稳定性分析

4.5 稳定性分析

4.5 稳定性分析

频率法中对系统稳定性的分析是应用奈奎斯特（Nyquist）判据进行的。奈奎斯特判据是根据控制系统的开环频率特性判断闭环系统是否稳定的判据。应用奈奎斯特判据，不仅能解决系统是否稳定的问题，而且还能了解系统稳定的程度，并找出改善系统动态特性的途径。因此，奈奎斯特判据是频域分析的基础。

4.5.1映射定理

设F(s)是一个单值解析的复变函数。对于s平面上一条不通过任何奇点的封闭曲线C，在F(s)平面上必有一条封闭的曲线与之对应，该封闭曲线是曲线

C的映射。如果s平面上的封闭曲线C 内部包含了F(s)的P 个极点和Z 个零点，且动点s 是沿顺时针方向在封闭曲线上变化的，则在F(s)平面上相应的封闭曲线包围坐标原点的周数和方向可以表示为

(4.40)

式中N 是包围原点的周数，若N>0，则表示顺时针包围F(s) 平面的原点，若N<0 ，则逆时针包围F(s)平面的原点，若N=0，则不包围F(s)平面的原点。这里不对映射原理进行证明。对此有兴趣的读者可以参阅其他有关书籍。

4.5.2 奈奎斯特判据

映射原理为判断控制系统的稳定性提供了依据。设

(4.41)

根据控制系统的稳定的充分必要条件，若系统稳定，则s 平面右半边没有闭环极点，既没有特征方程的根。特征方程的根就是函数F(s)的零点。F(s)的极

点则与开环传递函数的极点相同。若F(s)曲线是已知封闭曲线，则可以确定

F(s)包围原点的周数及包围原点的的方向.又因为F(s)与开环传递函数的极点相同，所以可以根据开环传递函数确定s平面上封闭曲线C所包含的F(s)极点数P。按照映射原理，s平面上的封闭曲线C所包含的F(s)的零点数即可确定。问题的关键是在s平面上找到一条能包围整个s平面的右半边的封闭曲线。这条曲线就是奈奎斯特轨迹。

1. 奈奎斯特轨迹

奈奎斯特轨迹是由整个虚轴和位于s平面右半边的半径为无穷大的半圆构成的

封闭曲线，动点s在曲线上顺时针方向移动。图4.20时奈奎斯特轨迹的示意图。奈奎斯特轨迹不能通过的任何零点和极点。

奈奎斯特轨迹是s 平面上的一条封闭曲线，而与之对应的函数在复平面上是一条什么样的封闭曲线呢？我们把奈奎斯特轨迹划分为两部分：一部分是半径为无穷大的半圆；另一部分是整个虚轴。现在来分析这两部分在平面上的映射。

当s趋近于无穷大时，由于开环传递函数分母的阶次n一般都大于分子的阶次m，所以有

常量

若n>m，则上面的常量为1，若n=m，则为其他常量。总之,s平面上奈奎斯特轨迹的无穷大半圆在平面上的映射是实轴上的一个点。

当动点s在奈奎斯特轨迹上的另一部分，即整个虚轴上由负无穷大向无穷大变化时，由于，所以有

其中的正是开环频率特性。所以，可以说奈奎斯特轨迹在的映射就是开环频率特性。

若已知包围平面原点的周数及方向N，又知道奈奎

斯特轨迹所包围的开环传递函数的极点数P，则位于s平面右半边特征方程的根的个数Z即可根据映射定理计算出来，系统的稳定性也随之确定了。

图 4.20 奈奎斯特轨迹

函数构成的复平面与开环频率特性构成的

复平面，实轴坐标仅差1.平面上封闭曲线对原点的包围就是平

面上对点的包围。为了简便，在我们绘制出开环频率特性以后，不必

再转为函数，直接使用开环频率特性判断系统是否稳定就可以了。

当开环传递函数含有积分环节时，例如

图 4.21 有积分环节情况下的奈奎斯特轨迹

有一个s=0的极点，这个极点正好位于奈奎斯特轨迹上，违反了封闭曲线C 不能有奇点的规定。为了解决这个问题，我们用一个半径为无穷小的半圆从右面绕过原点，如图4.21 所示。这样，除了原点之外奈奎斯特轨迹仍然包围s平面右

半边，无穷小半原在开环频率特性的复平面上，即平面上的映射唯一无穷大圆弧段。

2. 奈奎斯特判据

奈奎斯特判据是对奈奎斯特轨迹应用映射原理的结果。

奈奎斯特判据：

设开环传递函数位于s平面右半边的极点个数为P。若P=0，闭环系统稳定的充

分必要条件是当从负无穷大连续变化到正无穷大时，平面上的开环频率特

性曲线不包围点，否则系统不稳定。若，闭环系统稳定的充分必

要条件是当从负无穷大变化到正无穷大时，平面上的开环频率特性曲线逆时针方向包围点P周。

例4 控制系统的开环传递函数为

判断该系统的稳定性。

解该系统的开环频率特性如图4.22所示。

图 4.22 控制系统的开环频率特性

开环传递函数在s平面右半边无极点，即P=0，曲线不包围点，所以系统稳定。

例5 控制系统的开环传递函数为

判断当K=2和K=20时系统的稳定性。

解当K=2时，绘出系统的开环频率特性如图4.23所示。

当K=20时，绘出系统的开环频率特性如图4.24所示。

图 4.23 K=2时的开环频率特性

图4.24 K=20时的开环频律特性

由于开环传递函数中含有积分环节，所以奈奎斯特轨迹在原点处增加了无穷小半圆。

s从从原点右侧绕到，当时，该无穷小半圆在开环频率特性上是无

穷大半圆弧，如图中虚线所示。

图4.23的开环频率特性不包围点，而本例中P=0，所以系统稳定。求解特征方程，可得到特征方程的根为

特征根均具有负实部，和应用奈奎斯特判据的结论完全一致。

图4.24的开环频率特性包围了点（顺时针方向，2周）而P=0，根据奈奎斯特判据，系统是不稳定的。求解特征方程可得

特征方程的共轭负数根具有正实部，从而验证了奈奎斯特判据。

例6 系统的开环传递函数为

判断系统的稳定性。

解系统的稳定性与和的取值有关。不同情况下的开环频率特性如图4.25所示。

图 4.25 T值不同情况下的开环频律特性

本例中P=0,时，开环频率特性不包围点，系统稳定。时，开环频率特性正好通过点，说明系统处于临界稳定状态，闭环极点位于虚轴上。时，开环频率特性顺时针方向包围点两周，系统不稳定。