高量1-矢量空间知识讲解

(,a)(,)a
对任意 有 (,)0 若 (,)0 O
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我们把具有加法和数乘两种运算并满足 各自条件的矢量集合称为矢量空间或线性 空间。
具有加法、数乘和内积三种运算的空间称 为内积空间。
▲ 内积空间的完全性
如果对给定任意小的实数 0 ,有数N存
在。当 m,nN时，有
(mn,
mn)
即随m着 ,n增大， m,n可以无限接 利用了 (,)00
||22|(,)|||2
||2 2||||||2
所以
||2( | |||)2
即
|||||| 得证。
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§1.3 基矢
1. 线性无关
（1）定义：
[证]给定和 后，构造一个矢量 (|,|2)
作 的模方，则 | |2 0
即有
0(,) ||2(,)( |, |2)(| ,|2)*(,)
(|,|)2*|(|,2)(,)
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0(,) ||2 (,)( | , |2)( | , |2 )*(,)
(|,|)2*|(|,2)(,)
因为 | |2 0
l 1 a
la
l2a
l3a l4a
( l ,m ) l 1 * m 1 l 2 * m 2 l 3 * m 3 l 4 * m 4
这是一个复数域上的内积空间。
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4.复函数
数学对象为在 axb区间定义的实变量x的 “行 为较好”的复函数f(x)的全体,而且都是平方可积的。
[证明]
设 中有两个逆元 1,2 ，则有
1O ,2O
这样 1 101(2)
(1)2 (1)2
O22
故逆元是唯一的。
3. 0O
4. (1)
5. OaO
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6. 若a O，那么 a0或 O
[证明] 当 a0时显然成立； 当 a0时，必有 a1 1/a
因为 (a)a1Oa 1O(由5知)
而且 (a)a 1(a 1 a )1
规定（1）加法：平行四边形法则 （2）数乘：方向不变，长度乘以a （3）内积：两矢量点乘积
这是一个实数域上的内积空间。
3. 复矩阵
数学对象为 一组有次序的复数。如四个数写成列阵
l 1
l
l2
l l
3 4
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定义加法、数乘和内积分别为
l1 m 1
l
m
l2
l l
3 4
m2 m3 m4
2. 模方：矢量 同它自己的内积(,)是一个大于0 的实数，称为矢量 的模方。记作 (,)||2 模方的正平方根称为模，记作| | ，又称作 矢量 的长度。
3. 归一化矢量：
模等于1的矢量称为归一化矢量。
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二、与模有关的基本关系
1. Schwartz不等式
对于任意矢量 和 ，有 |(,)|||||
高等量子力学
使用教材：喀兴林 主编 《高等量子力学》 教学时数：4×18=72学时 使用对象：硕士研究生
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第一章 希尔伯特空间
§1 矢量空间 §1.1 定义 考虑无穷多个同类的数学对象的集合
{,,,}
如果它们之间满足一定的运算要求，则其构 成一个矢量空间。 一、矢量空间中矢量的运算
▲加法运算 集合中任意两个矢量相加都能得到集合中的 另一个矢量，即
（等于0是不允许的，为什么？） 所以有
|(,)|2||2||2
即
|(,)|||||
得证。
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2. 三角形不等式
对于任意矢量 和 ，有
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||||||
[证]因为对任意复数a，有 Rea|a|
取 | |2，利用上述关系和Schwartz不等式，有
( , ) | |2 2 R , e ) | (|2
2
加法规则视不同对象可以不同。但一定要 满足下列四个条件
1.交换律
2.结合律
( ) ( )
3.单位元存在 O O为零矢量
4.逆元存在
O
并把 ()记为
3
▲数乘运算
集合内任一矢量可以与数（实数或复数） 相乘，得出集合内的另一矢量。
aa（一般把数写在矢量后面）
数乘满足下列四个条件
1.单位元
1
2.结合律
（数乘结合律，单位元）
所以 O
故若aOa0或 O
7. (a,)a*(,)
8 .( ,) ( ,) ( )
9. (,O)0 注意数和矢量的写法 10
三、矢量空间举例
1. 有理数域上的矢量空间
数学对象为所有正负有理数和零
加法：算术中的加法 数乘：a为有理数的乘法 内积：因子是算术乘积
因为有理数相加和相乘都是有理数，故这个空间是封闭的 所得结果仍在此空间中。
(a)b(a)b
3.第一分配律 (ab)ab
4.第二分配律 ()aaa
4
▲内积运算
两个矢量可以作内积得出一个数，记作 (,)C
在实数域（复数域）上的矢量，其内积是 实数（复数）。内积与两个因子的次序有 关。内积规则要满足下列四个条件
1.复共轭 2.分配律 3.因子结合律 4.自内积
(,)(,)*
( , ) ( ,) ( ,)
定义加法和数乘都是代数中的相应运算。规定两 个函数 f(x),g(x)的内积为
b
f(x),g(x)f*(x)g(x)dx
a
这样的函数全体构成一个内积空间---函数空间。 不同的函数都是此空间中的矢量。
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§1.2 正交性和模
一、正交归一性 1. 正交：若干矢量 和 的内积满足关系
(,)0 则称矢量 和 正交。
那么可以定义空间的完全性：
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空间中任意在Cauchy意义下收敛的序列 {1,2,}的极限也必须在此空间中。
这样完全的内积空间是指在Cauchy意义下，
内积空间中的序列 1,2, 的极n限
也在内积空间中。
完全的内积空间称为希尔伯特(Hilbert) 空间。
本章中，矢量空间通常指在复数域上的 内积空间。
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二、矢量空间的简单性质
1.零矢量是唯一的 [证明]
设空间中有二零矢量O1，O2，则
O 1 , O 2
将第一式中 O2， 第二式中 O1，则
O 2 O 2 O 1 , O 1 O 1 O 2
利用加法交换律，有
O 2 O 2 O 1 O 1 O 2 O 1
所以零矢量是唯一的。 8
2. 每个矢量的逆元是唯一的
但注意以下序列
S 0 1 ,S 1 1 1 1 !,S 2 1 1 1 !2 1 !, ,S ni n 01 i!
每项都在上述空间中。但当n时，Sn e2.718 28
这是一个无理数，不在有理数空间内。
所以，有理数域的空间并非完全的内积空间。 11
2. 位置矢量空间
数学对象为 3D位形空间中由一点引出的不同方向， 不同长短的线段的全体。