北京大学离散数学教材 1

命题逻辑基本概念1

逻辑是解决推理方法的学科，中心是推理，基本要素是命题，所以称为命题逻辑。

数理逻辑则是用数学方法研究推理。

学习目的

本章首先要深刻理解命题的概念，理解原子命题和符合命题的关系，在此基础之上理解逻辑联结词的定义，命题公式的定义和分类，最后熟练掌握并应用真值表的构造

基本内容：

z命题概念；

z逻辑联结词概念，复合命题和联结词的关系；

z命题符号化和翻译

z合式公式概念及分类；

z构造真值表判定公式类型

命题(statement, proposition)

概念

在二值逻辑中，命题是或真或假，而不会同时又真

又假的陈述句。

z陈述句；

z或真或假，唯一真值；

例：

(1) 地球是圆的；真的陈述句，是命题

(2) 2+3=5；真的陈述句，是命题

(3) 你知道命题逻辑吗？非陈述句，故非命题

(4) 3-x=5；陈述句,但真假随x的变化而变

化，非命题

(5) 请安静！非陈述句，故非命题

(6) 火星表面的温度是800°C；

现时不知真假的陈述句，但只能

要么真要么假，故是命题

(7) 明天是晴天；尽管要到第二天才能得知其真

假，但的确是要么真要么假，故

是命题

(8) 我正在说谎；无法得知其真假，这是悖论

注意: (4)不是命题，后续章节中会提到，这被称为谓词，命题函数或命题变项。

分类：

z简单命题，通常用p, q, r,…,等表示命题变项，命题常项用1(T)，0(F)表示；

z复合命题，由简单命题和联结词构成；

逻辑联结词和复合命题

多个命题变项由联结词联结起来成为复合命题。

否定式和否定联结词(negation)

命题p的非或否定，称为p的否定式，表示为¬p；

符号¬即为否定联结词。真值表：

p¬ p

T F

F T

严格说，¬ p不是复合命题。

例：p：今天天气好；¬p：今天天气不好

p：2+5>1；¬p： 2+5≤1；

在此情形下，p为真，¬p为假。

合取式和合取联结词(conjunction)

p且q称为p, q的合取式，记为p∧q；符号∧即为合

取联结词。

这是逻辑“与”。

p Q p∧q

T T T

T F F

F T F

F F F

相应的日常用语为：“既…又…”，“不但(仅)…而

且…”，“虽然…但是…”等等。

例：

1) p: 今天大太阳，q: 今天热，p∧q: 今天大太阳且热；

2)p: 今天上课有人迟到，q:2+5>1，p∧q: 今天上课有人迟到且2+5>1；

注意 2)中的结果，我们可以用逻辑联结词来联结

两个日常生活中无关的命题。

析取式和析取联结词(disjunction)

p或者q称为p, q的析取式，记为p∨q；符号∨即为

析取联结词。

p q p∨q

T T T

T F T

F T T

F F F

这是逻辑“或”。

注意p和q可以同时为真，所以这是“相容或”。

另外还有p、q不可能同时为真的“相斥或”。在数

学和计算机学科中“或”是指“相容或”，“相斥

或”用另一名称“异或”表示。

异或式和异或联结词(exclusive or)

p或q中只可能有一个为真称为p, q的异或式，记

作p∨q，读作“p异或q”。符号∨称为异或联结词。p q p∨q p q p∨q

F F F000

F T T或011

T F T101

T T F110

p∨q为真当且仅当p, q只有一个为真。

例

(1) p：今天大太阳，q：今天热；p∨q: 今天大太阳或者热。

(2) p：今天上课有人迟到，q：2+5>1；p∨q：今天上课有人迟到或2+5>1。

(3) p：他生于1966年，q：他生于1965年；p∨q：他生于1966年或1965年。

(4) p: 他今天骑车来上课，q: 他今天走路来上课，p、q为异或

蕴涵式和蕴涵联结词(conditional statement, implication)

如果p则q称作p、q的蕴涵式，记为p→q。→为

蕴涵联结词，p、q分别为蕴涵式的前件和后件。

p q p→q

T T T

T F F

F T T

F F T

注意p是q的充分条件，q是p的必要条件。

“只要p就q”、“p仅当q”、“只有q才p”等可表

示成p→q

蕴涵式的一个应用：数学归纳法

(1) 证明P(n0)成立；(2) 证明k≥n0, P(k)→P(k+1)总是成立在(1)中，P(k)→P(k+1)总是成立意味着P(k)→P(k+1)的真值为T，从而只可能是真值表中的1,3,4情形，而(1)中证明前件为真，所以后件也一定为真。

等价式和等价联结词(equivalence, biconditional) p当且仅当q称作p、q的等价式，记p↔q。↔称

为等价联结词，p是q的充要条件。

p q p↔q

T T T

T F F

F T F

F F T

以上介绍了六种常用的逻辑联结词以及与之相关的

复合命题。这些联结词反映了复合命题及其支命题

之间抽象的逻辑关系。复合命题的符号化一般可以

根据上述定义进行，基本步骤如下：

z1) 找出各个支命题，并逐个符号化；

z2) 找出各个连接词，符号成相应联结词；

z3) 用联结词将各支命题逐个联结起来；

例1.7将下列命题符号化：

(1) 李明是计算机系的学生，他住在312室或313室．

(2) 辱骂和恐吓决不是战斗；

(3) 李瑞和李珊是姐妹。

(4) 除非天气好，否则我是不会去公园的；

解 (1)首先用字母表示简单命题．

p：李明是计算机系的学生．

q：李明住在312室．

r：李明住在313室．

该复合命题可表示为p∧(q∨r)，因为李明不会既住在312室，又住在313室，所以这里不用∨，而用∨。