201x-201X学年高中数学第三章变化率与导数4导数的四则运算法则学案北师大版选修1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§4 导数的四则运算法则
[对应学生用书P41]
导数的加法与减法法则
已知函数f (x )＝1x ，g (x )＝x ，那么f ′(x )＝－1
x
2，g ′(x )＝1.
问题1：如何求h (x )＝f (x )＋g (x )的导数？
提示：用定义，由h (x )＝1
x ＋x ，得h (x ＋Δx )－h (x )＝1x ＋Δx ＋x ＋Δx －1
x －x ＝Δx －
Δx
x x ＋Δx
.
则f ′(x )＝lim Δx →0
h x ＋Δx －h x
Δx
＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1－1x x ＋Δx ＝1－1x 2.
问题2：[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )成立吗？ 提示：成立．
问题3：[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )成立吗？ 提示：成立．
问题4：运用上面的结论你能求出(3x 2＋tan x －e x )′吗？ 提示：可以，(3x 2＋tan x －e x )′＝6x ＋1
cos 2x
－e x .
导数的加法与减法法则
两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即 [f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )， [f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )．
导数的乘法与除法法则
已知函数f (x )＝x 3，g (x )＝x 2，则f ′(x )＝3x 2，g ′(x )＝2x . 问题1：[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g ′(x )成立吗？ 提示：因为[f (x )·g (x )]′＝(x 5)′＝5x 4，
f ′(x )
g ′(x )＝3x 2·2x ＝6x 3，所以上式不成立．
问题2：[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )成立吗？ 提示：成立． 问题3：⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤f x g x ′＝f ′x g ′x 成立吗？ 提示：不成立．
问题4：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
f x
g x ′＝
f ′x
g x －f x g ′x [g x ]2成立吗？ 提示：成立．
导数的乘法与除法法则
(1)若两个函数f (x )和g (x )的导数分别是f ′(x )和g ′(x )，则 [f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
f x
g x ′＝
f ′x
g x －f x g ′x g 2x . (2)[kf (x )]′＝kf ′(x )．
1．[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )≠f ′(x )g ′(x )，避免与[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )混淆．
2．若c 为常数，则[cf (x )]′＝cf ′(x )．
3．类比[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )记忆⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
f x
g x ′＝
f ′x
g x －f x g ′x
[g x ]2
.
[对应学生用书P42]
导数公式及运算法则的应用
[例1] 求下列函数的导数：
(1)f (x )＝x ln x ；(2)y ＝x －1
x ＋1
；
(3)y ＝2x 3＋log 3x ；(4)y ＝x －sin x 2cos x
2
.
[思路点拨] 观察函数的结构特征，可先对函数式进行合理变形，然后利用导数公式及运算法则求解．
[精解详析] (1)f ′(x )＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1
x
＝ln x ＋1.
(2)法一：y ′＝(x －1x ＋1)′＝x ＋1－x －1x ＋12＝
2
x ＋12
.
法二：y ＝x ＋1－2x ＋1＝1－2
x ＋1
，
∴y ′＝(1－
2x ＋1)′＝(－2
x ＋1
)′ ＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12
＝
2
x ＋1
2
.
(3)y ′＝(2x 3
＋log 3x )′＝(2x 3
)′＋(log 3x )′＝6x 2
＋1
x ln 3
.
(4)y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －1
2
sin x ，
∴y ′＝(x －12sin x )′＝1－1
2cos x .
[一点通]
解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．
1．用导数的运算法则推导： (1)(tan x )′＝1
cos 2x ；
(2)(cot x )′＝－1
sin 2x
.
解：(1)(tan x )′＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
sin x cos x ′＝sin x ′cos x －sin x cos x ′cos 2x ＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x .