数学分析10第三章函数极限

第三章 函数极限

引言

在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”。二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例。

通过数列极限的学习。应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”。例如，数列{}n a 这种变量即是研究当n →+∞时，{}n a 的变化趋势。

我们知道，从函数角度看，数列{}n a 可视为一种特殊的函数f ，其定义域为N +，值域是{}n a ，即

:()n f N R n a +→→; 或 (),n f n a n N +=∈或()n f n a =.

研究数列{}n a 的极限，即是研究当自变量n →+∞时，函数()f n 变化趋势。

此处函数()f n 的自变量n 只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即n →+∞。但是，如果代之正整数变量n 而考虑一般的变量为x R ∈，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x 可能的变化趋势是否了仅限于x →+∞一种呢？

为此，考虑下列函数:

1,0;

()0,0.x f x x ≠⎧=⎨

=⎩

类似于数列，可考虑自变量x →+∞时，()f x 的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量x →-∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x →∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x a →时，()f x 的变化趋势,

由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化。但同时我们将看到，

这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同。而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限。

下面，我们就依次讨论这些极限。

§1 函数极限的概念

一、x →+∞时函数的极限

１．引言

设函数定义在[,)a +∞上，类似于数列情形，我们研究当自变量x →+∞时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ。这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质。

例如 1

(),f x x x

=无限增大时，()f x 无限地接近于０；(),g x arctgx x =无限增大时，()f x 无限地接近于

2

π

；(),h x x x =无限增大时，()f x 与任何数都不能无限地接近。正因为如此，所以才有必要考虑

x →+∞时，()f x 的变化趋势。我们把象()f x ，()g x 这样当x →+∞时，对应函数值无限地接近于

某个定数Ａ的函数称为“当x →+∞时有极限Ａ”。

[问题]如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当x →+∞时函数极限的精确定义如下. 2. x →+∞时函数极限的定义

定义１ 设f 为定义在[,)a +∞上的函数，Ａ为实数。若对任给的0ε>，存在正数Ｍ()a ≥，使得当

x M >时有 |()|f x A ε-<, 则称函数f 当x →+∞时以Ａ为极限。记作

lim ()x f x A →+∞

=或()()f x A x →→+∞.

３．几点注记 （１）

定义１中作用ε与数列极限中ε作用相同，衡量()f x 与Ａ的接近程度，正数Ｍ的作用与数

列极限定义中Ｎ相类似，表明x 充分大的程度；但这里所考虑的是比Ｍ大的所有实数x ，而不仅仅是正整数n 。 （２） lim ()x f x A →+∞

=的邻域描述：,(),U ε∀∃+∞当()x U ∈+∞时，()(;).f x U A ε∈

（３）

lim ()x f x A →+∞

=的几何意义：对ε∀，就有y A ε=+和y A ε=-两条直线，形成以Ａ为中

心线，以2ε为宽的带形区域。“当x M >时有|()|f x A ε-<”表示：在直线x M =的右方，曲线

()y f x =全部落在这个带形区域内。

如果ε给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线x M =一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数Ｍ，使得曲线()y f x =在x M =的右边的全部落在这个更窄的带形区域内。 （４）

现记f 为定义在()U -∞或()U ∞上的函数，当x →-∞或x →∞时，若函数值()f x 能无

限地接近于常数Ａ，则称f 当x →-∞或x →∞时时以Ａ为极限，分别记作， lim ()x f x A →-∞

=或()()f x A x →→-∞，

lim ()x f x A →∞

=或()()f x A x →→∞。

这两种函数极限的精确定义与定义１相仿，简写如下：

lim ()x f x A →-∞

=0,0,M ε⇔∀>∃>当x M <-时，|()|f x A ε-<，

lim ()x f x A →∞

=0,0,M ε⇔∀>∃>当||x M >时，|()|f x A ε-<。

（５）推论：设()f x 为定义在()U ∞上的函数，则

lim ()x f x A →∞

=⇔lim ()lim ()x x f x f x A →+∞

→-∞

==。

４．利用lim ()x f x →+∞

＝Ａ的定义验证极限等式举例

例１ 证明 1

lim

0x x

→∞=. 例２ 证明 １）lim 2

x arctgx π

→-∞

=-

；２）lim 2

x arctgx π

→+∞

=

.

二、0x x →时函数的极限

１．引言

上节讨论的函数f 当x →+∞时的极限，是假定f 为定义在[,)a +∞上的函数，这事实上是()U +∞，即

f 为定义在()U +∞上，考虑x →+∞时()f x 是否趋于某个定数Ａ。

本节假定f 为定义在点0x 的某个空心邻域()00U x 内的函数，。现在讨论当00()x x x x →≠时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ数列。 先看下面几个例子：

例１ ()1(0)f x x =≠.（()f x 是定义在0

(0)U 上的函数，当0x →时，()1f x →）

例２ 24()2

x f x x -=-.（()f x 是定义在0

(2)U 上的函数，当2x →时，()4f x →）

例３ 1()f x x

=

.（()f x 是定义在0

(0)U 上的函数，当0x →时，()?f x →） 由上述例子可见，对有些函数，当00()x x x x →≠时，对应的函数值()f x 能趋于某个定数Ａ；但对有些函数却无此性质。所以有必要来研究当00()x x x x →≠时，()f x 的变化趋势。

我们称上述的第一类函数()f x 为当0x x →时以Ａ为极限，记作0

lim ()x x f x A →=。

和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法。不是严格的数学定义。那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？

作如下分析：

“当自变量x 越来越接近于0x 时，函数值()f x 越来越接近于一个定数Ａ”→只要x 充分接近0x ，函数值()f x 和Ａ的相差就会相当小→欲使|()|f x A -相当小，只要x 充分接近0x 就可以了。即对

0,0εδ∀>∃>，当00||x x δ<-<时，都有|()|f x A ε-<。此即0

lim ()x x f x A →=。

２．00()x x x x →≠时函数极限的εδ-定义

定义２ 设函数()f x 在点0x 的某个空心邻域()0

0;U x δ'内有定义，Ａ为定数，若对任给的

0,()0εδδ'∀>∃<>，使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<，则称函数f 当 x 趋于0x 时以Ａ为极限

（或称Ａ为0x x →时()f x 的极限），记作0

lim ()x x f x A →=或（0()()f x A x x →→.