(整理)考研数学高数定积分公开课讲义(汤家凤).

课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤）

2、课程内容

此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。

3、主讲师资

汤家凤——主讲高等数学、线性代数。

著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。

4、讲义：

6页（电子版）

文都网校

2011年5月27日

公开课二：定积分理论

一、实际应用背景

1、运动问题—设物体运动速度为)(t v v =，求],[b a t ∈上物体走过的路程。 （1）取b t t t a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -⋃⋃⋃= ， 其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=∆-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i

n

i i

t f S ∆≈

∑=)(1ξ；

（3）取}{max 1i n

i x ∆=≤≤λ，则i

n

i i

x f S ∆=∑=→)(lim

1

ξλ

2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=，由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。

（1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -⋃⋃⋃= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=∆-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i

n

i i

x f A ∆≈

∑=)(1ξ；

（3）取}{max 1i n

i x ∆=≤≤λ，则i

n

i i

x f A ∆=∑=→)(lim

1

ξλ。

二、定积分理论

（一）定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数，

（1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -⋃⋃⋃= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=∆-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，作

i

n

i i

x f ∆∑=)(1

ξ；

（3）取}{max 1i n

i x ∆=≤≤λ，若i

n

i i

x f ∆∑=→)(lim

1

ξλ存在，称)(x f 在],[b a 上可积，极限称为)

(x f 在],[b a 上的定积分，记

⎰

b

a

dx x f )(，即⎰b

a

dx x f )(i n

i i x f ∆=∑=→)(lim 1

ξλ。

【注解】

（1）极限与区间的划分及i ξ的取法无关。

【例题】当],[b a x ∈时，令⎩⎨⎧∈∈=Q

R x Q

x x f \,0,1)(，对i n

i i x f ∆∑=→)(lim 10

ξλ，

情形一：取所有)1(n i Q i ≤≤∈ξ，则a b x x

f i n

i i

n

i i

-=∆=∆∑∑=→=→1

1

lim )(lim

λλξ；

情形二：取所有)1(\n i Q R i ≤≤∈ξ，则0)(lim

1

=∆∑=→i

n

i i

x

f ξλ，

所以极限i

n

i i

x f ∆∑=→)(lim

1

ξλ不存在，于是)(x f 在],[b a 上不可积。

（2）∞→⇒→n 0λ，反之不对。

分法：等分，即],1[

]2,1[]1,0[]1,0[n n n n n n n -⋃⋃⋃= ，)1(1

n i n

x i ≤≤=∆；

取法：取n i i 1-=ξ或)1(n i n

i

i ≤≤=ξ，则

∑∑⎰

=∞→=∞→-==n i n n i n n i f n n i f n dx x f 11

1

)1

(1lim )(1lim )(。

则

∑⎰

=∞→-+-=n i n b

a

a b n

i a f n a b dx x f 1)]([lim )(。 【例题1】求极限∑=∞→+n i n n i n 1

211lim 。

【解答】⎰∑+=+=∞→101

21211lim dx x n i

n n i n 。

【例题2】求极限)12

11

1(

lim 2

2

2

2

2

2

n

n n n n ++

+++

+∞

→

【解答】)12

11

1(

lim 2

2

2

2

2

2

n

n n n n ++

+++

+∞

→ 。

⎰

+=++

+++

+=∞→1

2

2

2

2

1])(11)2(11)1(11[1

lim

x

dx n

n n

n

n

n

三、定积分的普通性质