北师大-结构化学课后习题答案

北师大 结构化学 课后习题 第一章 量子理论基础

习题答案

1 什么是物质波和它的统计解释?

参考答案:

象电子等实物粒子具有波动性被称作物质波。物质波的波动性是和微粒行为的统计性联系在一起的。对大量粒子而言，衍射强度（即波的强度)大的地方,粒子出现的数目就多,而衍射强度小的地方,粒子出现的数目就少。对一个粒子而言,通过晶体到达底片的位置不能准确预测。若将相同速度的粒子，在相同的条件下重复多次相同的实验,一定会在衍射强度大的地方出现的机会多，在衍射强度小的地方出现的机会少。因此按照波恩物质波的统计解释,对于单个粒子,ψψ=ψ

*2

代表粒子的几率密度，在时刻ｔ，空间q 点附近体积元τd 内粒子的几

率应为τd 2

ψ；在整个空间找到一个粒子的几率应为 12

=ψ⎰τd 。表示波函数具有归一

性。

2 如何理解合格波函数的基本条件? 参考答案

合格波函数的基本条件是单值，连续和平方可积。由于波函数2

ψ

代表概率密度的物理意义，

所以就要求描述微观粒子运动状态的波函数首先必须是单值的,因为只有当波函数ψ在空间每一点只有一个值时,才能保证概率密度的单值性;至于连续的要求是由于粒子运动状态要符合Schröｄｉn ｇe ｒ方程，该方程是二阶方程，就要求波函数具有连续性的特点;平方可积的是因为在整个空间中发现粒子的概率一定是1００%,所以积分⎰

τψψd *必为一个有限数。

3 如何理解态叠加原理? 参考答案

在经典理论中,一个波可由若干个波叠加组成。这个合成的波含有原来若干波的各种成份（如各种不同的波长和频率)。而在量子力学中，按波函数的统计解释,态叠加原理有更深刻的含义。某一物理量Q 的对应不同本征值的本征态的叠加，使粒子部分地处于Q 1状态,部分地处于Q ２态,……。各种态都有自己的权重(即成份）。这就导致了在态叠加下测量结果的不确定性。但量子力学可以计算出测量的平均值。

4 测不准原理的根源是什么？ 参考答案

根源就在于微观粒子的波粒二象性。

5 铝的逸出功是4．2ｅＶ,用200０Å的光照射时，问（a ）产生的光电子动能是多少？(b)

与其相联系的德布罗依波波长是多少？(c)如果电子位置不确定量与德布罗依波波长相当，其动量不确定量如何？ 参考答案

(a)根据爱因斯坦光电方程W m h +=221υν，又λνc =,得光电子动能:

J

W

c h m T 1919

19

19108

34

210219.31072.610939.9106.12.410200010310

626.621------⨯=⨯-⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-⋅==λ

υ (b)由德布罗依关系式,相应的物质波波长为

m

mT

h P

h 10253419

3134

10781.810546.710626.610219.3101.9210626.62------⨯=⨯⨯=

⨯⨯⨯⨯⨯=

=

=λ

（ｃ) 由不确定关系式h Px x ≥∆⋅∆,若位置不确定量λ≈∆x ，则动量不确定量

12510

34

10546.710

781.810626.6----⋅⋅⨯=⨯⨯==≈∆s m Kg P h

Px λ

6 波函数ｅ-ｘ

(0≤ｘ≤∞）是否是合格波函数,它归一化了吗?如未归一化,求归一化常数。 参考答案

没有归一化，归一化因子为2

7 一个量子数为n,宽度为l 的一维势箱中的粒子,①在0~１/4 的 区域内的几率是多

少?②n 取何值时几率最大?③当n→∞时，这个几率的极限是多少？ 参考答案

（1)2

sin

214124

π

πψn n dx w l

n -=

=

⎰

l

(2) π

π6141,12sin ,...)3,2,1(43max +

=-==+=w n k k n 时

（3)4

1=

w 8 函数x l

l x l l x ππψ2sin 22sin 23

)(+=是不是一维势箱中粒子的可能状态?如果是,其能量有无确定值？如果有，是多少？如果能量没有确定值，其平均值是多少？ 参考答案

根据态叠加原理，)(x ψ是一维势箱中粒子一个可能状态。能量无确定值。 平均值为

2

210425ml

h 9 在这些算符

∑

，

错误!未找到引用源。， e ｘｐ， 错误!未找到引用源。中，那些

是线性算符? 参考答案

错误!未找到引用源。和 错误!未找到引用源。是线性算符.

10 下列函数, 那些是错误!未找到引用源。的本征函数? 并求出相应的本征值。ﻩ (a ） e imx (b) ｓinx (c ） x 2+y 2 （d) （a-x)e -x 参考答案

(a) 和 (b) 是错误!未找到引用源。的本征函数,其相应的本征值分别为-m 2和-1。

11 有算符,ˆ,ˆX X dx d D

== 求D X X D ˆˆˆˆ-。 参考答案

根据算符之积的定义

1ˆˆˆˆ)()]([)()]([)]

([)]([)](ˆ[ˆ)](ˆ[ˆ)()ˆˆˆˆ(=-∴=-+=-=-=-D X X D x f x dxf d X x f x drf d X x drf d X x Xf dx d x f D X x f X D x f D X X D

北师大 结构化学 课后习题 第二章 原子的结构与性质