大物 上海交大课后答案 第七章

习题7

7-1．如图所示的弓形线框中通有电流I ，求圆心O 处的磁感应强度B

。 解：圆弧在O 点的磁感应强度：00146I I

B R R μθμπ=

=

，方向： ； 直导线在O

点的磁感应强度：

000

20

[sin 60sin(60)]4cos 602I

I B R R

μππ=--=

，方向：⊗；

∴总场强：01

)23

I

B R

μ=-，方向⊗。

7-2．如图所示，两个半径均为R 的线圈平行共轴放置，其圆心O 1、O 2相距为a ，在两线圈中通以电流强度均为I 的同方向电流。

（1）以O 1O 2连线的中点O 为原点，求轴线上坐标为x 的任意点的磁感应强度大小；

（2）试证明：当a R =时，O 点处的磁场最为均匀。 解：见书中载流圆线圈轴线上的磁场，有公式：2

032

22

2()

I R B R z μ=+。

（1）左线圈在x 处P 点产生的磁感应强度：2

013222

2[()]

2P I R B a R x μ=

++，

右线圈在x 处P 点产生的磁感应强度：2

02

3222

2[()]2

P I R B a

R x μ=

+-， 1P B 和2P B

方向一致，均沿轴线水平向右，

∴P 点磁感应强度：12P P P B B B =+=23302

222

22[()][()]2

22I R a a R x R x μ--⎧

⎫++++-⎨⎬⎩⎭

；

（2）因为P B 随x 变化，变化率为

d B

d x

，若此变化率在0x =处的变化最缓慢，则O 点处的磁场最为均匀，下面讨论O 点附近磁感应强度随x 变化情况，即对P B 的各阶导数进行讨论。 对B 求一阶导数：

d B d x 25502222223()[()]()[()]22222I R a a a a x R x x R x μ--⎧⎫=-++++-+-⎨⎬⎩⎭

当0x =时，0d B

d x

=，可见在O 点，磁感应强度B 有极值。

对B 求二阶导数：

22()d d B d B d x d x d x

== 222

057572222222222225()5()311222[()][()][()][()]2222a a x x I R a a a a R x R x R x R x μ⎧⎫

+-⎪⎪⎪⎪--+-⎨⎬⎪⎪

+++++-+-⎪⎪⎩⎭

当0x =时，

202

x d B

d x ==22

2

07

222

3[()]2

a R I R a R μ-+， 可见，当a R >时，20

20x d B

d x =>，O 点的磁感应强度B 有极小值， 当a R <时，

20

20x d B

d x =<，O 点的磁感应强度B 有极大值，

当a R =时，

20

2

0x d B

d x ==，说明磁感应强度B 在O 点附近的磁场是相当均匀的，可看成匀

强磁场。

【利用此结论，一般在实验室中，用两个同轴、平行放置的N 匝线圈，相对距离等于线圈半径，通电后会在两线圈之间产生一个近似均匀的磁场，比长直螺线管产生的磁场方便实验，这样的线圈叫亥姆霍兹线圈】

7-3．无限长细导线弯成如图所示的形状，其中c 部分是在xoy 平面内半径为R 的半圆，试求通以电流I 时O 点的磁感应强度。 解：∵a 段对O 点的磁感应强度可用0S

B d l I μ⋅=∑⎰

求得，

有：04a I B R μπ=

，∴04a I B j R

μπ=-

b 段的延长线过O 点，0b B =，

c 段产生的磁感应强度为：0044c I I

B R R μμππ=⋅=，∴04c I B k R μ= 则：O 点的总场强：0044O I I B j k R R

μμπ=-

+，方向如图。

7-4．在半径cm 1=R 的无限长半圆柱形金属片中，有电流A 5=I 自下而上通过，如图所示。试求圆柱轴线上一点P 处的磁感应强度的大小。

解：将半圆柱形无限长载流薄板细分成宽为dl R d θ=的长直电流，

有：dl d d I R θππ

==，利用0S B d l I μ⋅=∑⎰ 。

在P 点处的磁感应强度为：002

22d I I d dB R R

μμθ

ππ=

=， ∴02

sin sin 2x I

dB dB d R

μθθθπ==

，而因为对称性，0y B = 那么，005220sin 6.37102x x I I

B B dB d T R R

πμμθθππ-===

==⨯⎰

⎰。

7-5．如图所示，长直电缆由半径为R 1的导体圆柱与同轴的内外半径分别为R 2、R 3的导体圆筒构成，电流沿轴线方向由一导体流入，从另一导体流出，设电流强度I 都均匀地分布在横截面上。求距轴线为r 处的磁感应强度大小（∞<

0S

B d l I μ⋅=∑⎰

分段讨论。

（1）当10r R <≤时，有：2102

1

2r I

B r R ππμπ⋅= ∴012

1

2I r

B R μπ=

； （2）当12R r R ≤≤时，有：202B r I πμ⋅=，∴022I

B r μπ=

； （3）当23R r R ≤≤时，有：22

2

3022

32

2()r R B r I I R R πππμππ-⋅=--， ∴22

32

0322

32I B R r R r

R μπ--=⋅； （4）当3r R >时，有：402()B r I I πμ⋅=-，∴40B =。

则：02

1

011222323223230(0)()()0

()222r R R r R B R r R r R I r

R I

r

R r r I R R μπμπμπ⎧<≤⎪⎪⎪≤≤⎪⎪=⎨⎪-⎪⋅≤≤-⎪⎪

>⎪⎩

7-6．一边长为l =0.15m 的立方体如图放置在均匀磁场(63 1.5)T =++

B i j k 中，计算（1）通过立方体上阴影面积的磁通量；

（2）通过立方体六面的总磁通量。 解：（1）通过立方体上（右侧）阴影面积的磁通量为

Wb

135.015.066)5.136(21=⨯=⨯=⋅++=⋅=Φ⎰⎰⎰S

S

S

m dS i dS k j i S d B