诱导公式1

三角函数的诱导公式（一）

学习目标：1、掌握+2,,,

2

k π

απαπαα-±±的正弦、余弦、正切的诱导公式；能初步运

用诱导公式进行求值、化简、证明；

2、掌握上述诱导公式的推导过程，从而理解把未知问题化归为已知问题的数学化归思想

学习重点：公式的推导思想；运用公式求值、化简、证明 学习过程：

活动一、新课引入：

我们已经知道锐角及轴线角的三角函数值，但实际应用中往往碰到其它的一些角的函数值的计算问题.

思考1：根据三角函数的定义，我们怎样将任意角化成与0︒～360︒间的某角表示的形式？

因此：只需将90°～360°的角的三角函数化为锐角的三角函数我们就能求任意角的三角函数值了.因此求三角函数值的步骤可归纳为：

思考2： 根据三角函数的定义，与α终边相同的角的同名三角函数值相等. 即有公式1

sin(α+2k π)=__________. cos(α+2k π)=___________.

tan(α+2k π)=___________. (以上k Z ∈)

思考3：对于任意0到2π的角β，有四种可能：

0,,

2,,23,,23,2,2ππ

ππππ

πα

βπα

βπαβπαββ⎡

⎫

⎪⎢⎣⎭⎡⎫

⎪⎢⎣⎭⎡

⎫⎪⎢⎣⎭⎡⎫

⎪⎢⎣⎭

∈∈∈∈⎧⎪

⎪⎪⎨

⎪⎪

⎪⎩

=当-当+当2- 当

（即β可用角α来表示，其中α为不大于

2

π

的非负角，一般为锐角） 活动二、掌握诱导公式的推导与理解（以下设α为任意角） 1.推导公式2：“α-”的诱导公式

问题1：两个角α、β的终边相同时，它们的同一三角

函数值相等。那么如果它们的终边关于x 轴对称， α、β的三角函数值又有什么关系 呢？

如图，设角α、β的终边分别与单位圆交于P, P ′,根据三角函数的定义，P( ),P ′( ). 又

点P 和点P ′关于x 轴对称。故有sin β＝－sin α，cos β ＝

cos α ，从而，tan β=-tan α 而－α与α的终边关于x 轴对称,是上述特殊情况，故有

公式二：

问题2：由此可得到三角函数的什么性质？

2.推导公式3：“

πα-”的诱导公式

与公式2的推导类比，若角α、β的终边关于y 轴对称，

同理可得sin β＝sin α，cos β＝－cos α

， tan β=－tan α 而π－α与α是关于y 轴对称的，故有 公式三：

3.推导公式4：“πα+”的诱导公式

公式2的推导类比，若角α、β的终边关于原点对称，同理可

得sin β＝－sin α，cos β＝－cos α ， tan β=tan α,而π＋α与α是

关于原点对称的，故有

公式四：

事实上,公式二、三、四中，可由其中任意两组公式推导另一组公式，

角角α角角

例如：sin(π＋α) = sin[π－(-α)]= sin(-α)= -sin α.等

说明：以上公式对角度制下的角仍适用，只需将π换为180°.公式2、3、4可用一句话概

括：函数名不变，符号看象限．．．．．．．．．．． 活动三、运用诱导公式进行简单的求值与化简 例1.求值：

⑴sin 76 π ⑵cos 11

4 π ⑶tan(-1560°) ⑷cos(2040)-

例2.判断下列函数的奇偶性：

⑴f(x)= 1-cosx ; ⑵g(x)=x-sinx ； ⑶()tan h x x x =•

例3.化简下列各式：

⑴ cos(180°+α)sin(360°+α)sin(-α-180°)cos(-180°-α) ⑵sin(2π-α)·cos(π+α)cos(π-α)·sin(3π-α)·sin(-π-α)

⑶sin 2

(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1 ⑷sin(α-n π)cos(-α-n π) -tan(n π-α) （n ∈Z)

例4：⑴已知3cos(),5

παα+=-是第四象限角，求tan α的值。

⑵已知1

cos(75)3

α+=，求cos(105)cos(105)αα-+-的值。

例5.已知tan 3α=，求

2cos()3sin()

4cos()sin(2)

παπααπα--+-+-的值

活动四、课堂小结

1.求三角函数值的步骤可归纳为：

2. α +2k π, - α , π-α, π+ α的三角函数值，等于α的同名三角函数值再加上一个 把α看成锐角时原函数值的符号. 用一句话概括：函数名不变，符号看象限．．．．．．．．．．．

三角函数的诱导公式（一）课堂检测

1.求下列各式的值： ⑴)4sin(π

-=_____； ⑵)60cos(0-=_____； ⑶π6

7

tan =_______;

⑷0

225sin =_____； ⑸0

150sin =____； ⑹0

1020tan =____； ⑺)4

7

sin(π-=____； ⑻cos

43π=_______； ⑼cos （－76

π）=______； ⑽tan （－200°）=_______。

2.利用诱导公式化简、求值：

⑴sin(180)cos(720)

cos(180)sin(180)αααα︒+︒+--︒-︒- ⑵sin 250cos790︒+︒

⑶tan(2)sin(2)cos(6)

cos()sin(5)

παπαπααππα-----+

⑷sin()sin(2)sin(3)sin(102)666

6

π

ππ

π

ππππ++++