数学建模论文(1999 B题)

数学建模论文（1999年B题）

钻井布局

摘要

本文主要讨论钻井布局问题，即点重合（或近似重合）问题。

利用坐标变换，我们将P点变换到网格N所在的坐标系，从而得到P点在新坐标系上的分布图。为了使分布图更加直观易读，我们引入相对坐标的概念，以相对坐标取代一般坐标。再参照P点在单位模型里的分布情况，借用考察参考正方形或圆形就能直观地判断最大可利用旧井数。

问题一：我们首先在P i所属平面建立坐标系xoy，在网格N所属平面建立坐标系

x'o'y'。用P位于单位网格内的相对坐标P i(a'i,b'i)取代P位于原坐标系xoy的一般坐标

P i(a i,b i)。将各单位网格及其中的P点作为单位模型，令单位模型彼此重叠，得到所有

P i在单位模型中的分布情况。具体操作时直接取P i(a i,b i)的小数部分作为在分布图中的坐标P i(a''i,b''i)。取边长为0.1单位的正方形S为参考正方形，考察P i(a''i,b''i)点在单位网格中的分布情况。平移正方形S，当S中存在最多点P时，可利用旧井数达到最大，据此可得最优网格N。本题中可利用旧井数最多为4个，它们是：（1.41,3.50），（3.37,3.51），（3.40,5,50），（8.38,4.50）。满足该条件的网格数不唯一，我们选择该正方形S的几何中心（0.4,0.5）作为新网格原点，即将原始网格右移0.4个单位，上移0.5个单位，也即按照向量（0.4,0.5）平移后得到符合条件的新网格N'。

问题二：基于题1的模型，修正P相对坐标的变换方式、更换考察图形即可得题2的模型。由于网格N可旋转，P坐标需先进行旋转变换，角度α，其范围为0度~90度，

即坐标左乘变换矩阵

cos sin

sin cos

αα

αα

-

⎛⎫

⎪

⎝⎭

，得到P i(a'i,b'i)，再按照题1模型生成方式将P i(a'i,b'i)

化为相对坐标P i(a''i,b''i)，得到相应分布图。根据欧式距离的定义，采用直径为0.1的圆形作为考察图形。平移考察圆形C，当C中存在最多点P时，可利用旧井数达到最大，据此可得最优网格N。根据题设求出可利用旧井数最大为6个，它们是（0。50,2.00），（4.72,2.00），（4.72,6.24），（5.43,4.10），（7.57,2.01），（8.98,3.41），将原始网格N按照圆形C的圆心（0.94,0.75）右移0.94个单位，上移0.75个单位，逆时针旋转44.6°~45.6°得到新的网格N'均可满足条件。

问题三：本题是对题2的进一步推广。经过坐标变换后，位于考察正方形或考察圆形内的P可认为与相应的结点重合。本文以P i是否全部落入考察图形作为判定条件。根据对距离的不同定义，我们给出两个判定条件：

判定条件1：

max{''}min{''}0.1

max{''}min{''}0.1

i i

i i

a a

b b

-≤

⎧

⎨

-≤

⎩

判定条件2：()()

222

0.1

i j i j

a a

b b

-+-≤

该判定过程可由计算机编程实现，模型使用时只需输入需判定的P i全部坐标，由计算机处理后返回是否满足条件，若旧井可被全部利用还返回网格N的形成方法。

简化模型，增加模型实用性与可操作性，尽可能将繁复的计算判定工作交由计算机处理是本模型的最大优点。

关键词

坐标变换；相对坐标；分布图；参考图形；单位模型重叠

勘探部门在某地区找矿。初步勘探时期已零散地在若干位置上钻井，取得了地质资料。进入系统勘探时期后，要在一个区域内按纵横等距的网格点来布置井位，进行“撒网式”全面钻探。

由于钻一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合（或相当接近），便可利用旧井的地质资料，不必打这口新井。因此，应该尽量利用旧井，少打新井，以节约钻探费用。比如钻一口新井的费用为500万元，利用旧井资料的费用为10万元，则利用一口旧井就节约费用490万元。

设平面上有n个点P i，其坐标为(a i,b i),i=1,2,…,n，表示已有的n个井位。新布置的井位是一个正方形网格N的所有结点（所谓“正方形网格”是指每个格子都是正方形的网格；结点是指纵线和横线的交叉点）。假定每个格子的边长（井位的纵横间距）都是1 单位（比如100米）。整个网格是可以在平面上任意移动的。若一个已知点P i与某个网格结点X i的距离不超过给定误差ε（=0.05单位），则认为P i处的旧井资料可以利用，不必在结点X i处打新井。

为进行辅助决策，勘探部门要求我们研究如下问题：

1）假定网格的横向和纵向是固定的（比如东西向和南北向），并规定两点间的距离为其横向距离（横坐标之差绝对值）及纵向距离（纵坐标之差绝对值）的最大值。在平面上平行移动网格N,使可利用的旧井数尽可能大。试提供数值计算方法，并对下面的数值例子用计算机进行计算。

2）在欧氏距离的误差意义下，考虑网格的横向和纵向不固定（可以旋转）的情形，给出算法及计算结果。

3）如果有n口旧井，给出判定这些井均可利用的条件和算法（你可以任意选定一种距离）。

数值例子n =12个点的坐标如下表所示：

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

a i0.50 1.41 3.00 3.37 3.40 4.72 4.72 5.43 7.57 8.38 8.98 9.50

b i 2.00 3.50 1.50 3.51 5.50 2.00 6.24 4.10 2.01 4.50 3.41 0.80

2.模型假设

1)已有的旧井位两两不靠近，确保网格位置确定后不会出现一个结点有两口旧井

与之重合的情况；

2)系统勘探时期，钻井位置的选择具有随机性，即任意钻井方案都是等可能的；

3)任意符合要求的钻井位置均是可实现的，不考虑其它现实性因素的影响。

3.符号说明

1)点集{P i }:表示已有点（即旧井）；

2)X i ：网格结点；