(同步讲解)解读空间构成点线面

解读空间的构成―――点线面

空间点、线、面是学习立体几何基础，要求理解平面概念及画法。掌握四个公理，一个定理内容，并理解点、线、面之间的关系。

一、基本概念探索

对于平面主要有三个特征：（1）平的；（2）没有大小，无限延展；（3）没有厚度。 掌握点――直线――平面间的相互关系，并会用文字――图形――符号语言正确表示。 特别警示：注意点、直线、平面间基本关系的文字语言，图形语言和符号语言之间关 系的转换，集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“⊂”和“ ”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言。α⊄a （平面α外的直线a ）表示∅=α a 或.A a =α

二、平面基本性质探究

平面的基本性质1：①说明了平面与曲面的本质区别；②是判定直线是否在平面内的依 据；③也可用于验证一个面是否是平面。

平面的基本性质2：①确定平面；②证明两个平面重合。

平面的基本性质3：①揭示了两个平面相交的主要特征；②确定两相交平面的交线位置；③判定点在直线上。

要点扫描：

1、空间两直线的位置关系：（1）相交――有且只有一个公共点；（2）平行――在同一平面内，没有公共点；（3）异面――不在任何一个平面内，没有公共点。

2、直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）。

3、面与面的位置关系：（1）面与面平行；（2）面与面相交。

三、两条直线位置关系剖析

空间两条直线的位置关系有相交、平行、异面，重点是平行直线、异面直线。

1、关于平行直线，有①公理4：若a//b ，a//c ，则b//c ；公理4可以理解为空间内直线间的平行关系具有传递性。②等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

2、关于异面直线，要理解相关概念

（a ）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

说明：①注意“任何”两字，若两条直线分别在平面βα,内，这两条直线不一定是异 面直线，这两条直线还可能共面；②异面直线既不相交也不平行。

（b ）两条异面直线所成的角（或夹角）

已知两异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线b b a a //',//'，则相交直线'a 与'b 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（也称为夹角）。

如果两条异面直线所成的角是直角，就称这两条直线互相垂直，两异面直线所成的角的范围为].2,0(π

说明：①空间两条直线垂直 ，可能相交，也可能异面；②求异面直线所成角的关键是――平移直线，通过平移直线，把异面直线所成角问题转化为相交直线所成角问题，再构造可解的三角形，在三角形中求出所求的角。③此外补形法也是常见求解方法。

四、方法技巧注意点

1、数学语言主要包括文字语言、符号语言和图形语言。文字语言比较生动，能将问题

所研究的对象明白地叙述出来；符号语言简洁严谨，可大大缩短文字语言表达的长度，有利于推理计算；图形语言能直观形象地表达概念、定理的本质以及相互关系。在研究空间点、直线、平面等相关知识时，会大量用到这三种数学语言，掌握好这三种语言的互译转化，是学习立体几何的基本机能之一。

2、明确异面直线的永远不共面性：“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备

确定平面的条件，因此，异面直线既不相交，也不平行。澄清一个误解：不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线。

3、据异面直线所成角的定义可知：求异面直线所成角总的原则是“异面化共面，认

定再计算”。求异面直线所成角的步骤是：一作，二证，三计算。当异面直线所成角在几何体的内部不易作出时，我们可以考虑把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。

4、在平面几何中，往往把辅助线画成虚线，而在立体几何中则不然，凡是被平面遮住

的线都要画成虚线，凡是没被遮住的线都要画成实线，无论是图中固有的线还是后作的辅助线。