《立体几何》测试及答案

《立体几何》测试及答案 (时间：120分钟 满分：150分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知平面α内的一条直线l 及平面β，则“l ⊥β”是“α⊥β”的( )

A.充分必要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件 解析 根据直线与平面垂直的判定定理，由“l ⊥β，l ⊂α”可证得“α⊥β”，即充分性是成立的.反之由“α⊥β，l ⊂α”不一定得到“l ⊥β”，即必要性不成立.所以“l ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件.故选B. 答案 B

2.已知圆锥的顶点为P ，母线PA ，PB 所成角的余弦值为7

8，PA 与圆锥底面所成角为45°，若

△PAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为( ) A.40(2＋1)π B.402π C.8(10＋5)π

D.810π

解析 设O 为圆锥底面圆的圆心，设底面圆的半径为r .

PA 与圆锥底面所成角为45°，即∠PAO ＝45°.

所以PA ＝2r .

母线PA ，PB 所成角的余弦值为78，即cos ∠APB ＝7

8.

则sin ∠APB ＝1－cos 2

∠APB ＝

1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫782

＝158.

由S △PAB ＝12PA ·PB sin ∠APB ＝12×2r 2×158＝515.∴r 2

＝40，

故S 圆锥侧＝πr ·PA ＝πr ·2r ＝2πr 2

＝402π. 答案 B

3.如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面边长为2，直线CC 1与平面ACD 1所成角的正弦值为1

3

，则该正四棱柱的高为( )

A.2

B.3

C.4

D.5

解析 以D 为坐标系原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D －

xyz ，如图所示，设正四棱柱的高为h ，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，D 1(0，0，h )，C 1(0，2，h )，CC 1→

＝(0，0，h )，AC →

＝(－2，2，0)，CD 1→

＝(0，－2，h ).设平面ACD 1的法

向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝－2x 1＋2y 1＝0，

n ·CD 1→＝－2y 1＋hz 1＝0，令z 1＝2，则y 1＝h ，x 1＝h ，n ＝(h ，h ，

2)为平面ACD 1的一个法向量.又直线CC 1与平面ACD 1所成角的正弦值为1

3，所以|cos 〈n ，CC 1〉

|＝|n ·CC 1→||n |·|CC 1→|

＝2h 2h 2

＋4·h ＝13，解得h ＝4，故选C.

答案 C

4.设三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝90°，AA 1＝32，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A.24π

B.18π

C.26π

D.16π

解析 依题意，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的外接球是底面为正方形(边长为2)、高为32的长方体的外接球，其直径为长方体的体对角线.设球的半径为R ，则有(2R )2

＝22

＋22

＋(32)2

＝26，故三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球的表面积为4πR 2

＝26π.故选C. 答案 C

5.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P ，Q 分别为AB ，AD 的中点，过点D 作平面α使B 1P ∥平面

α，A 1Q ∥平面α，若直线B 1D 1∩平面α＝M ，则MD 1

MB 1

的值为( )

A.14

B.13

C.12

D.23

解析 如图，取A 1D 1的中点E ，C 1D 1的中点F ，连接DE ，EF ，DF .易知B 1P ∥DF ，A 1Q ∥DE ，则平面DEF 就是平面α.EF 与B 1D 1相交于点M ，连接A 1C 1，与B 1D 1相交于点O ，易证点M 是D 1O 的中点.又O 是B 1D 1的中点，所以

MD 1MB 1＝1

3

.故选B.

答案 B

6.已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，高为2，M 为B 1C 1的中点，过点M 作平面α平行于平面A 1BD ，若平面α把该正四棱柱分成两个几何体，则体积较小的几何体的体积为( ) A.18

B.116

C.124

D.148

解析 设N 为C 1D 1的中点，P 为CC 1的中点，连接MN ，MP ，NP ，CB 1，如图.在四棱柱ABCD －

A 1

B 1

C 1

D 1中，A 1B 1綊CD ，∴四边形A 1B 1CD 为平行四边形，∴DA 1∥CB 1.∵M 为B 1C 1的中点，P 为CC 1的中点，∴MP ∥CB 1，∴DA 1∥MP .∵MP ⊄平面A 1BD ，DA 1⊂平面A 1BD ，∴MP ∥平面A 1BD .同理

可证NP ∥平面A 1BD ，∵MP ∩NP ＝P ，∴平面MNP ∥平面A 1BD ，即平面MNP 为平面α.∴体积较小的几何体为三棱锥P －C 1MN ，VP －C 1MN ＝13·12·C 1M ·C 1N ·C 1P ＝16×12×12×1＝1

24

.故选C.

答案 C

7.如图，四面体ABCD 为正四面体，AB ＝1，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点.若用一个与直线

EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，

则该多边形截面面积最大值为( )