杨辉三角(教案)

杨辉三角(教案)

杨辉三角（1）

目的要求

1．了解有关杨辉三角的简史，掌握杨辉三角的基本性质。

2．通过研究杨辉三角横行的数字规律，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力。

3．通过小组讨论，培养学生发现问题。探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神。

内容分析

本课的主要内容是总结杨辉三角的三个基本性质及研究发现杨辉三角横行的若干规律。

杨辉三角的三个基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，它是研究杨辉三角其他规律的基础。杨辉三角横行的数字规律主要包括横行

各数之间的大小关系。组合关系以及不同横行数字之间的联系。

研究性课题，主要是针对某些数学问题的深入探讨，或者从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究。目的在于培养学生的创新精神和创造能力。它要求教师给学生提供研究的问题及背景，让学生自主探究知识的发生发展过。从问题的提出、探索的过程及猜想的建立均主要由学生自主完成，教师不可代替，但作为组织者，可提供必要指导。

教师首先简介杨辉三角的相关历史，激发学生的民族自豪感和创造欲望，然后引导学生总结有关杨辉三角的基本知识（研究的基础）及介绍发现数字规律的主要方法（研究的策略），并类比数列的通项及求和，让学生对n阶杨辉三角进行初步的研究尝试活动，让学生充分展开思维进入研究状态。

以下主要分小组合作研究杨辉三角

的横行数字规律，重点发现规律，不必在课堂上证明。

教学过程

（一）回顾旧知

1．用电脑展示贾宪三角图、朱泄杰的古法七乘方图、帕斯卡三角图（附后），同时播放用古代民族乐器演奏的音乐。

教师介绍杨辉三角的简史：北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1961年）记载并保存了“贾宪三角”，故称杨辉三角。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。

2．用电脑展示15阶杨辉三角或事先印好15阶杨辉三角分发给学生。对照杨辉三角，回顾高二下学期学过的杨辉三角的构造及基本性质，并由学生叙述。

1°与二项式定理的关系：杨辉三角的第n 行就是二项式n b a )(+展开式的系数列}{R

N

C 。 2°对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边上的“高”，即r n n

r

n c C -=。 3°结构特征：杨辉三角除斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和，即r n r n n r

n C c C 1

1---+=。 （二）分组研究杨辉三角横行规律（将全班学生按前后排四或五人一组分成若干研究小组）

1．介绍数学发现的方法：杨辉三角中蕴涵了许多优美的规律。古今中外，许多数学家如贾宪、杨辉、朱世杰、帕斯卡、华罗庚等都曾深入研究过，并将研究结果应用于其他工作。他们研究的方法可以归纳为：

15阶杨辉三角2．学生尝试探索活动。

（1）n阶杨辉三角中共有多少个数？

（2）n阶杨辉三角的通项公式是什么？即n阶杨辉三角中的第k行第r个数是什么？

（3）n阶杨辉三角的第k行各数的和是多少？所有数的和是多少？

学生独立思考后，由学生发言，得出

结论。n 阶杨辉三角中共有

22)2)(1(2

1+=++n C n n 个数，2

2+n C 第n+2行第3个数；通项公式为r

k C r k E =),(，∑==k r k r k E 02),(，∑∑=+=-=n k n n r r k E 01012)),((。

3．按研究横行数字规律的方向开展研究工作，工作的重点是发现规律。教师巡视指导，必要时可参与某小组的讨论活动。最后由小组代表陈述研究结果及建立猜想的大致思路。

（1）杨辉三角的第2k 行中第k 个数最大；即)(22k r C C r k k k ≠>；第2k ＋1行中第是k 个数与第k ＋l 个数相等且最大，即)1,(121212+≠>=+++k k r C C C r k k k k k ；2k 阶杨辉三角中最大数为k k

C k k E 2),2(=，2k ＋1阶杨辉三角中的最大数为 k k C k k E k k E 12)1,12(),12(+=++=+。

（2）杨辉三角中第12-k 行的所有数都

是奇数（k ∈N*），即m k C 12-为奇数（m=0，1，…，12-k ）；第k

2行的所有数（除两端的1以外）都是偶数（k ∈N*），即

112122---+=r r r k k k C C C 为偶数（r=1，2，…，12-k

）；

其他行的所有数中，一定既有偶数又有除1以外的奇数。 （3）第p （p 为素数）行除去两端的数字1以外的所有数都能被p 整除，其逆命题也成立。即对任意r ∈{1，2，…，n-1}，都有n C n r

n

⇔|是素数。 （4）将第n 行的所有数按从左到右的顺序合并在一起得到的多位数等于n

11。 （5）第2n 行的第n 个数是第2n-1

行的第n-1个数的2倍，即。*).(211

22N k C n n n

n ∈=--。 ……

（三）小结

（1）请学生小结自己在研究过程中的体验：如何选定研究线索，使用什么方法发现结论，碰到什么困难，如何突破创新等。

（2）教师规范对杨辉三角各性质的

表述，小结探究思路。

布置作业

如图，每一幅小图中的圆的个数及圆上的点、线段、三角形、四边形、五边形、六边形的数目有一定的变化规律，研究杨辉三角，你能找出两者间的关系吗？

附（1）：证明：当

}12,,1{-∈k m 时，m k C 12-是

奇数。 证明：对任何一个正整数m ，都存在唯一的自然数m k 与正奇数m l ，使m

km l m ⋅=2。设1121l k ⋅=，222l k ⋅，…，n

k l n ⋅=2

2，…。 当}12

,,2,1{-∈k m 时， m

m C k k k m

k ⨯⨯⨯---=- 21)2()22)(12(12