圆锥曲线轨迹方程经典例题

轨迹方程经典例题

一、轨迹为圆的例题：

1、必修2课本P 124B 组2：长为2a 的线段的两个端点在 x 轴和y 轴上移动，求线段 AB 的中点M 的轨迹方程:

1

必修2课本P 124B 组：已知M 与两个定点(0,0)，A ( 3,0 )的距离之比为 _ ,求点M 的轨迹方程；(一般地：必修 2课

2

本P i4启组2：已知点M(x , y )与两个定点 的距离之比为一个常数 m ；讨论点M(x ,y )的轨迹方程(分 m =i .

为22，在y 轴上截得线段长为 2・..3。 ( 1)求圆心的P 的轨迹方程;

(2)若P 点到直线y = x 的距离为—，求圆P 的方程。

2

如图所示，已知 R4 , 0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A B 是圆上两动点，且满足/ APB 90°，求矩 形APBQ 勺顶点Q 的轨迹方程.

解：设AB 的中点为R 坐标为(x ,y ),则在Rt △ ABP 中，|AR =| PR .又因为R 是弦AB 的中点, 依垂径定理：在 Rt △ OAF 中，| AR 2=|AQ 2—| OR 2=36— (x 2+y 2)又| AR =| PR = - (^4)2 y 2 所以有

(x — 4)2+y 2=36 — (x 2+y 2),即x 2+y 2 — 4x — 10=0因此点R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运 动.

设 Qx , y ) , Rx 1,y 1),因为 R 是 PQ 的中点，所以X 1= _ , y 1

= ―，代入方程 ^+y 2 — 4x — 10=0,得 2 2

(宁)2 •(寸)2 -4 —10=0整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.

在平面直角坐标系 xOy 中，点A(0,3)，直线丨：y = 2x-4 •设圆C 的半径为1,圆心在l 上. (1)若圆心C 也在直 线y = x -1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；

(2)若圆C 上存在点M ，使MA =2MQ ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.

与2进行讨论)

戈

（2013陕西卷理20）已知动圆过定点 A （4,0），且在y 轴上截得弦 MN 的长为8. （1） 求动圆圆心的轨迹C 的方程；

（2） 已知点B （_1,0），设不垂直于x 轴的直线|与轨迹C 交于不同的两点 P,Q ，若x 轴是.PBQ 的角平分线，证明

直线l 过定点。 二、椭圆类型：

1

3、 定义法：（选修2-1P 50第3题）点M （x , y ）与定点F （2，0）的距离和它到定直线 x=8的距离之比为一，求点

2

M 的轨迹方程.（圆锥曲线第二定义） 讨论：当这个比例常数不是小于

1,而是大于1，或等于1是的情形呢？（对应双曲线，抛物线）

4、圆锥曲线第一定义：（选修2-1P 50第2题）一个动圆与圆

2 2 2 2

x y •6x ・5=0外切，同时与圆 x y -6x -91=0内切，求 动圆的圆心轨迹方程。

圆锥曲线第一定义：点M （x °,y °）圆F j （x+1）2 +y 2

=9上的一个动点，点F 2 （1,0）为定点。线段MF ?的垂直平分线与 MF 1相交于点Q （x , y ）,求点Q 的 轨迹方程;（注意点F 2 （ 1,0 ）在圆内）

6、其他形式：（选修2-1P 50例3）设点A,B 的坐标分别是（-5,0），（5,0），直线AM,BM 相交于点M 且他们的斜率

4

的乘积为 ，求点M 的轨迹方程：（是一个椭圆）

9

4

（讨论当他们的斜率的乘积为

4

时可以得到双曲线）

9

（2013新课标1卷20）已知圆M : （x • 1）2 • y 2 =1，圆N : （x -1）2 y 2

= 9，动圆P 与圆M 外切并且与圆 N 内切，

5、

M

Q

F 2

圆心P 的轨迹为曲线C 。 （ 1）求C 的方程； （2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A,B 两

点，当圆P 的半径最长时，求 AB

(2013陕西卷文20)已知动点 M (x,y)到直线I : x =4的距离是它到点 N(1,0)的距离的2倍。 (1)求动点M 的轨迹C 的方程

(2)过点P(0,3)的直线m 与轨迹C 交于 代B 两点，若A 是PB 的中点，求直线

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5

定义法：(选修2-1P 59例5)点M(x , y )与定点F(5，0)的距离和它到定直线 x 的距离之比为

，求点M 的轨迹方

5 4

程.(圆锥曲线第二定义)

四、抛物线类型：10、定义法：(选修2-1 )点M(x , y )与定点F(2，0)的距离和它到定直线 X =-2的距离相等， 求点M 的轨迹

方程。(或：点M(x , y )与定点F(2，0)的距离比它到定直线 X =-3的距离小1,求点M 的轨迹 方程。)

(2013陕西卷文20)已知动点M(x,y)到直线l :x =4的距离是它到点 N(1,0)的距离的2倍。 (1)求动点M 的轨 迹C 的方程

(2)过点P(0,3)的直线m 与轨迹C 交于A, B 两点，若 A 是PB 的中点，求直线 m 的斜率 已知三点0(0,0) , A(-2,1)，B(2,1)，曲线C 上任意一点M(x,y)满足 T r

T T

|MA MB | =OM (OA OB) 2。

(1)求曲线C 的方程；

m 的斜率。

三、双曲线类型： &圆锥曲线第一定义：点

F 2 ( 1,0 )为定点。线段

的轨迹方程;(注意点F 2