材料力学课件第七章平面弯曲变形资料重点

F1 A
B
F2
F1
F2
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D= A B
C
D+A
B
C
D
为提高效率，可以在几类梁在集中常见荷载作用 下引起的转角、挠度以及挠曲方程等，事先求出 ，列成表格（表7-3），以供查用。
7-3-3叠加法求梁的变形
（1）梁的变形是载荷的线性函数
（2）当梁上有多个载荷同时作用时，总的变形等于各载荷单独作用时所 引起变形的代数和，此方法称为叠加法。
7qa4 2qa4 41qa4
()
2
24EI EI 24EI
B
a qB a
v C
B
解法二：分段刚化法
先将 BC 段刚性，让AB 段变形
QB qa ,
MB
1 2
qa2
vC1 vB1 B1a
vB1
QB a 3 3EI
MBa2 2EI
7qa 4 12 EI
()
B1
QB a 2 2EI
MBa2 EI
v(x)挠度曲线方程 近似微分方程
(x)转角方程
v(x) ' M (x)
E Iz
二、 积分法 v x
EI EIv' M (x)dx C EIv(x) M (x)dxdx Cx D
v( x) M ( x) EI
EIZv(x) M (x)
待定常数C，D
由边界条件确定
简支梁的边界条件 v
复习 弯曲切应力
Q
Z
y
z轴为中性轴
Q SZ
b IZ
max
k m
1.5 Q A
强度条件：
max
k
Q A
提高梁强度的措施： 改变荷载作用位置和形 式；改变支座位置；
合理截面形状；等强度 梁。
7-3-1 弯曲变形
1 概述
拉压变形： l NL
EA
扭转变形： MnL
GI p
弯曲变形：
v
qa 3 EI
(
)
19qa 4
1
vC1 vB1 B1a 12EI ()
再将 AB 段刚性，让BC 段变形
vC 2
qa 4 8EI
()
vC
vC1
vC 2
41qa 4 24EI
()
2
q
A
B
a
a
C
QB
A
B MB
C
a
a
QB
A
B MB
C
vB1 B1
q
A
B
C
vC 2
例6.6 已知：F、a、K、EI，求vC。 F
vm ax
-
Fl 3 48 EI
当b 0 1 0 x
l 0.577 l 3
中间点挠度
v中
v1(
l) 2
Ml2 16EI
相对误差
vmax v中 vm a x
2.64 0 0
最大挠度将发生在梁中间
7-3-3叠加法求梁的变形
（1）梁的变形是载荷的线性函数
（2）当梁上有多个载荷同时作用时，总的变形等于各载荷单独作用时所 引起变形的代数和，此方法称为叠加法。
A
C
B
vC
vC (F ) vC (M )
vC (F )
Fl 3 48 EI
()
l2 l2 F
C C (F ) C (M )
C
(M)
Fl 2 24 EI
(
)
A(F
)
Fl 2 16 EI
(
)
A(M)
Fl 2 48 EI
(
)
C
A
B
l2 l2
M
A
B
C
A A(F) A(M)
l2 l2
Fl 2 (
1
F1 A
B
F2
F1
F2
C
D= A B
C
D+A
B
C
D
为提高效率，可以在几类梁在集中常见荷载作用 下引起的转角、挠度以及挠曲方程等，事先求出 ，列成表格（表7-3），以供查用。
例题3 已知F、l、EI，试求C截面的挠度和转角
以及A截面的转角。
F M Fl 2
解：vC
(F
)
Fl 3 48 EI
()
vC (M ) 0
C1 C2 C D1 D2 D
边界条件： x1 0 : v1 0 ;
x2 l : v2 0
EIv2
Fb 6l
x3
F 6
(x
a)3
C2 x D2
D 0;C Fb (l2 b2) 6l
F
a
b
l
EI1
Fb 2l
x2
-
Fb (l2 6l
b2)
EIv1
Fb 6l
x3
-
Fb (l2 6l
6
24
边界条件： x l : v 0 , 0
ql 3 C
6
x q (l3 x3)
6EI
x
EI
l
ql 4 D
8
v( x) q (3l 4 4l 3 x x4 ) 24EI
ql 4 v max 8EI ()
max
ql 3 6EI
(
)
例题2 已知F 、EI、 a、b，试求梁的挠曲线方程及最大挠度和转角。
b2)x
EI2
Fb 2l
x2
-
F 2
(x a)2
Fb (l2 6l
b2)
EIv2
Fb 6l
x3
-
F 6
(x
a)3
Fb (l2 6l
b2)x
当a b,则最大挠度将发生在 a段
当1 0，v1有极大值
x
l2 b2 3
Fb (l 2 b2 )3 vmax 9 3EIl
若a b 1
0
x
l 2
x
v 简支梁的边界条件 x
x 0 v 0 x l v 0
x 0 v 0
x 0 0
例题 已知q 、EI、 l，试求梁的挠曲线方程及最大
挠度和转角。
q
解：弯矩方程: M( x) q x2
2
EI (x)
q x 2dx C
qx 3 C
2
6
EI v ( x) q x3dx Cx D qx4 Cx D
1
)
Fl 2
(
)
EI 16 48 24EI
例题求图示悬臂梁的vC，EI已知。
q
解法一：叠加法
vC vC1 vC2
A
B
a
a
C
vC1
q(2a)4 8EI
()
vC 2
vB2
B2a
7qa 4 24 EI
()
q
B
C
a
a
q
qa 4 vB2 8EI ()
qa 3 B2 6EI ( )
1A
B
a
a
C
vC vC1 vC2
x
v(x)
x 挠度v 截面形心的竖向位移
挠度曲线
转角θ 截面绕中性轴的转角
2 直接积分法
一、 基本微分方程 vF
v=f(x)挠度方程
tan dv v'(x)
dx
dθ
θ+dθ
x
θ
v+dv
v
θ
ds
dx
cos
dx
d
dx
1
d 2v dx2
1
M EI Z
1 ( x)
(1
v v2
)3
2
v(x)
v( x) M ( x) EI
F
a
b
解： RA Fb l RB Fa l
RA
RB
l
M1(x)
Fb l
x
(0＜x＜a)
M2(x)
Fb x l
F(x
a)
(a＜x＜l)
EI1
Fb 2l
x
2
C1
EI2
Fb 2l
x2
F 2
(x
a)2 C2
EIv1
Fb 6l
x3
C1x
D1
连续条件： x a : 1 2 , v1 v2
得：
解： 先将弹簧刚化
vC1
Fa3 6EI
()
再将AB梁刚化
1 F/2 F
vC2 2
K
() 4K
vC vC1 vC 2 Fa3 F () 6EI 4K
A
B
C
K
a
a
F
A 1
C
B
K
a
a
F
A
B
2
C
K
a
a
例题 已知：F、a、AD和EB段、截面抗弯刚度EI，DE段求2EI 。 求vC