(整理)考研数学高数定积分公开课讲义(汤家凤).
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课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课(汤家凤)
2、课程内容
此课程为2013年考研数学高数部分的公开课,主要讲授定积分部分。
3、主讲师资
汤家凤——主讲高等数学、线性代数。
著名考研辅导专家,南京大学博士,南京工业大学教授,江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。凭借多年从事考研阅卷工作的经验,通过自己的归纳总结,在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出,融会贯通,让学生真正掌握正确的解题方法。
4、讲义:
6页(电子版)
文都网校
2011年5月27日
公开课二:定积分理论
一、实际应用背景
1、运动问题—设物体运动速度为)(t v v =,求],[b a t ∈上物体走过的路程。 (1)取b t t t a n =<<<= 10,],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -⋃⋃⋃= , 其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=∆-; (2)任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ,i
n
i i
t f S ∆≈
∑=)(1ξ;
(3)取}{max 1i n
i x ∆=≤≤λ,则i
n
i i
x f S ∆=∑=→)(lim
1
ξλ
2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=,由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形,求其面积。
(1)取b x x x a n =<<<= 10,],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -⋃⋃⋃= , 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=∆-; (2)任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ,i
n
i i
x f A ∆≈
∑=)(1ξ;
(3)取}{max 1i n
i x ∆=≤≤λ,则i
n
i i
x f A ∆=∑=→)(lim
1
ξλ。
二、定积分理论
(一)定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数,
(1)取b x x x a n =<<<= 10,],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -⋃⋃⋃= , 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=∆-; (2)任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ,作
i
n
i i
x f ∆∑=)(1
ξ;
(3)取}{max 1i n
i x ∆=≤≤λ,若i
n
i i
x f ∆∑=→)(lim
1
ξλ存在,称)(x f 在],[b a 上可积,极限称为)
(x f 在],[b a 上的定积分,记
⎰
b
a
dx x f )(,即⎰b
a
dx x f )(i n
i i x f ∆=∑=→)(lim 1
ξλ。
【注解】
(1)极限与区间的划分及i ξ的取法无关。
【例题】当],[b a x ∈时,令⎩⎨⎧∈∈=Q
R x Q
x x f \,0,1)(,对i n
i i x f ∆∑=→)(lim 10
ξλ,
情形一:取所有)1(n i Q i ≤≤∈ξ,则a b x x
f i n
i i
n
i i
-=∆=∆∑∑=→=→1
1
lim )(lim
λλξ;
情形二:取所有)1(\n i Q R i ≤≤∈ξ,则0)(lim
1
=∆∑=→i
n
i i
x
f ξλ,
所以极限i
n
i i
x f ∆∑=→)(lim
1
ξλ不存在,于是)(x f 在],[b a 上不可积。
(2)∞→⇒→n 0λ,反之不对。
分法:等分,即],1[
]2,1[]1,0[]1,0[n n n n n n n -⋃⋃⋃= ,)1(1
n i n
x i ≤≤=∆;
取法:取n i i 1-=ξ或)1(n i n
i
i ≤≤=ξ,则
∑∑⎰
=∞→=∞→-==n i n n i n n i f n n i f n dx x f 11
1
)1
(1lim )(1lim )(。
则
∑⎰
=∞→-+-=n i n b
a
a b n
i a f n a b dx x f 1)]([lim )(。 【例题1】求极限∑=∞→+n i n n i n 1
211lim 。
【解答】⎰∑+=+=∞→101
21211lim dx x n i
n n i n 。
【例题2】求极限)12
11
1(
lim 2
2
2
2
2
2
n
n n n n ++
+++
+∞
→
【解答】)12
11
1(
lim 2
2
2
2
2
2
n
n n n n ++
+++
+∞
→ 。
⎰
+=++
+++
+=∞→1
2
2
2
2
1])(11)2(11)1(11[1
lim
x
dx n
n n
n
n
n
三、定积分的普通性质