Taylor展开式和不定积分

Taylor 展开式： 1.

；证明：设证明：设2ny lim ),1ln(,01)2(;3lim ,sin ,210)1(n n 121=+=>==∏<<∞

→+∞→+n n n n n n y y y x n x x x 2.

;2

2l 2M1|(x)f'|l][0,x M2;

|f(x)|M1,|(x)''f'|],0[)(f l M l x +≤∈≤≤，有证明：对任意的上二阶可导，且在设 3.|;)(|max |)(''|max )(8

1,0)()(],[)x (x 2x f x f a b b f a f b a f b x a b a ≤≤≤≤≥-==证明：上二阶可导，且在设

不定积分：

1.;));()(F'(;)()(⎰=+=x f x c x F dx x f (本质为求原函数)

常用方法：

1.常见积分公式：（C 略去）（***）

,

csc ~cot csc ,sec ~tan sec ,cot ~csc ;tan ~sec |;11|ln 21~11);1ln(~11;arcsin ~11;arctan ~112222222x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x --+--+++-+ 2.换元积分法：

;

)('))(()()2(;

)()('))(()1(dx x x f d f d f dx x x f ΦΦ=ΦΦΦΦ=ΦΦ⎰⎰⎰⎰

3．分部积分法： ⎰⎰-=;vdu uv udv

老师的诀窍：反对幂指三做u ；

4.有理多项式积分：

）略。

（待定系数法类的形式；和）按分母分解为（）分离整除部分：

（步骤：

iii )(,)(x a 2c bx ax e dx m

b ii i ++++

习题： .⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰

+++-+=---;11)8(;

5sin )7(;

)6(;

sin )5(;cos sin sin )4(;)3(;11)2(;sin 11)1(42dx x xdx e dx e x xdx dx x

b x a x dx a

x a x dx e dx x

x x n n x 法一：