对数函数的图象与性质
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课时作业20 对数函数的图象与性质
时间：45分钟 ——基础巩固类——
一、选择题
1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1＋log 2(2－x )，x <1，
2x －1，x ≥1，
则f (－2)＋f (log 212)＝
( C )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
解析：由于f (－2)＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6，所以f (－2)＋f (log 212)＝9.故选C.
2．函数y ＝log a (3x －2)(a >0，a ≠1)的图象过定点( B ) A ．(0，2
3) B ．(1,0) C ．(0,1)
D ．(2
3，0)
解析：根据对数函数过定点(1,0)，令3x －2＝1，得x ＝1，∴过定点(1,0)．
3．函数f (x )＝log 2(x 2＋8)的值域为( C ) A ．R B ．[0，＋∞) C ．[3，＋∞)
D ．(－∞，3]
解析：设t ＝x 2＋8，则t ≥8，又函数y ＝log 2t 在(0，＋∞)上为增函
数，所以f (x )≥log 28＝3.故选C.
4．已知m ，n ∈R ，函数f (x )＝m ＋log n x 的图象如图，则m ，n 的取值范围分别是( C )
A．m>0,0
又当x＝1时，f(x)＝m>0，故m>0.
解析：
6．函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( C )
解析：由f (2)＝2a ＝4，得a ＝2.
所以g (x )＝|log 2(x ＋1)|，则g (x )的图象由y ＝|log 2x |的图象向左平移一个单位得到，C 满足．
二、填空题
7．函数f (x )＝1－2log 5x 的定义域为(0，5]． 解析：由1－2log 5x ≥0，得log 5x ≤1
2，故0 8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >0， 3x ，x ≤0， 直线y ＝a 与函数f (x )的图象恒 有两个不同的交点，则a 的取值范围是(0,1]． 解析：函数f (x )的图象如图所示，要使直线y ＝a 与f (x )的图象有两个不同的交点，则0 9．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋6，x ≤2， 3＋log a x ，x >2 (a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋ ∞)，则实数a 的取值范围是(1,2]． 解析：∵当x ≤2时，f (x )∈[4，＋∞)， ∴当x >2时，3＋log a x 的值域为[4，＋∞)的子集． ∴⎩ ⎪⎨⎪⎧ a >1， 3＋log a 2≥4，解得1 10．求下列函数的定义域： (1)y ＝log 2(4x －3)； (2)y ＝log 5－x (2x －2)． 解：(1)要使函数有意义，必须满足： log 2(4x －3)≥0＝log 21，即1≤4x －3⇒x ≥1， ∴函数的定义域为[1，＋∞)． (2)要使函数有意义，必须满足：⎩⎪⎨⎪ ⎧ 2x －2>0，5－x >0， 5－x ≠1. 解得1 ∴函数的定义域为(1,4)∪(4,5)． 11．设定义域均为[2，8]的两个函数f (x )和g (x )，其解析式分别为f (x )＝log 2x －2和g (x )＝log 4x －1 2. (1)求函数y ＝f (x )的值域； (2)求函数G (x )＝f (x )·g (x )的值域． 解：(1)因为y ＝log 2x 在[2，8]上是增函数． 所以log 22≤log 2x ≤log 28，即log 2x ∈⎣ ⎢⎡⎦ ⎥⎤12，3. 故log 2x －2∈⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤－32，1， 即函数y ＝f (x )的值域为⎣ ⎢⎡⎦ ⎥⎤ －32，1. (2)G (x )＝f (x )·g (x )＝(log 2x －2)⎝ ⎛ ⎭⎪⎫log 4x －12 ＝(log 2x －2)⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1 2log 2x －12 ＝1 2[(log 2x )2－3log 2x ＋2]． 令t ＝log 2x ，x ∈[2，8]，t ∈⎣ ⎢⎡⎦ ⎥⎤ 12，3. 则y ＝12(t 2－3t ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－1 8，t ∈⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤12，3， 故当t ＝32时，y 取最小值，最小值为－1 8； 当t ＝3时，y 取最大值，最大值为1. 所以函数G (x )＝f (x )·g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤－18，1. ——能力提升类—— 12．在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是( D ) 解析：A 图中，由直线图象可知，直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点(0，a )在(0,1)的下方，所以01，指数函数与对数函数都应是增函数，而两函数图象都是单调递减的，故不合题意；C 图中，指数函数与对数函数图象不关于直线y ＝x 对称，故不合题意；D 图中，由直线图象可知，直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点(0，a )在(0,1)的上方，所以a >1，指数函数与对数函数都应是增函数，且图象关于直线y ＝x 对称，故满足条件．选D. 13．y ＝log a (3a －1)恒为正值，则a 的取值范围为( D ) A ．a >13 B.131 D.13 3，或a >1 解析：当⎩⎪⎨⎪⎧