2X5+ X3X4+ X3X5 将 S 进行不交化标准化得 S’(自行用配项法化),则系统可靠度为 Rs=P(S)=0.9996
(4)最小割集法,设系统完好之事件为 S,将系统简化为如下逻辑图: (虚线 表示)
2
3
1
S
1
1
2
2
3
3
2
S
1
3
Байду номын сангаас
S
3
3 7
1
2
S
0
S
2
3
1
S
1
5
S
2
1
2 7
3
3
3
S
4
2
S
6
2
S
1
1 7
写出系统的转移率矩阵的转置阵,再求解。 9、请用状态合并算法将习题 8 和 9 中的系统状态合并为正常状态和故障状态, 并再计算系统故障频率。
10、一系统故障树如图所示。请分别用上行法和下行法求系统割集。
解:上行法: G6=X5X6 G5=X6X7 G4=X4+X5 G3=X3+G6=X3+X5X6 G2=G4G5=(X4+X5)X6X7 G1=G2+G3=X3+X5X6+(X4+X5)X6X7=X3+X5X6+X4X6X7 T=X1+X2+G1=X1+X2+X3+X5X6+X4X6X7 下行法: T=X1+X2+G1 =X1+X2+(G2+G3) =X1+X2+(G4G5+X3+G6) =X1+X2+((X4+X5)X6X7+X3+X5X6) =X1+X2+X3+X5X6+X4X6X7 11、试画出 n 个相同元件+1 个维修工组成的系统的状态转移图。 解:串联情况:
50 50 1
稳态可用度:������������ (∞) = ������0 ∞ = 51 = 0.9804 (2)并联情况: ������������ = −2������ 2������ 0 ������ −������ − ������ ������ 0 ������ −������
5、试计算图示系统可靠度。请使用全概率公式、布尔展开定理和结构函数法解 决同一问题。设图示系统元件可靠度均为 0.98。 解:(1)全概率公式: 选 x2,系统的可靠度为 Rs = P s x2 P x2 + P s x2 P x2 = P x2 P x4 ∪ x5 + P x2 P x1 ∪ x3 ∩ (x4 ∪ x5 ) =0.98× (2× 0.98-0.98× 0.98)+0.02× (2× 0.98-0.98× 0.98)(2× 0.98-0.98× 0.98) =0.9996 (2)布尔展开,选 x2 进行分解: S=f(x1,1,x3,x4,x5)x2+f(x1,0,x3,x4,x5)x2 =x2 x4 ∪ x5 ⨁x2 x1 ∪ x3 ∩ (x4 ∪ x5 ) Rs=P(S) = P x2 P x4 ∪ x5 + P x2 P x1 ∪ x3 ∩ (x4 ∪ x5 ) =0.98× (2× 0.98-0.98× 0.98)+0.02× (2× 0.98-0.98× 0.98)(2× 0.98-0.98× 0.98) =0.9996 (3)结构函数,选 x2,对系统有: f=x2f12+(1-x2)f02
联、2/3(G)系统的可靠度分别是多少? 解:将各 t 值代入(1)中的各可靠度 R(t)即可得结果。 4、两个相同元件组成的旁联系统,转换开关完全可靠,λ=0.001/h,一个维修人 员,μ=0.1/h,求 t=10h 系统的瞬时可用度和稳态可用度。 解:(1)串联的情况 转移率矩阵为: −2λ μ −2λ 2λ λ= ,λT = μ −μ 2λ −μ 状态概率函数: ������ 2������ ������0 ������ = + ������ −(2������ +������ )������ 2������ + ������ 2������ + ������ 2������ 2������ ������1 ������ = − ������ −(2������ +������ )������ 2������ + ������ 2������ + ������ 系统的瞬时可用度:������������ (������) = ������0 ������ = 51 + 50 ������ −0.102 ������ ������������ (10) = ������0 10 = 50 1 −1.02 + ������ = 0.9875 51 50
由图可得:
1 ������13 = ������1 ������4 + ������1 ������5 2 ������13 = ������2 ������4 + ������2 ������5 3 ������13 = ������3 ������4 + ������3 ������5
这样可得①、③之间的最小路集为 mps={e1e4, e1e5, e2e4, e2e5, e3e4, e3e5} 则系统的逻辑表达式为
������3 0 0 −������3
������������ = 1 解得
系统可靠度为 ������������ = ������ −(������ 1 +������ 3 )������ + ������ −������ 3 ������ MTTF=1/(λ1+λ3)+1/λ3=104× 12/11 MTTR s1 −������2 ������2 0 −1 1 −������ 0 MTTR= MTTR s2 = 0 1 MTTR s3 0 0 −������3 1 T =[11,10,10000] MTBF=MTTR+MTTF 8、 画出由 3 个相同元件组成的 2/3 (G) 系统元件间状态转移图, 求稳态可用度, 故障频率,MTBF 及 MTTR。λ=0.001 /h,一个维修人员,μ=0.1/h。 解:状态划分如下: 元件 3 2 1 系统状态 状态 S0 0 0 0 0 S1 0 0 1 0 S2 0 1 0 0 S3 0 1 1 1 S4 1 0 0 0 S5 1 0 1 1 S6 1 1 0 1 S7 1 1 1 1 状态转移图:
f12=x4 ∪ x5 =x4+x5-x4x5 f02= x1 ∪ x3 ∩ (x4 ∪ x5 )=(x1+x3-x1x3)(x4+x5-x4x5) 则 f=x2(x4+x5-x4x5)+(1-x2)(x1+x3-x1x3)(x4+x5-x4x5) Rs=P(f) =0.98× (2× 0.98-0.98× 0.98)+0.02× (2× 0.98-0.98× 0.98)(2× 0.98-0.98× 0.98) =0.9996 6、试计算图示系统可靠度。请使用逻辑图简化法、最小路集法、最小割集法、 故障树分析法、结构函数法解决同一问题。设图示系统元件可靠度均为 0.98。 解:(1)设第 i 个元件的可靠度为 xi,i=1,2,3,4,5 则系统的可靠度: Rs= x1 ∪ x2 ∪ x3 ∩ (x4 ∪ x5 ) =0.98× (2× 0.98-0.98× 0.98)+0.02× (2× 0.98-0.98× 0.98)(2× 0.98-0.98× 0.98) =0.9996 (2)逻辑图简化 设第 i 个元件完好之事件为 Xi,i=1,2,3,4,5。系统完好之事件为 S 由图可得:S=(X1∪X2∪X3)∩(X4∪X5) 则系统可靠度为 Rs=P(S)=P((X1∪X2∪X3)∩(X4∪X5)) =0.98× (2× 0.98-0.98× 0.98)+0.02× (2× 0.98-0.98× 0.98)(2× 0.98-0.98× 0.98) =0.9996 (3)最小路集法,设系统完好之事件为 S,将系统简化为如下逻辑图:
系统可靠性原理习题及答案
1、元件可靠性的定义是什么?规定条件、规定时间、规定功能各是什么含义? 解:元件的可靠性:元件在规定的时间内、规定条件下完成规定功能的能力。 规定时间:指保修期、使用期和贮存期。 规定条件:即使用条件,主要包括:环境条件、包装条件、贮存条件、维 修条件,操作人员条件等。 规定功能:指元件/系统的用途。 2、元件的可靠度、故障率和平均寿命各是怎么定义的? 解:元件的可靠度:在规定条件下,在时刻 t 以前正常工作的概率。 元件故障率:即故障率函数,元件在 t 时刻以前正常工作,在 t 时刻后单 位时间内发生故障的(条件)概率。 平均寿命:即平均无故障工作时间,也称做首次故障平均时间,是寿命的 期望值。 3、设某种元件的 λ=0.001 / h,试求解: (1)由这种元件组成的二元件并联系统、两元件串联、2/3(G)系统的平 均寿命。 解:由题意可知,单个元件的可靠度为 Ri(t)=e-λt,i=1,2,3。 A、二元件并联: 系统的可靠度为: Rp(t)=1-(1-R1(t))(1-R2(t))=2e-λt-e-2λt 此时系统的平均寿命为 ∞ ∞ 3 MTTF = R p t dt = 2e−λ t − e−2λ t dt = 2λ 0 0 由于 λ=0.001 / h,故 MTTF=1500(h) B、二元件串联: 系统的可靠度为: Rs(t)=R1(t)R2(t)=e-2λt 此时系统的平均寿命为 ∞ ∞ 1 MTTF = R s t dt = e−2λ t dt = 2λ 0 0 由于 λ=0.001 / h,故 MTTF=500(h) C、2/3(G)系统: 系统的可靠度为: RG(t)=R1(t)R2(t)R3(t)+(1-R1(t))R2(t)R3(t)+R1(t)(1-R2(t))R3(t)+R1(t)R2(t)(1-R3(t)) =3e-2λt-2e-3λt 此时系统的平均寿命为 ∞ ∞ 5 MTTF = R G t dt = 3e−2λ t − 2e−3λ t dt = 6λ 0 0 由于 λ=0.001 / h,故 MTTF=2500/3 (h) (2)t=100h, 500h,1000h 时,由这种元件组成的二元件并联系统、两元件串