高中数学 等比数列

3、q 1时，{an }为常数列
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7
观察数列 ( 1) 2，4，8，16，32，64. 公比 q=2 递增数列
(2) 1，3，9，27，81，243，…公比 q=3 递增数列
(3)
1, 1, 1, 1 , 2 4 8 16
公比 q=
1 2
递减数列
(4) 5，5，5，5，5，5，… (5) 1，-1，1，-1，1，…
17
例:求下列等比数列的第4，5项：
（1） 5，-15，45，…
a45(3)4113 , a 555(3)5140.5
（2）1.2，2.4，4.8，…
a41.22419.6, a51.22511.2 9.
(3) 2, 1, 3, 3 28
a4
2341 3 4
9, 32
a5
2351 3 4
27, 128
因此，常数列一定是等差数列,但但不一定
是等比数列.
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9
20
18 数列：1，2，4，8，16，…
16
●
14 12
an 2n1
10
8
●
6
4
●
2
●
●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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10
10
9
数列： 8,4,2,1,1,1,1,
2 48
8
●
7 6
5
4
●
an
8
•
1
n1
2
an1an
等差数列 a n
d(是与 n无关的数或式子
的通项公式为
当d≠0时，这是 关于n的一个一
ana1(n1)d
次函数。
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，
那么A叫做a与b的等差中项。
等差数列 a n 的前n项和
A ab 2
Sn
n（a1 an) 2
Sn n1 an（ n 21)d
公比 q=1 非零常数列 公 比q= -1 摆动数列
(6) 1,x,x2,x3,x4, (x0)公比 d= x
因为x的正负性不确
定，所以该数列的
增减性等尚不能确
定。
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8
考考你
由常数 a ,a , ,a所组成的数列
一定为等比数列吗?
不一定是等比数列。
若此常数列为{0}，则此数列从第二项起， 第二项与它前一项的比将没有意义，故非 零常数列才是等比数列。
等比数列
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1
复习：
(1)什么叫等差数列?
如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等差数列.其表示为:
anan1d(d为常 ,n2 数 )
(2)a等n=差a数1+列(n的-1通)d项公a n 式 是a 什m 么( ?n m ) d(其 中 n ,m N )
7
6 5
an 1n1
4
3
2
1●
●
●
●
●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
●
●
●
●
●
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13
等比数列的通项公式
a2 a1q a3 a2q a1q2 a4 a3q a1q3
an an1q a1qn1
a2 q a3 q … an q
a1
a2
a n 1
a2a3 an q n 1
(4) 5，5，5，5，5，5，…
(5) 1，-1，1，-1，1，…
(6) 1,x,x2,x3,x4, (x0)
观察这些数列有哪些特点?
这就是说，这些数列具有这样的共同特点： 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。
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3
复习等差数列的有关概念
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数（指与n 无关的数），这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字 母d表示。
当公差d=0时，Sn na1 ， 当d≠0时，Snd2n2(a1d2)n , 是关于n的二次函数且常数项
Sn na nn（ n 21)教d 学ppt
为0. 4
变形虫分裂问题
假设每经过一个单位时间每个变形虫都 分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形 虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫， 经过两个单位时间就有了四个变形虫，…， 一直进行下去，记录下每个单位时间的变形 虫个数得到了一列数这个数列也具有前面的 几个数列的共同特性，这是我们将要研究的 另一类数列——等比数列.
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16
数列 定义 公差（比）
等差数列 an+1-an=d d 叫公差
等比数列
an1 an q
q叫公比
定义变形
an+1=an+d
an+1=an q
通项公式 一般形式
来自百度文库
an= a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d
d an am nm
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an=a1qn-1
an=amqn-m
qnm an am
(4) 2,1, 2 ,
2 41
51
a4 2 22
教学1ppt, 2
a5
2 22
18 2, 4
例:一个等比数列的第3项与第4项分
别是12与18，求它的第1项与第2项.
解: 用a n 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有
a312 ,a418 ,
解得
即a1q
a1 a2
an1
ana1qn1
不完全归纳法
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连乘法
14
等比数列通项公式为：
ana1qn1 amqnm
1、q=1为常数列，q<0为摆动数列 2、那么q>1或0<q<1数列为什么数列呢?
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15
q>1, a1>0,数列为递增； a1<0,数列为递减；
0<q<1, a1>0,数列为递减； a1<0,数列为递增；
3
2
●
1
●
●●●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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11
10
9 数列：4，4，4，4，4，4，4，…
8 7
an 4
6
5
4
● ● ●● ●●● ● ● ●
3 2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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12
10 9 数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，… 8
(则3)在a等m+差a数n=列{aapn+}中a，q 若m+n=p+q（m，n，p，q是正整数），
(4)如果a, A, b 成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.
A
ab 教学ppt
2
2
观察数列 ( 1) 2，4，8，16，32，64.
(2) 1，3，9，27，81
31, 1,1, 1 ,
2 4 8 16
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5
一般的，如果一个数列从第2
项起，每一项与它前一项的比等
于同一个常数，这个数列就叫做
等比数列。这个常数叫做等比数列的
公比，公比通常用字母q表示。(q≠0）
qa2a3a4.. .an1
an
a1 a2 a3
q(n2) 或
an1
an
q(nN*)
an1
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特点：
1、 “从第二项起”与“前一项”之比 为常数q 2、 隐含：任一项 an 0且 q 0